3 Toán tử định vị trong không gian biến điệu
3.3 Tính bị chặn của Toán tử định vị trên không gian Sobolev
đặc biệt của không gian biến điệu. Sau đây ta sẽ mở rộng các kết quả về tính bị chặn của toán từ định vị trên các loại không gian Sobolev.
3.3 Tính bị chặn của Toán tử định vị trên khônggian Sobolev
gian Sobolev
Trong mục này ta cố định một hàm trọng v-ôn hòa σ(z) và xét không gian biến điệu Mσp,qs , s ∈ R. Khi đó Mệnh đề 3.2.5 có thể phát biểu như sau:
Mệnh đề 3.3.1. Cho r0 ∈ [1,+∞], k ∈ R và giả sử
F(z)σ(z)−k ∈ Lr0(R2n), thì toán tử LFφ,ψ : Mσp,qs → Mσp,qs−k là bị chặn với mọi s ∈ R.
Đặt Γkρ(R2n), k ∈ R, ρ ∈ (0,1] là lớp các hàm a(z) ∈ C∞(R2n) sao cho với mọi đa chỉ số γ ∈ N2n tồn tại hằng số dương Cγ thỏa mãn
|∂zγa(z)| ≤ Cγhzik−ρ|γ|,(z ∈ R2n). (3.9) Mệnh đề 3.3.2. Giả sử F ∈ Γkρ, k ∈ R khi đó toán tử Weyl OpFW bị chặn từ Mσp,qs tới Mσp,qs−k với mọi 1 ≤ p, q ≤+∞ và đặc biệt là từ Qs(Rn) tới Qs−k(Rn).
Chứng minh. Ta có, theo định lý về sự liên hệ giữa toán tử Weyl và toán tử anti-Wick thì OpFW = LFe
g,g+R trong đó LFe
g,g là một toán tử anti-Wick với biểu trưng Fe cũng thuộc vào lớp Γkρ(R2n) và R phép chiếu chính quy từ S0(Rn) vào S(Rn), xem thêm trong [15]. Mà theo Mệnh đề 1.5.6 ta có các phép nhúng Mσp,qs (Rn) ,→ S0(Rn),S(Rn) ,→Mσp,qs−k(Rn) đều bằng ánh xạ đồng nhất. Do đó R có thể được xem như là một ánh xạ tuyến tính bị chặn từ Mσp,qs (Rn) vào Mσp,qs−k(Rn). Mặt khác do Fe ∈ Γkρ suy ra Fehzi−k bị chặn, hay Fehzi−k ∈ L∞(R2n). Từ đó theo Mệnh đề 3.3.2 LFe
p,q bị chặn từ Mσp,qs (Rn) vào Mσp,qs−k(Rn).
Suy ra điều phải chứng minh.
Ta chú ý rằng trong trường hợp s = 0 chúng ta có các kết quả đã biết về tính liên tục của toán tử Weyl trong không gian L2.
Ta cũng có Mệnh đề 3.2.1 có thể mở rộng từ các toán tử Weyl. Vì nếu các biểu trưng của chúng b(z) có thể viết được dạngb = F∗W(φ, ψ) với F, φ, ψ là các hàm thỏa mãn (3.4) thì toán tử Weyl Wb đồng nhất với toán tử định vị LFφ,ψ.
Bây giờ chúng ta xét các không gian thế vị Bessel Hs,p. Ta biết rằng Hs,p(Rn) ,→ Mhwip,∞s(Rn), s ∈ R (3.10)
và do đó ta có Mhwip,1s ,→ Hs,p(Rn) ,→ Mhwip,∞s(Rn), s ∈ R. (3.11) Từ đó ta có các mệnh đề sau: Mệnh đề 3.3.3. Cho F ∈ L∞(R2n) ta có các toán tử bị chặn LFφ,ψ : Hs,p(Rn) →Mhωip,∞s(Rn), LFφ,ψ : Mhωis(Rn) → Hs,p(Rn). (3.12) với mọi p ∈ [1,∞] và s ∈ R.
Chứng minh. Theo giả thiết F ∈ L∞(R2n) nên theo Mệnh đề 3.2.1 LFφ,ψ bị chặn trên Mhwip,∞s(Rn). Mặt khác từ (3.10) suy ra
LFφ,ψ : Hs,p(Rn) → Mhωip,∞s(Rn) bị chặn.
Do LFφ,ψ : Hs,p(Rn) → Mhωip,∞s(Rn) bị chặn, suy ra (LFφ,ψ)∗ = LFψφ bị chặn từ (Mhwip0,∞s)∗ vào H−s,p0. Vì Mp0,1
hwi−s ⊂ (Mhwip0,∞s)∗ nên LFψ,φ :Mp0,1
hwi−s → H−s,p0 bị chặn, từ đó suy ra LFφ,ψ : Mhωis(Rn) → Hs,p(Rn) bị chặn, do F, p, s là tùy ý. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 3.3.4. Cho F(z)hωi−k ∈ L1(R2n), k ∈ R thì với mọi p1, p2 ∈ [1,∞] và s ∈ R ta có toán tử định vị bị chặn
LFφ,ψ : Hs,p1(Rn) →Hs−k,p2(Rn). (3.13) Chứng minh. Ta có các phép nhúng sau đây bằng ánh xạ đồng nhất.
Hs,p1(Rn) ,→Mp1,∞ hwis (Rn) M1,1
hwis−k(Rn) ,→Mp2,1
hwis−k(Rn) ,→ Hs−k,p2(Rn). Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.2.1 thìLFφ,ψbị chặn từMp1,∞
hwis (Rn)vàoM1,1
hwis−k(Rn) từ đó suy ra mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 3.3.5. Cho F ∈ Γkρ, ρ ∈ (0,1] thì Mệnh đề 3.3.3 và Mệnh đề 3.3.4 vẫn còn đúng với toán tử Weyl OpFW nếu k ≤ 0 và k < −2n
Chứng minh. Ta cũng có OpFW = LFe
φ,ψ + R tương tự như trong chứng
minh Mệnh đề 3.3.2.
Nếu k ≤ 0 thì Fe ∈ L∞(R2n). Nếu k < −2n thì Fe ∈ L1(R2n). Do đó trong mọi trường hợp thì LFe
ψ,φ bị chặn trên các không gian trong các kết luận của các Mệnh đề 3.3.3 và Mệnh đề 3.3.4. Tương tự như trong chứng minh Mệnh đề 3.3.2 R bị chặn trên các không gian trong các kết luận của Mệnh đề 3.3.3 và Mệnh đề 3.3.4, do đó ta có điều phải chứng minh.
3.4 Toán tử định vị compact
Trong mục này ta xét các hàm cửa sổ φ, ψ ∈ Mv1(Rn) ∩ L2(Rn) và hàm trọng v-ôn hòa m.
Mệnh đề 3.4.1. Cho p, q ∈ (1,∞) giả sử m ∈ Lp,q(R2n) hoặc
m−1 ∈ Lp0,q0(R2n). Khi đó nếu r ∈ [1,+∞) và F ∈ Lr(R2n) thì toán tử LFφ,ψ là compact trên Mmp,q(Rn).
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng kmkLp,q < ∞. Xét dãy uj ∈ S(Rn), j = 1,2, . . . hội tụ yếu về 0 trong Mmp,q(Rn). Xét trường hợp suppF compact.
Với p, q ∈ (1,∞) thì không gian Mmp,q(Rn) là phản xạ, hơn nữa S(Rn) trù mật trong Mmp,q(Rn) nên để chứng minh LFφ,ψ là compact ta chỉ cần chứng minh LFφ,ψuj
Trường hợp r = 1 ta có LFφ,ψuj Mmp,q(Rn) = Vg(LFφ,ψuj) Lp,qm = m(ω).Vg(LFφ,ψuj) Lp,q ≤ m(ω) Z R2n |F(z)|| huj, φzi || hψ, gωi |dz Lp,q ≤ m(ω) Z R2n |F(z)|| huj, φzi | kψzkL2kgωkL2dz Lp,q = kψkL2kgkL2kmkLp,q Z R2n |F(z)|| huj, φzi |dz. (3.14) Do uj hội tụ yếu tới 0 trong Mmp,q(Rn), nên uj bị chặn. Nghĩa là tồn tại C > 0 sao cho
kujkMp,q
m ≤ C, (3.15)
và với mọi v ∈ (Mmp,q)∗ ta có
v(uj) =hVguj, VgviL2 → 0. (3.16) Vìm(z)làv-ôn hòa (v(z) = hzi) và 1
m(z) cũng làv-ôn hòa nên m1(z) ≺ v(z), từ đó suy ra k.k Mp0,q0 m−1 ≺ k.k Mvp0,q0 . (3.17) Từ (3.15) và (3.17) thì hàm | huj, φzi | trong tích phân cuối cùng của (3.14) bị chặn đều. Tức là ta có | huj, φzi | ≤ kujkMp,q m kφzkMp0,q0 1/m ≺ kφzkMp0,q0 v ≺ kφzkM1,1 v ≺ kφkM1,1 v (3.18) ở đây kφzkM1,1 v ∼ kφkM1,1
v vì z chỉ lấy trong tập suppF compact.
Mặt khác ta lại có huj, φzi = hVguj, VgφziL2 = φz(uj) → 0 khi j →0. Do đó | huj, φzi | hội tụ điểm tới 0 khi j → ∞.
Theo định lý về miền hội tụ của tích phân ta có
Z
R2n
Trường hợp r > 1, bằng cách tương tự như với trường hợp r = 1 ta có LFφ,ψuj Mmp,q = Vg(LFφ,ψuj) Lp,qm ≤ m(ω) Z R2n |F(z)|| huj, φzi ||ψz, gω|dz Lp,q ≤ kFkLr m(ω) Z suppF | huj, φzi |r0kψzkLr02kgωkrL02dz 1/r0 Lp,q = kFkLrkψkL2kgkL2kmkLp,q Z suppF | huj, φzi |r0dz 1/r0 . (3.19) Tương tự như trường hợpr = 1 thì RsuppF | huj, φzi |r0dz →0 khij → ∞. Từ đó suy ra LFφ,ψuj
Mmp,q → 0 khi j → ∞.
Vậy nếu suppF compact thì LFφ,ψ compact trên Mmp,q(Rn). Trường hợp suppF không compact.
Gọi Lr0(Rn) là tập các hàm F ∈ Lr(Rn) có giá compact thì Lr0 trù mật trong Lr. Do đó với mọi F ∈ Lr(Rn) có một dãy
Fk ∈ Lr0(Rn), j = 1,2,3, . . . sao cho Fk → F. khi k → ∞. Do suppFk compact nên ta có LFk
φ,ψ compact trên Mmp,q(Rn).
Mặt khác, ánh xạ LF : F 7→ LFφ,ψ liên tục từ Lr(R2n) vào B(Mmp,q(Rn)). Do đó LFk
φ,ψ → LFφ,ψ khi k → ∞ và do đó LFφ,ψ compact. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 3.4.2. Cho p, q ∈ (1,∞) giả sử m ∈ Lp,q(R2n) hoặc
m−1 ∈ Lp0,q0(R2n). Giả sử thêm nữa F ∈ L∞(R2n) và lim|z|→∞F(z) = 0 thì toán tử LFφ,ψ là compact trên Mmp,q(Rn).
Chứng minh. Lý luận tương tự như chứng minh Mệnh đề 3.4.1, ta cũng
chỉ cần chứng minh LFφ,ψuj
Mmp,q →0, với uj là một dãy hội tụ yếu về 0 trong Lp,qm (R2n).
Xét trường hợp F có giá compact. Ta cũng có LFφ,ψuj Mmp,q = Vg(LFφ,ψuj) Lp,qm ≤ m(ω) Z suppF |F(z)|| huj, φzi ||ψz, gω|dz Lp,q ≤esssupz∈R2n |F(z)|. Z suppF | huj, φzi | kψzkL2kgωkL2dz Lp,q ≤ kFkL∞ m(ω) Z suppF |(uj, φz)| kψzkL2kgωkL2dz Lp,q = kFkL∞kψkL2kgkL2kmkLp,q Z suppF | huj, φzi |dz. (3.20) Tương tự ta cũng có RsuppF | huj, φzi |dz → 0 khi j → ∞, suy ra
LFφ,ψuj
Mmp,q →0 hay LFφ,ψ compact trên Mmp,q(Rn).
Bây giờ nếu suppF không là tập compact, thế thì C0∞(R2n) trù mật trong tập hợp các hàm của L∞(R2n) có giới hạn là 0 tại ∞. Vậy nên cũng tương tự như lập luận trong chứng minh Mệnh đề 3.4.1 ta cũng có LFφ,ψ compact. Mệnh đề được chứng minh.
Tiếp tục sử dụng phép nội suy ta có các kết quả sau
Mệnh đề 3.4.3. Với cùng giả thiết như trong Mệnh để 3.4.1 hoặc Mệnh đề 3.4.2 thì toán tử LFφ,ψ là compact trên Mmp,˜1q˜−2s và
˜
p= 1−sp + ps0,q˜= 1−sq + qs0 với mọi s ∈ [0,1].
Mệnh đề 3.4.4. Cho p, q ∈ (1,∞), giả sử tồn tại > 0 sao cho m(z) ≺ hzi− hoặc hzi ≺ m(z). Nếu r ∈ [1,+∞), F ∈ Lr(R2n) hoặc F ∈ L∞(R2n) và lim|z|→∞F(z) = 0 thì toán tử LFφ,ψ là compact trên Mmp,q1−2t(Rn) với mọi t ∈ [0,1].
Chứng minh. Giả sử rằng m(z) ≺ hzi−.
m(z)k ∈ Lp1,q1(R2n) với mọi p1, q1 ∈ [1,∞).
Theo Mệnh đề 3.4.1 và Mệnh đề 3.4.2 thìLFφ,ψ compact trên Mmp,qk và trên Mmp0k,q0. Suy ra LFφ,ψ cũng compact trên Mmp,q−k.
Do đó, theo phép nội suy, LFφ,ψ compact trên mọi không gian Mmp,qk(1−2s) với s ∈ [0,1]. Chọn s = k−2k1 và s = k2+1k thì ta có LFφ,ψ compact trên Mmp,q và Mmp,q−1. Tiếp tục sử dụng phép nội suy lần nữa, ta có LFφ,ψ compact trên Mmp,q1−2t với mọi t ∈ [0,1].
Bây giờ nếu hzi ≺ m(z) thì tồn tại k > 0 sao cho m(z)−k ≺ hzi−k ∈ L1(R2n), do đó m(z)−k ∈ Lp1,q1(R2n) với mọi p1, q1 ∈ [1,∞).
Tương tự như trên ta suy ra LFφ,ψ cũng compact trên Mmp,q−k và Mmp,qk. Lại sử dụng phép nội suy ta suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.4.5. Với m(z) thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 3.4.4 và F ∈ Γkρ, ρ ∈ (0,1], k < 0.
Thế thì toán tử Weyl OpFW compact trên không gian Mmp,q1−2t
với p, q ∈ (1,∞) và với mọi t ∈ [0,1].
Chúng ta có thể thấy rằng Mệnh đề 3.4.1 và Mệnh đề 3.4.5 cũng đúng với tính compact của các toán tử giả vi phân và toán tử Weyl trên L2(Rn) và trên các không gian Sobolev Qs(Rn). Như vậy, chúng ta đã trao đổi một số tính chất của toán tử định vị trong không gian biến điệu. Một số lớp các không gian biến điệu có thể thay đổi thành các không gian có các tên gọi khác nhau khi ta chọn các hàm trọng khác nhau. Hơn nữa toán tử định vị còn phụ thuộc vào việc ta chọn các hàm biểu trưng. Các tính chất thay đổi khi ta thay đổi lớp các hàm biểu trưng. Do đó có rất nhiều vấn đề liên quan đến tính chất của toán tử định vị trên các lớp không gian khác nhau. Nội dung chương này đã trình bày một phần nhỏ vấn đề đó.
Kết luận
Luận văn đã đạt được những nội dung sau:
Trình bày có hệ thống về các kiến thức chuẩn bị cho luận văn như: Lý thuyết hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier. Một số không gian quan trọng: Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian hỗn hợp chuẩn, không gian hỗn hợp chuẩn có trọng, không gian biến điệu.
Luận văn đã trình bày có hệ thống phù hợp với nội dung nghiên cứu về các toán tử: toán tử giả vi phân, phép biến đổi Weyl, toán tử định vị. Cuối cùng luận văn đã nêu được một số tính chất cơ bản của toán tử định vị tác động trong không gian biến điệu và một số lớp không gian Sobolev. Tính bị chặn, tính compact của toán tử định vị được chứng minh trên lớp các không gian biến điệu tổng quát.
Với thời gian ngắn và lượng kiến thức trong luận văn là rất lớn nên luận văn không thể tránh được những thiếu sót. Một số vấn đề đưa ra còn chưa được giải quyết một cách triệt để. Tác giả rất mong được sự đóng góp của các quý Thầy cô và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh
Trí, Lê Quang Trung(2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB
Giáo dục, Hà Nội.
[2] Nguyễn Mạnh Hùng(2006), Phương trình đạo hàm riêng, Phần 2, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[3] Nguyễn Phụ Hy(2006),Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[4] Nguyễn Hội Nghĩa(2004), Hàm suy rộng , NXB Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh.
[5] Đặng Anh Tuấn(2005), Lý thuyết Hàm suy rộng và không gian Sobolev, http://datuan5pdes.wordpress.com.
[6] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[7] W. Arveson(2002), A Short Course on Spectral Theory, Springer. [8] P. Boggiatto, Bui Kien Cuong, G. De Donno and A. Oliaro(2009),
"Generalized Spectrograms and τ-Wigner Transforms", Proceeding of Vaxio University, Sweden.
[9] P. Boggiatto, G. D. Donno and A. Oliaro(2003), Localization op- erators with Lp symbols on modulation spaces, Preprint N7/2003, University of Turin, Italy.
[10] P. Boggiatto, A. Oliaro and M. W. Wong(2006), Lp bounded- ness and compactness of localization operators, Elsevier, journal of Mathematical Analysis and application, Canada.
[11] L. Debnath and P. Mikusi´nski(1985), Funtional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi.
[12] K. Gr¨ochenig(2001), Foundation of Time-Frequency Analysis, Birkh¨auser Boston, USA.
[13] G. Grubb(2009), Distributions and Operators, Springer, New York, USA.
[14] W. Rudin(1985), Funtional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi.
[15] M. A. Shubin(2001), Pseudodifferential Operators and Spectral Theory,second editon, Springer.
[16] M.W. Wong(1999),An troduction to Pseudo-differential Operators, second editon, World Scientific, Singapore.
[17] M. W. Wong(1998), Weyl transform, Springer-Verlag New York, Inc.
[18] M.W. Wong(2002),Wavelet Transform and Localization Operators, Birkh¨auser Boston, USA.
[19] C. Zuily(1988), Problems in Distributions and Partial Differential Equations, North-Holland Mathematics studies 143.
