Không gian Sobolev cấp thực

Chứng minh. Thật vậy lấy u ∈ Hm(Rn) thì Dαu ∈ L2(Rn),|α| ≤m và

Z Rn |Dαu(x)|2dx = Z Rn |F(Dαu)(ξ)|2dξ = Z Rn |ξα|2|Fu(ξ)|dξ. (1.36) Mặt khác, với mọi ξ ∈ Rn tồn tại C1, C2 > 0 sao cho

C1   X |α|≤m |ξα|2   ≤ (1 +|ξ|2)m ≤ C2   X |α|≤m |ξα|2  

Vậy C1kukHm(Rn) ≤ kukm ≤C2kukHm(Rn). Mệnh đề được chứng minh.

1.3.2 Không gian Sobolev cấp thực

Phần này nói về không gian Sobolev với cấp thực.

Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi s ∈ R và mỗi p ∈ [1,∞] ta ký hiệuLp,s(Rn) là tập hợp xác định bởi

Lp,s(Rn) = {u ∈ L1loc(Rn)| hxisu(x) ∈ Lp(Rn)}. (1.37) Ta có Lp,s(Rn) là không gian Banach với chuẩn

trong đó hxi = (1 +|x|2)12.

Với p = 2, L2,s(Rn) = {u ∈ L1loc(Rn)| hxisu(x) ∈ L2(Rn)} là không gian Hilbert với tích vô hướng

hf, giL2,s = Z Rn f(x)g(x)hxi2sdx. Mệnh đề 1.3.4. Với mọi s ∈ R hx−yis ≤cshxishyi|s| (1.38) với một hằng số dương cs nào đó.

Chứng minh. Ta có

1 +|x−y|2 ≤1 + (|x|+|y|)2 ≤ c(1 +|x|2)(1 +|y|2) (1.39) nên c = 2, c= 43 thì (1.39) là đúng. Suy ra

hx−yis ≤ cs/2hxishyis, khi s ≥0 hx−yis = hx−yi−|s|hx−y +yi|s|

hxi|s| ≤c

s/2hxishyi|s|, khi s ≤ 0. Do đó (1.38) đúng với cs = cs/1 2, c1 = 43.

Mệnh đề được chứng minh.

Bổ đề 1.3.1. Với mọi m ∈ N∗, u ∈ Hm(Rn) khi và chỉ khi uˆ∈ L2,m(Rn). Tích vô hướng hu, vim = Z Rn ˆ u(ξ)ˆv(ξ)hξi2mdξ = hˆu,ˆviL2,m

xác định một chuẩn kukm = hu, ui12

m tương đương với chuẩn (1.32) kukHm ≤ kukm ≤ C

1 2

Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3.1 và Định lí Parseval-Plancherel ta có u ∈ Hm(Rn) ⇔ X |α|≤m |ξαu(ξˆ )|2 ∈ L1(Rn) ⇔(1 +|ξ|2)m|ˆu(ξ)|2 ∈ L1(Rn) ⇔uˆ∈ L2,m(Rn). Bổ đề được chứng minh.

Định nghĩa 1.3.3. Với mỗi s ∈ R, không gian Sobolev Hs(Rn) được định nghĩa bởi

Hs(Rn) = {u ∈ S0(Rn)| hξis(Fu)(ξ) ∈ L2(Rn)}. (1.40) Không gian Hs(Rn) là không gian Hilbert với tích vô hướng

hu, vis =

Z

Rn

(Fu)(ξ)(Fv)(ξ)hξi2sdξ. (1.41) Chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.41) là

kuks = khξis(Fu)(ξ)kL2.

1.4 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng1.4.1 Không gian hỗn hợp chuẩn