Không gian Sobolev cấp thực

Một phần của tài liệu Toán tử định vị trong không gian biến điệu (Trang 38)

Chứng minh. Thật vậy lấy u ∈ Hm(Rn) thì Dαu ∈ L2(Rn),|α| ≤m và

Z Rn |Dαu(x)|2dx = Z Rn |F(Dαu)(ξ)|2dξ = Z Rn |ξα|2|Fu(ξ)|dξ. (1.36) Mặt khác, với mọi ξ ∈ Rn tồn tại C1, C2 > 0 sao cho

C1   X |α|≤m |ξα|2   ≤ (1 +|ξ|2)m ≤ C2   X |α|≤m |ξα|2  

Vậy C1kukHm(Rn) ≤ kukm ≤C2kukHm(Rn). Mệnh đề được chứng minh.

1.3.2 Không gian Sobolev cấp thực

Phần này nói về không gian Sobolev với cấp thực.

Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi s ∈ R và mỗi p ∈ [1,∞] ta ký hiệuLp,s(Rn) là tập hợp xác định bởi

Lp,s(Rn) = {u ∈ L1loc(Rn)| hxisu(x) ∈ Lp(Rn)}. (1.37) Ta có Lp,s(Rn) là không gian Banach với chuẩn

trong đó hxi = (1 +|x|2)12.

Với p = 2, L2,s(Rn) = {u ∈ L1loc(Rn)| hxisu(x) ∈ L2(Rn)} là không gian Hilbert với tích vô hướng

hf, giL2,s = Z Rn f(x)g(x)hxi2sdx. Mệnh đề 1.3.4. Với mọi s ∈ R hx−yis ≤cshxishyi|s| (1.38) với một hằng số dương cs nào đó.

Chứng minh. Ta có

1 +|x−y|2 ≤1 + (|x|+|y|)2 ≤ c(1 +|x|2)(1 +|y|2) (1.39) nên c = 2, c= 43 thì (1.39) là đúng. Suy ra

hx−yis ≤ cs/2hxishyis, khi s ≥0 hx−yis = hx−yi−|s|hx−y +yi|s|

hxi|s| ≤c

s/2hxishyi|s|, khi s ≤ 0. Do đó (1.38) đúng với cs = cs/1 2, c1 = 43.

Mệnh đề được chứng minh.

Bổ đề 1.3.1. Với mọi m ∈ N∗, u ∈ Hm(Rn) khi và chỉ khi uˆ∈ L2,m(Rn). Tích vô hướng hu, vim = Z Rn ˆ u(ξ)ˆv(ξ)hξi2mdξ = hˆu,ˆviL2,m

xác định một chuẩn kukm = hu, ui12

m tương đương với chuẩn (1.32) kukHm ≤ kukm ≤ C

1 2

Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3.1 và Định lí Parseval-Plancherel ta có u ∈ Hm(Rn) ⇔ X |α|≤m |ξαu(ξˆ )|2 ∈ L1(Rn) ⇔(1 +|ξ|2)m|ˆu(ξ)|2 ∈ L1(Rn) ⇔uˆ∈ L2,m(Rn). Bổ đề được chứng minh.

Định nghĩa 1.3.3. Với mỗi s ∈ R, không gian Sobolev Hs(Rn) được định nghĩa bởi

Hs(Rn) = {u ∈ S0(Rn)| hξis(Fu)(ξ) ∈ L2(Rn)}. (1.40) Không gian Hs(Rn) là không gian Hilbert với tích vô hướng

hu, vis =

Z

Rn

(Fu)(ξ)(Fv)(ξ)hξi2sdξ. (1.41) Chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.41) là

kuks = khξis(Fu)(ξ)kL2.

1.4 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng1.4.1 Không gian hỗn hợp chuẩn

Một phần của tài liệu Toán tử định vị trong không gian biến điệu (Trang 38)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(120 trang)