Định nghĩa 1.3.1. Với Ω là tập con mở của Rn và m ∈ N∗. Ta gọi là không gian Sobolev cấpm, ký hiệu Hm(Ω)là tập hợp được xác định bởi: Hm(Ω) = {u ∈ L2(Ω)|Dαu ∈ L2(Ω), với |α| ≤ m}, (1.31) với chuẩn kukHm(Ω) = X |α|≤m Z Ω |Dαu|2dx 1 2 . (1.32)
Ta ký hiệu H0m(Ω) là bao đóng của C0∞(Ω) trong Hm(Ω).
Trong Định nghĩa 1.3.1, Dα được hiểu theo nghĩa hàm suy rộng. Chuẩn xác định trong (1.32) là một chuẩn thực sự, nghĩa là thỏa mãn các tiên đề về chuẩn. Ngoài ra có thể thấy chuẩn đó sinh bởi tích vô hướng: hu, vim = X |α|≤m hDαu, DαviL2(Ω) = X |α|≤m Z Ω Dαu.Dαvdx. (1.33)
Mệnh đề 1.3.1. Không gian Sobolev Hm(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi (1.33).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh được (1.33) xác định một tích vô hướng trong Hm(Ω).
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh Hm(Ω) là không gian đầy. Giả sử {uk}∞
k=1 là một dãy Cauchy trong Hm(Ω). Khi đó với mọi đa chỉ số α mà |α| ≤ m thì {Dαuk}∞
k=1 là một dãy Cauchy trong L2(Ω).
Do L2(Ω) là không gian đầy nên với mỗi α tồn tại một hàm uα ∈ L2(Ω) sao cho:
lim
k→∞kDαuk −uαkL2(Ω) = 0.
Đặc biệtα = 0thì tồn tạiu0 sao chouk → u0 trongL2(Ω), thìDαu0 = uα. Thật vậy, với mọi ϕ∈ D(Ω) và mọi k ta có:
|hDαu0 −uα, ϕi| = |hDαu0 −Dαuk, ϕi+hDαuk −uα, ϕi| ≤ |hDαu0 −Dαuk, ϕi|+ |hDαuk −uα, ϕi|
= |hu0 −uk, Dαϕi|+|hDαuk−uα, ϕi|
≤ kuk −u0kL2(Ω)kDαϕkL2(Ω) +kDαuk −uαkL2(Ω)kϕkL2(Ω).
(1.34)
Do lim
k→∞kuk−u0kL2(Ω) = 0 và lim
k→∞kDαuk −uαkL2(Ω), nên chúng ta có hDαu0 −uα, ϕi = 0,∀ϕ ∈ D(Ω). Từ đó suy ra Dαu0 = uα theo nghĩa suy rộng. Do đó uk → u0 trong Hm(Ω), hay Hm(Ω) là không gian đầy nên Hm(Ω) là không gian Hilbert. Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 1.3.1 ([13]). Không gian Sobolev H0m(Ω) cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi (1.33).
Chú ý 1.3.2.
1. Dựa vào định nghĩa các không gian chúng ta có phép nhúng liên tục: C0∞ ,→H0m(Ω) ,→ Hm(Ω),→L2(Ω),→ D0(Ω).
2. Nếu m1 < m2 thì ta có phép nhúng liên tục Hm2(Ω) ,→ Hm1(Ω). 3. Người ta cũng có thể xác định không gian Sobolev liên kết với không gianLp(Rn) trong tổng quát 1≤ p≤ ∞, những không gian này là không gian Banach, mà còn được kí hiệu làWpm(Ω) hoặc Wm,p(Ω) hoặc Hm,p(Ω). Mệnh đề 1.3.3. Khi Ω = Rn thì công thức sau xác định một chuẩn tương đương với chuẩn trong (1.32).
kukm = Z Rn (1 +|ξ|2)m|Fu(ξ)|2dξ 12