Đầu tiên các em vẽ đờng thẳng (d) và xác định các điểm A, B, H. Ta nhận thấy tam giác AOB cĩ OH là đờng cao, cĩ cạnh OA = OB = 3, dựa vào định lí Pi – ta – go ta củng tính đ- ợc cạnh AB = 3 2. Từ đĩ, áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuơng
a.h = b.c hay
a c b
b) Giải:
Kẻ OH⊥(d) (với H ∈ (d)).
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng (d) với các trục toạ độ Ox và Oy. Ta cĩ: Tam giác vuơng AOB cĩ OA = OB = 3
áp dụng định lí Pi ta go ta đợc: AB2 = OA2 + OB2 = 33 + 32 = 18 ⇒ AB = 18 = 3 2
Mặt khác: áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuơng ta cĩ : a.h = b.c ⇒ a c b h= . hay . 3.3 3 2 2 3 2 OA OB OH AB = = =
Vậy khoảng cách Từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 3 “ x là 3 2
2
Ví dụ 2. Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 2x + 5 (d).
a) Phân tích tìm lời giải
Tơng tự, các em vẽ đờng thẳng (d) và xác định các điểm A, B, H. Ta nhận thấy tam giác AOB cĩ OH là đờng cao, cĩ cạnh OA = 5
2 và OB = 5, dựa vào định lí Pi – ta – go ta củng tính đợc cạnh AB = 5 5
2 . Từ đĩ, áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuơng a.h = b.c hay a c b h= . để tính đợc độ dài OH . b) Giải: Kẻ OH⊥(d) (với H ∈ (d)).
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng (d) với các trục toạ độ Ox và Oy. Ta cĩ: Tam giác vuơng AOB cĩ OA = 5
2 và OB = 5
áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuơng AOB ta đợc: AB2 = OA2 + OB2 = 5 2 2 5 2 + ữ = 125 4 ⇒ AB = 125 4 = 5 5 2
a.h = b.c ⇒ a c b h= . hay 5 .5 . 2 5 5 5 2 OA OB OH AB = = =
Vậy khoảng cách Từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 2x + 5 là 5
Ví dụ 3. Cho đờng thẳng y = – 3x + 3m (d) (Với m là tham số, m > 0)
Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) theo m.
Tìm các giiá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3. Giải:
a) Kẻ OH⊥(d) (với H ∈ (d)).
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng (d) với các trục toạ độ Oy và Ox. Ta cĩ: Tam giác vuơng AOB cĩ OA = 3m và OB = m
áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuơng AOB ta đợc:
AB2 = OA2 + OB2 = ( 3m )2 + m2 = 4m2 ⇒ AB = 4m2 = 2m (Vì m > 0)
Mặt khác: áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuơng ta cĩ : a.h = b.c ⇒ a c b h= . hay . 3 . 3 2 2 OA OB m m OH m AB m = = =
b) Để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3 thì OH = 3
⇔ 3
2 m = 3 ⇔ 3m = 6 ⇔ m = 6 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3 = 2 3
Vậy với m = 2 3 thì khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3.
Một số dạng tốn khác
Về hàm số cịn một số dạng tốn khác nữa (nh tìm các giá trị của tham số m để hàm số thoả mản một số điều kiện cho trớc . . .) Song các dạng tốn này các em đã đợc các Thầy cơ giáo của mình giới thiệu kỉ ở trên lớp nên tơi khơng trình bày ở đây. Chúc các em học tập thật tốt.
B. bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y =ax+b đồng biến khi a>0
và nghịch biến khi a<0.
Bài 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a, b và xét xem hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến.
a) y=−x+1 b) y=2−3x c) 1 2− = x
y d) y=2 x−5 e) y =1−4x2
Bài 3. Cho hàm số bậc nhất: y=(m+1)x+5. (1)
a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến. b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến.
Bài 4. Cho hàm số: y=(3− 2)x+1. Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
a) 3 2 1 −
= x
y (∀x∈R) b) y=3x+2 (∀x∈R) c) y= x x (∀x∈R+)
Bài 6. Chứng minh rằng các hàm số sau luơn nghịch biến:
a) 4 3 1 + − = x y (∀x∈R) b) y=4−3x (∀x∈R) c) 2 1 − = x y (∀x∈R+)
Bài 7. Với những giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất?
a) 3 2 3 . − + =x m y b) 4 3 2 1 − + = x m y c) 1 . 3 1 1 + − − = x m y d) .(5 ) 1 1 2 x m m y − − − = Bài 8. Cho hàm số: y=(m−4)x+2011 (1)
a) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) sau là hàm số bậc nhất. b) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
Bài 9. Cho hàm số: y=2x (1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1).
b) Tính gĩc α tạo bởi đờng thẳng y =2x với trục hồnh Ox.
c) Xác định các điểm A(0,5; 1) ; B(2; 4) ; C(1; 2) trên cùng một mặt phẳng toạ độ. Các điểm A, B, C cĩ thuộc đờng thẳng y =2x khơng? Tính khoảng cách OA, OB, OC.
Bài 10. a) Vẽ đồ thị của các hàm số y=3x và y x
31 1
−
= trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Xác định gĩc β tạo bởi hai đờng thẳng y=3x và y x
31 1
− (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= .
Bài 11. a) Vẽ đồ thị của các hàm số y=−2x và y=−2x+1 trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.
Bài 12. Cho hàm số: y=(3−m)x (1)
a) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1; 2). c) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm B(1; - 2). d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m vừa tìm đợc ở câu (b) và câu (c).
Bài 13. Cho hàm số: y=(m−1)x+m (1)
a) Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 3.
b) Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng – 2.
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m vừa tìm đợc ở câu (a) và câu (b) trên cùng một hệ trục toạ độ xOy và tìm toạ độ giao điểm của chúng.
Bài 14. a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ xOy đồ thị của các hàm số sau:
x
y= (d1) y=2x(d2) y=−x+3(d3)
b) Đờng thẳng (d3) cắt các đờng thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác AOB.
Bài 15.
a) Xác định hàm sốy=ax+b biết hàm số cĩ hệ số gĩc bằng 3và đi qua điểm A(2; 1). b) Xác định hàm số y= 5x+b biết đờng thẳng y= 5x+b củng đi qua điểm A(2; 1).
Bài 16. Cho đờng thẳng: y =3x+6.
a) Tính dịên tích tam giác tạo bởi đờng thẳng ấy với hai trục toạ độ.
b) Víêt phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và vuơng gĩc với đờng thẳng đã cho.
Bài 17. a) Vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x+1. b) Vẽ đồ thị của hàm số: y =2x+1. c) Vẽ đồ thị của hàm số: y= x +1.
Bài 18. Cho hàm số: y=mx+(2m+1) (1)
Với mổi m∈Rta cĩ một đờng thẳng xác định bởi (1). Do đĩ, ta cĩ một họ đờng thẳng cho bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đờng thẳng xác định bởi (1) luơn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định toạ độ của điểm cố định đĩ.
Bài 19. Chứng minh rằng: Các họ đờng thẳng sau đây đi qua một điểm cố định và tìm điểm
cố định đĩ. (m∈R)
a) y=mx+m−2. b) y=2mx+1−m.
Bài 20. Cho hàm số: y=(m−1)x+m+1 (*)
Chứng minh rằng họ đờng thẳng (*) luơn đi qua một điểm cố định với mọi số thực m. Tìm điểm cố định đĩ. Bài 21. Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng a1x+b1y=c1(d1) và a2x+b2y=c2(d2) (Với a1;b1;a2;c2 ≠0) a) Cắt nhau khi 2 1 2 1 b b a
a ≠ . b) Song song với nhau khi
21 1 2 1 2 1 c c b b a a = ≠ . c) Trùng nhau khi 2 1 2 1 2 1 c c b b a a = = .
Bài 22. Cho hai đờng thẳng y =a1x+b1(d1) và y=a2x+b2(d2). Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, hai đờng thẳng (d1) và (d2) vuơng gĩc với nhau khi và chỉ khi a1a2 =−1.
áp dụng: Xác định hàm số: y=ax+b biết đồ thị của nĩ đi qua điểm (−1; 2)và vuơng gĩc với đờng thẳng y=3x+1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 23.Cho hai đường thẳng (d1): y=(2+m)x+1 và (d2): y=(1+2m)x+2. 1) Tỡm m để (d1) và (d2) cắt nhau .
2) Với m=−1, vẽ (d1) và (d2)trờn cựng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tỡm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2)bằng phộp tớnh.
Bài 24. Cho hàm số bậc nhất: y=(2−a)x+a. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3; 1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn R ? Vỡ sao?
Bài 25. Cho hàm số bậc nhất: y=(1−3m)x+m+3 đi qua M(1; −1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vỡ sao ?
Bài 26. Cho hai đường thẳng: y =mx−2, (m≠0)và y=(2−m)x+4,(m≠2). Tỡm điều kiện của m để hai đường thẳng trờn:
a) Song song vớinhau. b) Cắt nhau.
Bài 27. Với giỏ trị nào của m thỡ hai đường thẳng y=2x+3+m và y=3x+5−m cắt nhau tại một điểm trờn trục tung .Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y x
21 1
−
= và cắt trục hồnh tại điểm cú hồnh độ bằng 10.
Bài 28. Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’): y=−2x và đi qua
điểm A(2; 7).
Bài 29. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; −2) và B(−1; 3).
Bài 30. Cho hai đường thẳng : (d1): 2 2 1 +
= x
y và (d2): y=−x+2. a) Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox, C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?
Bài 31. Cho các đờng thẳng (d1): y=4mx−(m+5) (với m≠0) (d2): y=(3m2 +1)x+(m2 −9)
a) Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b) Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2), tìm toạ độ giao điểm (d1) và (d2) khi m=2. c) Chứng minh rằng: khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luơn đi qua điểm cố định A và (d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ?
Bài 32. Cho hàm số: y=ax+b.
a) Xác định hàm số biết đồ thị của nĩ song song với y =2x+3 và đi qua điểm A(1; −2). b) Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định, rồi tính độ lớn gĩc α tạo bởi đờng thẳng trên với trục hồnh Ox ?
c) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y=−4x+3 ?
d) Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y=(2m−3)x+2.
Bài 33. a)Xác định h m sà ố: y=ax+b(a≠0), biết đồ thị của h m sà ố song song với đường
thẳng y=3+2x v àđi qua điểm M(1; 2).
b) Vẽ đồ thị (d1) của h m sà ố vừa tìm được ở câu (a) v àđường thẳng (d2): y= x−2 trên cùng một hệ trục toạ độ rồi tìm toạđộ giao điểm C của hai đường thẳng đĩ. c) Tính gĩc tạo bởi đường thẳng (d1) với trục hồnh Ox.
Bài 34. Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d):
2 3 3 3 + = x y và (d’): 2 3 9 x y = −
cắt nhau tại C và lần lợt cắt trục hồnh Ox tại A, B. a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm.
Đề thi học sinh giỏi huyện Yên Định năm học 2009 “ 2010
Chuyẽn ủề III. Phửụng trỡnh baọc hai
A. Lí thuyết.