2.4.1. Nội dung
Cho một hình hình học (có thể kèm theo một số dữ kiện). Yêu cầu học sinh chia hình đó theo yêu cầu nào đấy.
2.4.2. Phương pháp dạy A N C E B M 3 2 1 C A B M N 3 2 1 E
Để giải dạng toán chia một hình hình học theo yêu cầu nào đấy ta tiến hành các bước như sau:
- Giả sử hình hình học đã được chia theo yêu cầu của bài toán.
- Cho học sinh quan sát và tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện đã cho và điều cần tìm.
- áp dụng các phương pháp giải toán để tìm ra các phương pháp giải phù hợp với bài toán.
- Giáo viên giải mẫu, rồi hướng dẫn học sinh giải các bài toán tương tự và uốn nắn những sai lầm học sinh có thể mắc phải.
2.4.3. Ví dụ
2.4.3.1. Có một thửa đất hình chữ nhật. Nay người ta đem chia thửa đất đó thành 3 thửa nhỏ hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Hỏi có mấy cách chia?
Bài giải
Cách 1
Bước 1: Giả sử chia hình chữ nhật ABCD
thành 3 hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng nhau
Hỡnh 2.72
Bước 2: Mối liên hệ giữa các dữ kiện đã cho và điều kiện cần tìm.
Ta có AD x AE = EG x EH = GB x BC. Vì: AD = GK = BC và đều bằng chiều rộng của hình chữ nhật( thửa đất). Vậy suy ra: AE = EG = GB
A E G B
C K
H D
Bước 3: Từ đó suy ra cách chia hình chữ nhật( thửa đất) như sau: chia đoạn
AB thành 3 đoạn bằng nhau: AE = EG = GB
Chia đoạn BC thành 3 đoạn bằng nhau: DH = HK = KC. Nối lần lượt E, G với H, K ta được 3 thửa đất nhỏ có diện tích bằng nhau, mỗi thửa đất nhỏ có chiều dài bằng chiều rộng thửa đất, chiều rộng bằng 1/3 chiều dài thửa đất (hình 58)
Cách 2
Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho AE = 1/3 AB. Lấy điểm G trên DC sao cho DG = 1/3 DC.
Hỡnh 2.73
Ta nối E với G được một thửa đất nhỏ thứ nhất có chiều dài bằng chiều rộng của hình chữ nhật (thửa đất), chiều rộng bằng 1/3 chiều dài thửa đất. Lấy điểm H trên EG sao cho HE = HG, lấy K trên BC sao cho KB = KC. Nối H với K ta được thửa đất nhỏ thứ 2 và thứ 3 có chiều rộng bằng 1/2 chiều rộng thửa đất, chiều dài bằng 2/3 chiều dài thửa đất. Ta được 3 thửa đất nhỏ có diện tích bằng nhau. (hình 2.73)
Cách 3
Chia chiều rộng thửa đất thành 3 phần bằng nhau, ta được 3 thửa đất nhỏ có chiều dài bằng chiều dài của thửa đất, chiều rộng bằng 1/3 chiều rộng của thửa đất. Ta được 3 thửa đất nhỏ có diện tích bằng nhau. (hình 2.74)
A E B C G D H K 1 2 3
Hỡnh 2.74
Cách 4
Chia thửa 1 có chiều dài bằng chiều dài thửa đất, chiều rộng bằng 1/3 chiều rộng thửa đất. Các thửa đất nhỏ 2 và 3 có chiều dài bằng 1/2 chiều dài thửa đất, chiều rộng bằng 2/3 chiều rộng thửa đất. Ta được 3 thửa đất nhỏ có diện tích bằng nhau( hình 2.75)
Hỡnh 2.75
2.4.3.2. Cho tam giác ABC. Hãy vẽ các cách chia tam giác thành 3 hình tam giác có diện tích bằng nhau?
Bài giải
Cách 1: Giả sử đã chia tam giác ABC thành 3 tam giác có diện tích bằng
nhau( hình 2.76)
Gọi h là chiều cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A ta có: (h x BD) : 2 = (h x DE) : 2 = (h x EC) : 2
Từ đó ta có: BD= DE = EC. Suy ra cách chia tam giác như sau: Chia đoạn BC thành 3 đoạn thẳng bằng nhau:BD= DE = EC. Nối đỉnh A lần lượt với hai điểm D, E, ta nhận dược 3 tam giác: ABD, ADE, AEC có diện tích bằng nhau.
1
Hỡnh 2.76 Hỡnh 2.77
Cách 2
Giả sử đã chia tam giác thành 3 tam giác có diện tích bằng nhau (hình 2.77) Gọi H là chiều cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
Ta có: ( hx BD): 2 = [(h x DC) : 2]:2
Vì BD = 1/2 DC nên SABD =1/2 SADC ; SAEC = SCED vì EA = ED và có chung đường cao hạ từ C. Từ đó suy ra SEAC = SCED = 1/2 SADC ; SABD = SAEC = SCED Suy ra cách chia tam giác ABC như sau:
Lấy điểm D trên BC sao cho: BD = 1/3 BC, nối A với D, trên AD lấy điểm E sao cho AE = ED, nối E với C. Ta nhận được 3 tam giác: ABD, AEC và ECD có diện tích bằng nhau.
Cách 3:
Lấy điểm D trên BC sao cho BD = 1/3 BC,lấy điểm E trên AC sao cho AE = EC. Nối A với D; D với E . Vì BD = 1/2DC nên SABD = 1/2 SADC
SADE = SDCE vì có: AE =EC, có chung cạnh DE, góc D1= D2 Ta nhận được 3 tam giác ABD, ADE và DCE
có diện tích bằng nhau (hình 2.78) Ta có SABD = SADE = SACE
B A C E D A B D C E B C E D A
Hình 2.78
Cách 4
Lấy điểm E trên BC sao cho EC = 1/3 BC. Lấy điểm D trên AB sao cho AD =DB. Nối A với E ; E với D. Ta nhận được 3 tam giác ACE, ADE và DEB có diện tích bằng nhau. (hình
2.79)
Hỡnh 2.79
Cách 5
Lấy điểm E trên BC sao cho EC = 1/3 BC, nối A với E; trên AE lấy điểm D sao cho DA = DE, nối D với B. Ta nhận được 3 tam giác AEC, ABD và BDE có diện tích bằng nhau (hình 2.80).
Hỡnh 2.80
Với dạng toán này có rất nhiều cách chia khác nhau. Dựa vào tính chất của các hình hình học để chia hình đã cho thành các hình nhỏ theo yêu cầu của bài toán. Do vậy, giáo viên cần gợi mở để học sinh có thể tìm được càng nhiều cách càng tốt. Có thể khai thác bài toán : Chia hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật… thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau. Mở rộng hơn nữa: chia thành những hình có diện tích tỉ lệ với diện tích cho trước.
Kết luận: Trên đây tôi đã đưa ra các cách giải một số bài toán mang nội
dung hình học,mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, từ đó giúp học sinh lựa chọn được cách giải tốt nhất phù hợp với năng lực của mình. Trên cơ sở đó, học sinh tìm tòi, sáng tạo cách giải ở những bài tập cao hơn. Tuy nhiên, kĩ năng giải các bài toán này phải được hình thành và luyện tập trong
B E C D A B E C A D
suốt quá trình học tập do vậy người giáo viên cần dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh và đặc biệt chú ý đến từng đối tượng học sinh nhằm đạt hiệu quả cao trong việc dạy giải các bài toán mang nội dung hình học ở tiểu học.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm
Thông qua thực nghiệm tôi muốn làm rõ một số vấn đề sau:
- Kĩ năng giải một số dạng toán mang nội dung hình học của học sinh được hình thành ở mức độ nào.
- Giáo viên lựa chọn phương pháp dạy học sao cho phù hợp với tùng nội dung dạy học, với từng đối tượng học sinh nhằm đạt yêu cầu cơ bản của chương trình dạy học môn toán đề ra.
3.2. Nội dung thực nghiệm
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh trường Tiểu học Cẩm Vũ- Cẩm Giàng- Hải Dương.
Tôi đã tiến hành khảo sát tại 6 lớp ở 3 khối 1, 2, 3 trường tiểu học Cẩm Vũ. Chất lượng đầu vào của các khối lớp là tương đương nhau. Khảo sát được tiến hành theo 2 đợt : Đợt 1, tôi cho học sinh làm bài tập khi đã có sự định hướng của giáo viên. Đợt 2, tôi cho học sinh làm bài tập khi giáo viên đã dạy giải tỉ mỉ từng dạng toán, kết quả thu được ở đợt 1 như sau:
Bài kiểm tra khảo sát cho học sinh lớp 1
Thời gian : 30 phút
Bài 1: 2 điểm
Tô màu đỏ vào hình tròn, màu xanh vào hình vuông, màu vàng vào hình tam giác trong các hình dưới đây:
Bài 2: 3 điểm Trên hình bên a. Có…. đoạn thẳng b. Có …. hình vuông c. Có …. hình tam giác Bài 3: 3 điểm
Có 3 đoạn thẳng a) Có 4 đoạn thẳng Có 5 đoạn thẳng Có 6 đoạn thẳng A B b) Có 4 đoạn thẳng Có 5 đoạn thẳng Có 6 đoạn thẳng Bài 4: 2 điểm Sử dụng bộ đồ dùng học tập, chọn các hình tam giác để xếp một hình vuông như sau:
Tôi tiến hành cho học sinh lớp 1A và lớp 1B làm bài trong khoảng 30 phút. Lớp 1A gồm 24 học sinh, lớp 1B gồm 22 học sinh. Kết quả thu được như sau:
Bảng 1
Lớp
Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng % 1A 3 12,5 9 37,5 12 50 0 0 1B 2 9,1 10 45,5 10 45,5 0 0
Khối lớp 2 với đề khảo sát như sau:
Bài kiểm tra khảo sát cho học sinh lớp 2 E
D A B C D
Thời gian : 30 phút
Bài 1(3 điểm): Trong hình bên:
Có:… hình tam giác Có:… hình tam giác Có:… hình chữ nhật Có:… hình tứ giác
Bài 2 (2 điểm): Trong mỗi hình dưới đây, hãy vẽ thêm một đoạn thẳng để tạo thành 2 hình tam giác:
Bài 3 (3 điểm): Trong hình bên có:… đoạn thẳng.
Bài 4 (2 điểm): Sử dụng đồ dùng học toán, chọn các hình tam giác để xếp thành hình sau:
Tôi tiến hành cho học sinh lớp 2D và lớp 2E làm bài trong khoảng 30 phút. Lớp 2D gồm 25 học sinh, lớp 2E gồm 24 học sinh. Kết quả thu được như sau:
Bảng 2 Lớp
Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng %
2D 4 16 8 32 13 52 0 0
2E 3 12,5 11 45,8 10 42,7 0 0
Bài kiểm tra khảo sát cho học sinh lớp 3
Thời gian: 30 phút C B A D E
Bài 1: 3 điểm
a) Nêu tên đỉnh và cạnh các góc vuông có trong hình bên. b) Trong hình bên có bao nhiêu đoạn thẳng?
Ghi tên các đoạn thẳng đó.
Bài 2: 3 điểm
Trong mỗi hình sau có bao nhiêu hình tam giác, bao nhiêu hình vuông? a)
b)
Có:… hình vuông Có:… hình vuông
Có:… hình tam giác Có : …hình tam giác
Bài 3: 3 điểm
Kẻ thêm một đoạn thẳng vào mỗi hình sau để được:
a) Hai hình tam giác b) Ba hình tứ giác
Bài 4: 1 điểm
Dùng ê ke vẽ đường thẳng OD vuông góc với AB tại O
A B
Tôi tiến hành cho học sinh lớp 3C và lớp 3D làm bài trong khoảng 30 phút. Lớp 3C gồm 29 học sinh, lớp 3D gồm 27 học sinh. Kết quả thu được như sau:
Bảng 3 O
Lớp
Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng %
3C 4 13,8 13 44,8 12 41,4 0 0
3D 3 11 11 40,7 13 48,2 0 0
Đợt 2 vẫn tiến hành ở các lớp trước với thời gian không thay đổi. Kết quả thu được như sau:
Bài kiểm tra khảo sát cho học sinh lớp 1 (đợt 2)
Thời gian : 30 phút
Bài 1: 2 điểm
Tô màu vào các hình dưới đây (cùng hình dạng thì tô cùng màu)
Bài 2: 3 điểm
a) Trên hình bên có:… hình vuông.
Bài 3: 3 điểm
Mỗi hình vẽ dưới đây có bao nhiêu đoạn thẳng?
Có:… đoạn thẳng Có:… đoạn thẳng
Bài 4: 2 điểm
Sử dụng bộ đồ dùng học tập, chọn các hình vuông và hình tam giác để xếp thành hình sau:
Bảng 4
Lớp
Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng %
1A 8 33,3 13 54,2 3 12,5 0 0
1B 6 27,3 14 63,6 2 9,1 0 0
Số học sinh khá tăng so với đợt 1: 4 em
Số học sinh trung bình giảm so với đợt 1: 9 em Lớp 1B: Số học sinh giỏi tăng so với đợt 1: 4 em
Số học sinh khá tăng so với đợt 1: 4 em
Số học sinh trung bình giảm so với đợt 1 : 8 em
Bài kiểm tra khảo sát cho học sinh lớp 2( đợt 2)
Thời gian : 30 phút
Bài 1 (3 điểm): Điền số thích hợp vào ô trống:
Có hình vuông. Có hình tam giác. Có hình tròn. Có đoạn thẳng.
Bài 2 (3 điểm): Kẻ thêm đoạn thẳng vào các hình sau để được:
a) Hai hình tam giác b) Một hình tam giác và một hình tứ giác
Bài 3 (2 điểm): Hãy chia hình sau thành 6 hình vuông bằng nhau:
Bảng 5
Lớp
Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng %
2D 8 32 15 60 2 8 0 0
2E 9 37,5 14 58,3 1 4,2 0 0
Lớp 2D: Số học sinh giỏi tăng so với đợt 1:4 em Số học sinh khá tăng so với đợt 1:7 em
Số học sinh trung bình giảm so với đợt 1 : 11 em Lớp 2E: Số học sinh giỏi tăng so với đợt 1: 6 em
Số học sinh khá tăng so với đợt 1: 2 em
Số học sinh trung bình giảm so với đợt 1: 9 em
Bài kiểm tra khảo sát cho học sinh lớp 3 (đợt 2)
Thời gian : 30 phút
Bài 1 (2 điểm): Tô màu hình tứ giác có cặp cạnh song song với nhau trong mỗi
Bài 2(3 điểm): Trong hình bên có:… tam giác; …. tứ giác
Bài 3 (2 điểm): Trong hình chữ nhật ABCD
(hình bên) hãy vẽ đường thẳng đi qua điểm E và vuông góc với cạnh DC, cắt DC tại điểm G
Bài 4 (3 điểm): Hãy chia hình tam giác sau thành
3 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau
Bảng 6
Lớp
Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng %
3C 7 24,1 19 65,5 3 10,4 0 0
3D 8 29,6 17 63 2 7,4 0 0
Lớp 3C: Số học sinh giỏi tăng so với đợt 1: 3 em Số học sinh khá tăng so với đợt 1: 6 em
Số học sinh trung bình giảm so với đợt 1: 9 em Lớp 3D: Số học sinh giỏi tăng so với đợt 1: 5 em
Số học sinh khá tăng so với đợt 1: 6 em
Số học sinh trung bình giảm so với đợt 1 :11 em A . B . E . D . C .
3.3. Đánh giá kết quả
Qua thực nhiệm giảng dạy và kiểm tra khảo sát tôi nhận thấy một số đặc điểm như sau:
- Học sinh chú ý, chủ động, tích cực trong suốt giờ học. Đặc biệt là học sinh lớp 1 rất hứng thú với việc xếp hình theo mẫu.
- Đa số học sinh đều hoàn thành bài học trong thời gian quy định. - Tuy nhiên, còn một số em chưa đếm hết số hình mà bài yêu cầu: Ví dụ:
+) ở bài 3 (đề kiểm tra cho lớp 1- đợt 1) một học sinh chưa khoanh đúng vào đáp án có 6 đoạn thẳng.
+) ở bài 1 (đề kiểm tra cho lớp 3) học sinh chỉ kể được 5 đoạn thẳng và còn lẫn khi kể tên các đoạn thẳng đó.
+) ở bài 2 (đề kiểm tra cho học sinh lớp 2- đợt 2) một số học sinh kể còn thiếu số hình tam giác.
- Học sinh kẻ hình chưa đúng với yêu cầu của bài.
+) ở bài 3 a (đề kiểm tra cho lớp 3- đợt 1) học sinh kẻ thành 3 hình tam giác.
Kết luận: Thực nghiệm kiểm nghiệm tính khả thi của phương pháp đã
đề xuất, trình bày các kết quả minh họa cho các biện pháp dạy học đó. Theo các phương pháp này học sinh giải quyết các bài toán mang nội dung hình học linh hoạt, khoa học, hiệu quả, đồng thời góp phần hình thành được kĩ năng giải toán cho học sinh. Thực nghiệm sư phạm cho thấy số lượng học sinh khá, giỏi tăng lên đáng kể ở lớp thực nghiệm trong cả hai bài khảo sát. Điều này chứng tỏ rằng áp dụng các phương pháp dạy học đã đề xuất kết hợp với việc
vận dụng linh hoạt các hình thức tổ chức dạy học đem lại hiệu quả cao trong dạy giải các dạng toán mang nội dung hình học tiểu học.
Kết luận
Sau thời gian nghiên cứu đề tài: “Phát huy tính tích cực của học sinh
thông qua phương pháp giải một số dạng toán mang nội dung hình học ở