Trớc hết ta cần nhớ lại những kiến thức cơ bản về sự tơng giao của hai đờng thẳng: Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và một điểm A(xA;yA) ta sẽ có:
A∈( )C ⇔YA = f X( A); A∉( )C ⇔YA ≠ f X( A)
Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta tìm nghiệm của hệ ph- ơng trình: y=f(x)
y=g(x)
Vì vậy hoành độ giao điểm chung của hai đồ thị chính là nghịêm của hệ phơng trình trên. Ta củng cần nhớ lại vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
cho đờng thẳng y=ax+b (a≠0) (D) v y=à a x b a′ + ′ ′( ≠0) ( )D′ phơng trình hoành độ giao điểm chung của (D) và ( )D′ là:(a a x b b− ′) = − ′(1)
- (D) // ( )D′ ⇔phơng trình (1) nghiệm ⇔a=a,và b≠ b,
- (D) trùng ( )D′ ⇔phơng trình(1) có vô số nghiêm ⇔a=a, và b≠ b,
- (D) cắt ( )D′ ⇔phơng trình(1) có một nghiệm ⇔a ≠a,
Dạng1:Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Ví dụ1: cho hai hàm số y=x+3 (d) và hàm số y=2x+1 (d,) a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ. b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
a) vẽ đồ thị hai hàm số
b)Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:x+3=2x+1⇔x=2 suy ra y=5 Ví dụ2: Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:
(D1) y=x+1 ; (D2) y=-x+3 ; (D3) y=(m2-1)x+m2-5 (với m≠ ±1)
Xác định m để 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy. Giải:
Hoành độ giao điểm B của (D1) ,(D2) là:-x+3=x+1⇔x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3 đ- ờng thẳng đồng quy thì (D3)phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình (D3) ta có: 2=(m2-1)1+m2-5⇔m2=4⇔m=2;m=-2.
Vậy với m=2;m=-2thì 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.
2) Vị trí t ơng đối giữa đ ờng thẳng (D) y=f(x) và parabol (P) y=g(x).
Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D)và (P) là nghiệm của phơng trình f(x)= g(x) (2).phơng trình(2) là phơng trình bậc hai.Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung⇔phơng trình(2) vô nghiệm⇔ ∆ <0
D) tiếp xúc (P) ⇔phơng trình(2) có một nghiệm⇔ ∆ =0
D) cắt (P) tại hai điểm⇔phơng trình(2) có hai nghiệm⇔ ∆ >0
Sau đây là một số bài toán về sự biện luận giữa đờng thẳng và parabol.
Dạng 1: Bài toán chứng minh
C/minh rằng:Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 Giải:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình: 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-3⇔2x2-8mx+8m2=0⇔x2+4mx+4m2=0
Ta có: ∆ =16m2−16m2 =0 với mọi giá trị của m nên Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với
parabol (P):y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh rằng đờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x2-x+3m a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao điểm A và B khi m=3
Giải:
a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình: -x2-x+3m=x+2m⇔-x2-2x+m=0
Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) ⇔phơng trình (3) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔0 4+4m=0⇔m=-1.
b) Đờng thẳng (D) cắt parabol (P) ⇔phơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔0 4+4m>0⇔m>-1.
Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình -x2-2x+3=0⇔x=1 hoặc x=3
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9).
Dạng 3:Lập phơng trình tiếp tuyến
Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:
a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 tại điểm C(3;2) Giải:
a)Ta có: 2y+4x=5⇔y=-2x+5/2 nên phơng trình đờng thẳng (D) có dạng: y=-2x+b (b 5
2
≠ ) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm đợc b=1
4
b)Ta có: x-2y+1=0⇔y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình:x-2y+1=0⇔a.1/2=-1⇔a=-2 suy ra (D):y=-2x+b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2)∈ (D) ⇔2=3a+b⇔b=2-3a
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm đợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=3x-7
Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm. Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đ/thẳng (D):y=-4x. Giải:
Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b≠0).Hoành độ điểm chung của (p) và (d) là nghiệm của phơng trình: x2-2x-3=-4x+b⇔x2+2x-3+b=0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) ⇔phơng trình (2) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ + = ⇔ = −′ 0 4 b 0 b 4
Khi đó nếu điểm A(x0;y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A∈( );p A∈( )d nên ta có hệ ph- ơng trình; 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 4 4 x y x x y y x = − = − − ⇔ = − − = Dạng 5:Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 v àđi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5). b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3.
Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)
Do đú parabol (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - 1. Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trỡnh : ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 <=>ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5)
Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) <=> Phương trỡnh (5) cú nghiệm kộp <=> ∆’ = 0 <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0<=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1.
Do đú : a = -1 ; b = 3 và c = -1.
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 nờn (P) đi qua điểm (0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3 <=> Giao điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2).
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi
Do đú a = 1 ; b = -3 và c = 2.
22 2 2 1 (1 ) 1 1 ( ) 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1).( 1) ( 1).( 1) ( 1).( 1) 1 ( 1) 2 1. a a a a A a a a a a A a a a a a A a a a a A a a a A a a a a A a A a A a a + − + = + + − + = + + − − = + − − − = + − − = + − − − = − = − = − +