GểC NHỌN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
ABC
∆ vuụng tại A ⇔AB2 +AC2 =BC2
2.Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng
B H C H C A 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 4) 1 2 12 12 AH =AB +AC Kết quả:
-Với tam giỏc đều cạnh là a, ta cú:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
3.Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn
Đặt ACB∠ = α ∠; ABC= β khi đú:
AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cot g
BC AC BC AC AC HC AB AH
α = = α = = α = = α = =
b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
Kết quả suy ra:
1) sinα =cos ;β cosα =sin ;β tgα =cotg ;β cot gα = βtg
sin cos
2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cot g
cos sin α α < α < < α α = α = α α 2 2 2 2 1 1
3) sin cos 1; tg .cot g 1; 1 cot g ; 1 tg
sin cos
α + α = α α = = + α = + α
α α
4) Cho ABC∆ nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đú:
2 2 2 ABC 1 a b c 2bc.cosA; S bcsin A 2 ∆ = + − = B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giỏc ABC cú AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 BC a) AB AC 2AM 2 b) AB AC 2BC.MH + = + − =
VD2.Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD cú AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuụng gúc với BD.b) Tớnh diện tớch hỡnh thang. b) Tớnh diện tớch hỡnh thang.
VD3.Tớnh diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ADC=700.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hỡnh chiếu của C trờn BD, H là hỡnh chiếu của I trờn AC.
Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh: 12 12 12 AE + AF =a
3.Cho tam giỏc cõn ABC cú đỏy BC = a; ∠BAC = 2α; α <450. Kẻ cỏc đường cao AE, BF.
a) Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc BFC theo a và tỉ số lượng giỏc của gúc α.
b) Tớnh theo a, theo cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc α và 2α, cỏc cạnh của tam giỏc
ABF, BFC.
c) Từ cỏc kết quả trờn, chứng minh cỏc đẳng thức sau:
2 2
2
2tg 1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2
1 tg
α
α = α α α α − α α =
CHỨNG MINH
BẰNG NHAU – SONG SONG, VUễNG GểC - ĐỒNG QUY, THẲNGHÀNG HÀNG
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giỏc bằng nhau
a) Khỏi niệm: ABC A 'B'C' khi A A '; B B'; C C' AB A'B'; BC B'C'; AC A'C' ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∆ = ∆ = = =
b) Cỏc trường hợp bằng nhau của hai tam giỏc: c.c.c; c.g.c; g.c.g.
c) Cỏc trường hợp bằng nhau của hai tam giỏc vuụng: hai cạnh gúc vuụng; cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng; cạnh huyền và một gúc nhọn.
d) Hệ quả: Hai tam giỏc bằng nhau thỡ cỏc đường cao; cỏc đường phõn giỏc; cỏc đường trung tuyến tương ứng bằng nhau.
2.Chứng minh hai gúc bằng nhau
-Dựng hai tam giỏc bằng nhau hoặc hai tam giỏc đồng dạng, hai gúc của tam giỏc cõn, đều; hai gúc của hỡnh thang cõn, hỡnh bỡnh hành, …
-Dựng quan hệ giữa cỏc gúc trung gian với cỏc gúc cần chứng minh. -Dựng quan hệ cỏc gúc tạo bởi cỏc đường thẳng song song, đối đỉnh.
-Dựng mối quan hệ của cỏc gúc với đường trũn.(Chứng minh 2 gúc nội tiếp cựng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường trũn, …)
3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
-Dựng đoạn thẳng trung gian. -Dựng hai tam giỏc bằng nhau.
-Ứng dụng tớnh chất đặc biệt của tam giỏc cõn, tam giỏc đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giỏc vuụng, hỡnh thang cõn, hỡnh chữ nhật, …
-Sử dụng cỏc yếu tố của đường trũn: hai dõy cung của hai cung bằng nhau, hai đường kớnh của một đường trũn, …
-Dựng tớnh chất đường trung bỡnh của tam giỏc, hỡnh thang, …
4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song
-Dựng mối quan hệ giữa cỏc gúc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cựng phớa bự nhau, …
-Dựng mối quan hệ cựng song song, vuụng gúc với đường thẳng thứ ba. -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet.
-Áp dụng tớnh chất của cỏc tứ giỏc đặc biệt, đường trung bỡnh của tam giỏc. -Dựng tớnh chất hai dõy chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường trũn.
5.Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc
-Chứng minh chỳng song song với hai đường vuụng gúc khỏc.
-Dựng tớnh chất: đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ vuụng gúc với đường thẳng cũn lại.
-Dựng tớnh chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giỏc. -Đường kớnh đi qua trung điểm của dõy.
-Phõn giỏc của hai gúc kề bự nhau.
6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng
-Dựng tiờn đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thỡ A, B, C thẳng hàng.
-Áp dụng tớnh chất cỏc điểm đặc biệt trong tam giỏc: trọng tõm, trực tõm, tõm đường trũn ngoại tiếp, …
-Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành gúc bẹt: Nếu gúc ABC bằng 1800 thỡ A, B, C thẳng hàng.
-Áp dụng tớnh chất: Hai gúc bằng nhau cú hai cạnh nằm trờn một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trờn hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trờn.
-Chứng minh AC là đường kớnh của đường trũn tõm B.
7.Chứng minh cỏc đường thẳng đồng quy
-Áp dụng tớnh chất cỏc đường đồng quy trong tam giỏc.
-Chứng minh cỏc đường thẳng cựng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng cũn lại đi qua điểm đú.
-Dựng định lý đảo của định lý Talet.
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho một nửa lục giỏc đều ABCD nội tiếp trong nửa đường trũn (O; R). Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.
a) Chứng minh rằng OT//AB.(gúc BAD = gúc TOD)
b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phõn giỏc BOD; song song với AB)
c) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc TBD theo R.(P = 3 3R; S = 3R2 3
4 )
d) Tớnh theo R diện tớch giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD.
2.Cho nửa đường tõm O đường kớnh AB = 2R, M là trung điểm AO. Cỏc đường vuụng gúc với AB tại M và O cắt nửa đường trũn tại D và C.
a) Tớnh AD, AC, BD và DM theo R.(AD = R; AC = R 2; BD = R 3; DM =
R 34 ) 4 )
b) Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc ABCD.(ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = 1350) 1350)
c) Gọi H là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng IH vuụng gúc với AB.(AC, BD là cỏc đường cao của tam giỏc IAB)
3.Cho tam giỏc ABC đều cạnh a. Kộo dài BC một đoạn CM = a.
a) Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ACM.(ACM = 1020; CAM = CMA = 300)
b) Chứng minh Am vuụng gúc với AB.(MAB = 900)
c) Kộo dài CA một đoạn AN = a và kộo dài AB một đoạn BP = a. Chứng tỏ tam
giỏc MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM)
4. Cho hỡnh vuụng ABCD. Lấy điểm M trờn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn AB và AD.
a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vuụng gúc với DE. Từ đú tỡm quỹ tớch giao điểm N của CF và DE. (tgCFD = tgDAE; quỹ tớch N là ẳ đường trũn-cung trũn DNO cú đường kớnh
CD)
b) Chứng tỏ: CM = EF và CM vuụng gúc với EF. (tgCKM = tgFME, K là giao của
FM và CB)
c) Chứng minh rằng cỏc đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, FB là ba
đường cao của tam giỏc CEF)
5.Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Đường trũn qua tõm O qua A tiếp xỳc với BC tại B và đường trũn tõm I qua A tiếp xỳc với BC tại C.
a) Chứng minh hai đường trũn (O) và (I) tiếp xỳc nhau tại A.(tgOAB; tgIAC cõn;
OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng)
b) Từ O kẻ đường vuụng gúc với AB và từ I kẻ đường vuụng gúc với AC. Chứng minh chỳng cắt nhau tại trung điểm M của BC.(MA = MB = MC)
c) Chứng minh MO vuụng gúc với MI.(OMI = 900)
d) Kộo dài BA cắt đường trũn tõm I ở P. Chứng minh C, P, I thẳng hàng.(tớnh chất
gúc nội tiếp hoặc PIA + AIC = 1800)
6. .Cho hai đường trũn (O), (O’) cắt nhau tại A và B sao cho gúc OAO’ bằng 900. Qua A kẻ cỏt tuyến MAM’ vuụng gúc với AP trong đú P là trung điểm của OO’. M, M’ theo thứ tự là giao điểm của cỏt tuyến với hai đường trũn (O); (O’). Chứng minh:
a) AM = AM’.(A là trung điểm của DC; OC, O’D vuụng gúc với MM’) b) Tam giỏc ABM cõn.(tgOAC = tgOHA)
c) BM vuụng gúc với BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giỏc vuụng)
d) Với vị trớ nào của cỏt tuyến MAM’ thỡ MM’cú độ dài lớn nhất.(MM’=2OO’;
MM’//OO’)