A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Tam giỏc đồng dạng 1.Tam giỏc đồng dạng -Khỏi niệm: A A '; B B'; C C' ABC A 'B'C' khi AB AC BC A'B' A 'C' B'C' ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∆ ∆ = = :
-Cỏc trường hợp đồng dạng của hai tam giỏc: c – c – c; c – g – c; g – g.
-Cỏc trường hợp đồng dạng của hai tam giỏc vuụng: gúc nhọn; hai cạnh gúc vuụng; cạnh huyền - cạnh gúc vuụng…
*Tớnh chất: Hai tam giỏc đồng dạng thỡ tỉ số hai đường cao, hai đường phõn giỏc, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tớch bằng bỡnh phương tỉ số đồng dạng.
2.Phương phỏp chứng minh hệ thức hỡnh học
-Dựng định lớ Talet, tớnh chất đường phõn giỏc, tam giỏc đồng dạng, cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, …
-Chứng minh hai tam giỏc MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giỏc MAD và MCB.
-Trong trường hợp 5 điểm đú cựng nằm trờn một đường thẳng thỡ cần chứng minh cỏc tớch trờn cựng bằng tớch thứ ba.
Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thỡ chứng minh hai tam giỏc MTA và MBT đồng dạng hoặc so sỏnh với tớch thứ ba.
Ngoài ra cần chỳ ý đến việc sử dụng cỏc hệ thức trong tam giỏc vuụng; phương tớch của một điểm với đường trũn.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ đỉnh A kẻ cỏt tuyến bất kỡ cắt đường chộo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt cạnh CD tại G. Chứng minh:
a) Cỏc tam giỏc DAE và BFE đồng dạng. b) Cỏc tam giỏc DGE và BAE đồng dạng. c) AE2 = EF.EG.
d) Tớch BF.DG khụng đổi khi cỏt tuyến qua A thay đổi.
VD2.Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ C kẻ CM vuụng gúc với AB, CN vuụng gúc với AD. Giả sử AC > BD. Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam giỏc ABC cú ba gúc đều nhọn. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vuụng gúc với MH cắt AB tại P, cắt AC tại Q. Chứng minh:
a) AHP ~ CMH∆ ∆
b) QHA ~ HMB∆ ∆
c) HP = HQ.
2.Cho tam giỏc đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trờn cạnh AB, Q trờn cạnh AC sao cho gúc PMQ bằng 600.
a) Chứng minh MBP ~ QCM∆ ∆ . Từ đú suy ra PB.CQ cú giỏ trị khụng đổi. b) Kẻ MH vuụng gúc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP∆ ∆ ∆ ∆ . c) CHứng minh độ dài MH khụng đổi khi P, Q chạy trờn AB, AC và vẫn thỏa món điều kiện gúc PMQ bằng 600.
3.Cho tam giỏc ABC cú BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và cỏc phõn giỏc BD, CE. a) Tớnh độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.
b) Vẽ hỡnh bỡnh hành BEKD, chứng minh CE > EK. c) Chứng minh CE > BD.
1. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ đỉnh A kẻ cỏt tuyến bất kỡ cắt đường chộo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt cạnh CD tại G. Chứng minh:
a) Cỏc tam giỏc DAE và BFE đồng dạng. b) Cỏc tam giỏc DGE và BAE đồng dạng. c) AE2 = EF.EG.
d) Tớch BF.DG khụng đổi khi cỏt tuyến qua A thay đổi.
2. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ C kẻ CM vuụng gúc với AB, CN vuụng gúc với AD. Giả sử AC > BD. Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2.
3. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc đều nhọn. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vuụng gúc với MH cắt AB tại P, cắt AC tại Q. Chứng minh:
a) AHP ~ CMH∆ ∆
b) QHA ~ HMB∆ ∆
c) HP = HQ.
4.Cho tam giỏc đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trờn cạnh AB, Q trờn cạnh AC sao cho gúc PMQ bằng 600.
a) Chứng minh MBP ~ QCM∆ ∆ . Từ đú suy ra PB.CQ cú giỏ trị khụng đổi. b) Kẻ MH vuụng gúc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP∆ ∆ ∆ ∆ . c) CHứng minh độ dài MH khụng đổi khi P, Q chạy trờn AB, AC và vẫn thỏa món điều kiện gúc PMQ bằng 600.
5.Cho tam giỏc ABC cú BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và cỏc phõn giỏc BD, CE. a) Tớnh độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.
b) Vẽ hỡnh bỡnh hành BEKD, chứng minh CE > EK. c) Chứng minh CE > BD.