Quy tắc Taylor được trình bày và ước lượng ở phần trước là một quy tắc lãi suất tuyến tính đơn giản, đại diện cho một quy tắc chính sách (policy-rule) trong điều kiện các ngân hàng trung ương đang tối thiểu hóa hàm tổn thất đối xứng bậc hai và có hàm tổng cung là tuyến tính. Tuy nhiên, thực tế, điều này có thể không đúng và ngân hàng trung ương có thể phản ứng với các độ lệch so với các mục tiêu của họ khác đi. Nếu ngân hàng trung ương quả thực gán những trọng số khác nhau cho output gap và lạm phát vào hàm tổn thất, thì quy tắc Taylor phi tuyến sẽ phù hợp hơn để giải thích hành vi của chính sách tiền tệ. Hơn nữa, lạm phát và output gap có xu hướng thể hiện một sự điều chỉnh bất đối xứng đến chu kỳ kinh doanh: sản lượng có xu hướng thể hiện sự suy thoái kinh tế ngắn hạn và đột ngột trong chu kỳ kinh doanh, nhưng sự phục hồi lâu dài và đều đặn; lạm phát cũng tăng nhanh hơn qua các chu kỳ kinh doanh hơn là xu hướng giảm. Trong tình huống này, các ngân hàng trung ương có phản ứng khác nhau đối với các mức lạm phát và sản lượng cao hơn, thấp hơn hoặc xoay quanh mức mục tiêu kỳ vọng cũng là điều bình thường. Những lập luận này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xem xét một quy tắc Taylor phi tuyến trong việc phân tích hành vi của ngân hàng trung ương.
Để giải thích hành vi phi tuyến này, mô hình hồi quy chuyển tiếp trơn (STR) được sử dụng. Mặc dù hai dạng của mô hình này đã được áp dụng cho các nghiên cứu về hành vi
của một số ngân hàng trung ương có liên quan do Martin và Milas (2004) và Petersen (2007) thực hiện, nhưng chưa có nghiên cứu nào áp dụng mô hình như thế này để phân tích các hành vi chính sách của ECB. Bài viết này dự định sẽ thực hiện để cung cấp cùng một lúc, phân tích so sánh giữa chính sách tiền tệ của ECB và chính sách tiền tệ của FED và BOE. Ngoài ra, nghiên cứu này mở rộng các nghiên cứu về các quy tắc Taylor phi tuyến đã thực hiện bằng cách kiểm tra các điều kiện tài chính.
Một mô hình STR dạng chuẩn cho quy tắc Taylor phi tuyến tính có thể được biểu diễn như sau:
Trong đó
zt = (1, it−1, . . . , it−n; πt , ỹt; x1,t, . . . , xm,t)’ là vector của các biến giải thích, với h=n+2+m.
ψ = (ψ0, ψ1, . . ., ψh)’ và ω= (ω0, ω1, . . ., ωh)’ là các ((h+1)×1) vector tham số trong các phần tuyến tính và phi tuyến tính của mô hình một cách tương ứng. Sai số được giả định là phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai không đổi εt∼iid(0, σ2) . Hàm chuyển tiếp G(η,c,st) là một hàm của biến chuyển tiếp st được giả định là liên tục và bị chặn giữa 0 và 1. Khi st→−∞, G(η,c,st)→0 and và st→+∞, G(η,c,st)→1. Biến chuyển tiếp st, có thể là một yếu tố hoặc tổ hợp tuyến tính của zt hoặc thậm chí là một xu hướng xác định.
Một số các định nghĩa mới đã được đề xuất cho hàm chuyển tiếp trong tài liệu. Chúng tôi bắt đầu bằng việc xem xét G(η,c,st) như là một hàm logistic bậc 1:
Loại mô hình STR này được gọi là một mô hình STR logistic hay mô hình LSTR1. Hàm chuyển tiếp này là một hàm tăng lên theo st, trong đó η là tham số độ dốc cho thấy tốc độ của hàm chuyển tiếp, ví dụ như hàm G theo st chuyển tiếp từ giá trị 0 sang 1 mất bao lâu. Cuối cùng, c là tham số vị trí (tham số ngưỡng), tham số này cho biết vị trí mà quá trình chuyển tiếp có thể xảy ra. Trong thực nghiệm người ta thường hay lựa chọn dạng hàm chuyển tiếp có dạng là hàm logistic.
Xem xét trong khuôn khổ này, mô hình LSTR1 có thể mô tả mối quan hệ đó là sự thay đổi theo mức độ của biến ngưỡng. Giả định rằng biến chuyển tiếp là mức độ lạm phát (st=πt), khi đó mô hình LSTR1 có thể mô tả một phản ứng của ngân hàng trung ương đối với một cơ chế lạm phát cao và thấp. Với việc ngân hàng trung ương gán cho lạm phát tỉ trọng lớn, tác giả kỳ vọng sẽ tìm thấy sự khác biệt đáng kể trong hành vi của các ngân hàng này khi lạm phát (kỳ vọng) sai lệch đáng kể so với một ngưỡng nhất định.
Mô hình STR tương đương với một mô hình tuyến tính với các hệ số thay đổi theo thời gian được lựa chọn một cách ngẫu nhiên, và như vậy, nó có thể được viết lại như sau:
Với G(η,c,st) liên tục và bị chặn giữa 0 và 1, các tham số kết hợp, ζ , sẽ biến động giữa ψ và ψ+ω và biến thiên đơn điệu như một hàm của st. Càng nhiều biến chuyển tiếp di chuyển xa ngưỡng thì G(η,c,st) càng tiến gần 1, và tham số ζ càng tiến gần đến ψ+ω ; tương tự, st càng gần đến ngưỡng, c, hàm chuyển tiếp sẽ càng tiến gần 0 và tham số ζ càng tiến gần ψ.
Vì một chuyển tiếp đơn điệu có thể không phải là một sự thay thế thỏa đáng, nghiên cứu này cũng sẽ xem xét (và kiểm tra) sự tồn tại của một hàm chuyển tiếp không đơn điệu, như nghiên cứu của Martin và Milas (2004). Thực tế là, các ngân hàng trung ương có thể xem xét không phải là một mức lạm phát mục tiêu xác định mà là một khoảng hoặc một cơ chế lạm phát nội tại, với mức lạm phát được kiểm soát, và dẫn đến các phản ứng của cơ quan tiền tệ sẽ khác nhau trong tình huống mà lạm phát vượt ra ngoài cơ chế.
Hàm thay thế không đơn điệu để xem xét là hàm logistic bậc 2:
Trong đó η≥0, c ={c1,c2}và c1 ≤ c2 Hàm chuyển này đối xứng quanh (c1+c2)/2 và nếu không thì bất đối xứng, và mô hình sẽ trở nên tuyến tính khi η→0. Nếu η→∞ và c1≠c2,
G(η,c,st) thay đổi bằng 0 với c1 ≤ st ≤ c2 và bằng 1 với các giá trị khác, và khi st→±∞, G(η,c,st)→1. Để phân biệt mô hình STR này với mô hình đã nêu ở trên, gọi mô hình này là mô hình STR logistic bậc hai hay mô hình LSTR2. Khi xem xét lạm phát như một biến chuyển tiếp (transition variable), mô hình này cho phép ước lượng khoảng tách biệt trên và dưới cho lạm phát thay vì một giá trị mục tiêu đơn giản (mà trong thực tế không phải lúc nào cũng có thể dễ dàng đạt được).