T¦n sè cëng h÷ðng hay cán gåi l t¦n sè tîi h¤n, t¤i gi¡ trà cõa t¦n sè n y th¼ vªn tèc truy·n sâng l væ còng lîn. Trong Ch÷ìng 3 ¢ tr¼nh b y c¡ch x¡c ành t¦n sè tîi h¤n trong mæ h¼nh hai lîp l (3.11), ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng t½ch v ta c¦n quan t¥m tîi ph÷ìng tr¼nh cho nghi»m t¦n sè tîi h¤n ð c¡c mode cì b£n do â ta ch¿ x²t ph÷ìng tr¼nh
cos(q1) cos(q2)− ρ1β1
ρ2β2 sin(q1) sin(q2) = 0, (4.4)
sû döng cæng thùc khai triºn Taylor cõa c¡c h m sin(qi) v cos(qi) º ÷a c¡c h m l÷ñng gi¡c v· h m a thùc nh÷ sau sin(qi) = qi− q 3 i 3! + 0(q 4 i), (4.5) cos(qi) = 1− q 2 i 2! + 0(q 3 i). (4.6)
Thay v o (4.4) ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c trð th nh ph÷ìng tr¼nh ¤i sè
1− q 2 1 2! 1− q 2 2 2! − ρ1β1 ρ2β2 q1− q 3 1 3! q2− q 3 2 3! = 0, (4.7) thay q = 2πf d¯ /β , q = 2πf d¯ /β v bä qua væ còng b² bªc cao hìn 4.
Ph÷ìng tr¼nh (4.7) câ d¤ng ph÷ìng tr¼nh bªc hai cõa f¯2 nh÷ sau
1−(2πf¯)2I1 + (2πf¯)4I2 = 0, (4.8) trong â c¡c h» sè I1 v I2 l c¡c biºu thùc phö thuëc v o c¡c °c tr÷ng cõa hai lîp l ë d y, khèi l÷ñng ri¶ng, v vªn tèc cõa sâng ngang. Vîi
I1 = d 2 1 2β2 1 + d1d2ρ1 β2 2ρ2 + d2 2 2β2 2 , (4.9) I2 = d 2 1d2 2 4β2 1β2 2 + ρ1d 3 1d2 6ρ2β2 1β2 2 + ρ1d1d 3 2 6ρ2β4 2 .
Ph÷ìng tr¼nh (4.8) l ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bªc hai cõa f¯2, v t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n y l ìn gi£n hìn so vîi vi»c t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (4.4).
4.2. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang trong mæ h¼nh hai lîp
Tø ph÷ìng tr¼nh (4.8) n¸u ch¿ x§p x¿ tîi bªc nh§t cõa f¯2 th¼ ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng ìn gi£n l
1−(2πf¯)2I1 = 0, (4.10) vîi I1 = d 2 1 2β2 1 + ρ1d1d2 ρ2β2 2 + d 2 2 2β2 2 , suy ra ¯ f = 1 2πq d21 2β2 1 + ρ1d1d2 ρ2β2 2 + d22 2β2 2 . (4.11)
N¸u coi mæ h¼nh tr÷íng hai lîp thu¦n nh§t vîi ¡y bà ng m t÷ìng ÷ìng vîi mæ h¼nh mët lîp vîi ¡y ng m câ ë d y l d1 + d2 v vªn tèc sâng ngang trong mæ h¼nh mët lîp t÷ìng ÷ìng n y l β¯ th¼ gi¡ trà cõa t¦n sè tîi h¤n n y ph£i thäa m¢n (4.1) n¶n ta câ
¯ f(d1 +d2) ¯ β = 1 4, (4.12)
tø biºu thùc n y thu ÷ñc cæng thùc vªn tèc trung b¼nh cõa sâng ngang cõa mæ h¼nh mët lîp t÷ìng ÷ìng l ¯ β = 2(d1 +d2) πq d21 2β12 + ρ1d1d2 ρ2β22 + d22 2β22 (4.13) N¸u gi£i ph÷ìng tr¼nh (4.8) ta s³ thu ÷ñc nghi»m tîi x§p x¿ bªc hai cõa f¯2 vîi c¡c h» sè I1, I2 ÷ñc cho nh÷ (4.9).
¯ f = 1 2π s I1 −pI2 1 −4I2 2I2 (4.14)
v cæng thùc vªn tèc sâng ngang trung b¼nh
¯ β = 2(d1 +d2) π s I1−p I2 1 −4I2 2I2 (4.15) 4.3. ¡nh gi¡ cæng thùc vªn tèc trung b¼nh
Trong möc n y s³ tr¼nh b y vi»c t½nh to¡n t¦n sè tîi h¤n v vªn tèc trung b¼nh cõa sâng ngang cõa mæ h¼nh hai lîp vîi ¡y bà ng m khi ÷a v· mæ h¼nh mët lîp t÷ìng ÷ìng.
X²t mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t n hçi ¯ng h÷îng, lîp tr¶n câ ë d y
d1 = 7.8 (m), vªn tèc sâng ngang β1 = 193 (m/s) v lîp d÷îi câ chi·u d y
d2 = 20 (m) vªn tèc sâng ngang β2 = 694 (m/s), hai lîp câ khèi l÷ñng
ri¶ng l b¬ng nhau ρ1 = ρ2 = 2 (g/cm3). Vîi mæ h¼nh ng m °t tr¶n b¡n khæng gian câ ë cùng õ lîn vîi vªn tèc sâng ngang l 3000 (m/s), khèi l÷ñng ri¶ng l 2 (g/cm3) v h» sè Poisson l 0.4 th¼ t¦n sè cõa iºm cüc ¤i cõa t sè H/V ÷ñc t½nh theo ch÷ìng tr¼nh cõa Herrmann (1994) [16] l
fp = 4.7343(Hz).
Nh÷ vªy vªn tèc sâng ngang trung b¼nh mong ñi cõa mæ h¼nh hai lîp ng m theo nguy¶n lþ cõa ph÷ìng ph¡p t sè H/V l
¯
β = 4hfp = 526.45(m/s).
Thay c¡c dú li»u nh÷ tr¶n v o (4.11) v (4.13) t½nh ÷ñc t¦n sè tîi h¤n f¯
1 = 4.035 (Hz), v vªn tèc trung b¼nh cõa sâng ngang t÷ìng ùng l
¯ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Công vîi mæ h¼nh cö thº tr¶n n¸u sû döng ph÷ìng tr¼nh x§p x¿ tîi bªc hai cõa f¯2 ta thu ÷ñc nghi»m f¯
2 = 4.708 (Hz) v vªn tèc trung b¼nh cõa
sâng ngang khi â l β¯
2 = 523.5 (m/s), l gi¡ trà kh¡ g¦n vîi gi¡ trà mong
ñi.
N¸u sû döng cæng thùc trung b¼nh cõa vªn tèc sâng ngang vîi trång sè l ë s¥u v vîi c¡c sè li»u nh÷ tr¶n ta ÷ñc
¯
β = d1β1 +d2β2
d1 +d2
≈553(m/s). (4.16)
M°t kh¡c, n¸u ta coi mæi tr÷íng hai lîp n y nh÷ mët lîp th¼ khi â vªn tèc sâng ngang s³ b¬ng ë d y d1+d2 chia cho thíi gian sâng trong ë d y â v thíi gian n y b¬ng têng thíi gian trong tr÷íng hñp hai lîp t÷ìng ùng l t1 = d1/β1, t2 = d2/β2
¯
β = d1+d2
t1+t2 ≈ 387.9(m/s). (4.17) Sü kh¡c bi»t giúa ba c¡ch t½nh vªn tèc sâng ngang trung b¼nh ð ¥y l n¸u thay êi và tr½ cõa hai lîp cho nhau th¼ vîi c¡ch t½nh trung b¼nh theo theo to¡n håc v trung b¼nh theo thíi gian th¼ gi¡ trà vªn tèc trung b¼nh khæng câ sü thay êi, trong khi â mæ h¼nh thüc t¸ ho n to n kh¡c mæ h¼nh tr÷îc â. Tuy nhi¶n, cæng thùc trung b¼nh (4.8) gi¡ trà trung b¼nh thay êi khi êi và tr½ hai lîp cho nhau. Hìn núa, cæng thùc trung b¼nh mîi vîi x§p x¿ bªc hai cõa f¯2 cho nghi»m g¦n vîi gi¡ trà mong ñi hìn.
M°t kh¡c nghi»m óng cõa ph÷ìng tr¼nh x¡c ành t¦n sè tîi h¤n trong tr÷íng hñp hai lîp vîi ¡y bà ng m ÷ñc gi£i tø ph÷ìng tr¼nh
cos(q1) cos(q2)− ρ1β1
ρ2β2 sin(q1) sin(q2) = 0, (4.18)
gi£i ph÷ìng tr¼nh n y vîi c¡c thæng sè cho nh÷ tr¶n thu ÷ñc nghi»m
¯
f0 = 4.893 (Hz), ë l»ch khi x§p x¿ tîi bªc 4 cõa t¦n sè f¯trong v½ dö n y
l 3.7% v èi vîi x§p x¿ bªc hai l 19.1%
Trong h¼nh 4.1 ÷íng n²t li·n mæ t£ ç thà cõa v¸ tr¡i ph÷ìng tr¼nh (4.18), ÷íng n²t ùt ç thà cõa v¸ tr¡i ph÷ìng tr¼nh (4.8), v ÷íng n²t ch§m ç thà cõa v¸ tr¡i ph÷ìng tr¼nh (4.10). C¡c iºm giao vîi tröc n¬m ngang l nghi»m c¦n t¼m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng v chóng ta th§y
(4) H2L (exac) 2 4 6 8 10 f -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Eq
H¼nh 4.1: So s¡ch ph÷ìng tr¼nh ch½nh x¡c vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh x§p x¿ cõa v¸ tr¡i
r¬ng nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x§p x¿ bªc hai r§t g¦n vîi nghi»m ch½nh x¡c.
4.4. K¸t luªn ch÷ìng 4
Ch÷ìng 4 ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn º kh£o s¡t t¦n sè iºm cüc ¤i cõa ÷íng cong t sè H/V cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh nhi·u lîp câ ¡y bà ng m º nhªn ÷ñc mët cæng thùc x§p x¿ d¤ng hiºn cõa t¦n sè cüc ¤i n y. Cæng thùc d¤ng hiºn n y còng vîi nguy¶n lþ cõa ph÷ìng ph¡p t sè H/V ¢ gióp thi¸t lªp mët cæng thùc trung b¼nh mîi cõa vªn tèc sâng ngang trong mæ h¼nh nhi·u lîp. V· b£n ch§t th¼ cæng thùc trung b¼nh n y l cæng thùc thu¦n nh§t hâa c¡c lîp v· mët lîp t÷ìng ÷ìng º d¹ sû döng ph÷ìng ph¡p t sè H/V. Lîp t÷ìng ÷ìng n y câ chi·u d y b¬ng têng chi·u d y c¡c lîp v câ vªn tèc sâng ngang ÷ñc t½nh theo cæng thùc trung b¼nh mîi. Cæng thùc trung b¼nh mîi n y ¢ ph£n ¡nh ÷ñc £nh h÷ðng cõa c¡c tham sè kh¡c ¸n vªn tèc sâng ngang trung b¼nh v ph£n ¡nh ÷ñc £nh h÷ðng cõa và tr½ c¡c lîp.
KT LUN
Trong khuæn khê luªn v«n n y t¡c gi£ ¢ t¼m hiºu hai ph÷ìng ph¡p º t¼m ra ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. â l ph÷ìng ph¡p h m th¸ v ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn. èi vîi mæ h¼nh t÷ìng èi ìn gi£n ÷ñc x²t ð trong luªn v«n, c£ hai ph÷ìng ph¡p ·u cho ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V d¤ng hiºn gièng nhau. C¡c cæng thùc d¤ng hiºn n y ÷ñc sû döng º kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t cõa ÷íng cong t sè H/V ÷ñc dòng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V. C¡c k¸t qu£ èi vîi mæ h¼nh hai lîp n y l mîi.
Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn công ÷ñc sû döng º t¼m ra cæng thùc x§p x¿ d¤ng hiºn cõa t¦n sè iºm cüc ¤i cõa ÷íng cong t sè H/V. T¦n sè iºm cüc ¤i n y l tham sè quan trång nh§t trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V. Cæng thùc d¤ng hiºn n y ÷ñc sû döng còng vîi nguy¶n lþ cõa ph÷ìng ph¡p t sè H/V º nhªn ÷ñc mët cæng thùc trung b¼nh mîi t½nh to¡n vªn tèc sâng ngang trung b¼nh khi thu¦n nh§t hâa c¡c lîp v· mët lîp. K¸t qu£ n y l mîi v câ þ ngh¾a thüc ti¹n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
DANH MÖC CC BI BO
Tr¦n Thanh Tu§n, Nguy¹n Thanh Nh n, Tr¦n Ngåc Trung (2013), iºm cüc ¤i v cüc tiºu cõa ÷íng cong t sè H/V cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t. Hëi nghà Khoa håc to n quèc Cì håc Vªt rn bi¸n d¤ng l¦n thù XI Th nh phè Hç Ch½ Minh, 7-9/11/2013. pp 1283 - 1293.
T i li»u tham kh£o
[1] T.T. Tuan. (2009) The ellipsticity (H/V- ratio) of Rayleigh surface waves. Dissertation in Geophysics, University of Jena.
[2] Malischewsky, Peter G., and Frank Scherbaum (2004), Loves formula and H/Vratio (ellipticity) of Rayleigh waves, Wave motion 40, 1, 57- 67.
[3] Haskell, N. A. (1953). The dispersion of surface waves on multilayered media, Bull. seism. Soc. Am., 43, 17-34.
[4] Nogoshi M., Igarashi T. (1971). On the amplitude characteristics of mi-crotremor (part2), Journal of Seismological Society of Japan 24, 26-40 (In Japanese with English abstract).
[5] Nakamura Y. (1989). A method for dynamic characteristics estimation of sub-surface using microtremor on the ground surface, Quarterly Re- port of Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp. 25-33. [6] Nakamura Y. (1996). Real-time information systems for hazards miti- gation, Proceedings of the 11th World Conference on Earthquake En- gineering, Aca-pulco, Mexico.
[7] Nakamura Y. (2000). Clear identification of fundamental idea of Naka- mura's technique and its applications, Proceeding of the 12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand. [8] Peter G. Malischewsky, Frank Scherbaum, Cinna Lomnitz, Tran
Thanh Tuan, FrankWuttke, Gadi Shamir. (2008) The domain of exis- tence of prograde Rayleigh-wave particle motion for sinple models .
[9] Konno K. and Ohmachi T. (1998). Ground-motion characteristics es- timated from spectral ratio between horizontal and vertical components of microtremor. Bull. Seism. Soc. Am., 88, 228-241.
[10] Stephenson W. R (2003). Factors bounding prograde Rayleigh-wave particle motion in a soft-soil layer. Pacific Conference on Earthquake Engineering, 13-15 February, Christchurch, New Zealand.
[11] Tran Thanh Tuan, Frank Scherbaum and Peter G. Malischewsky (2011). On the relationship of peaks and troughs of the ellipticity (H/V) of Rayleigh waves and the transmission response of single layer over half-space models. Geophysical Journal International 184 (2) , 793- 800.
[12] P.G. Malischewsky, Y. Zaslavsky, M. Gorstein, V. Pinsky, T. T. Tran, F. Scherbaum, H. Flores Estrella (2010). Some new theoretical consid- erations about the ellipticity of Rayleigh waves in the light of site-effect studies in Israel and Mexico, Geofisica International 49(3), 141-152. [13] Thomson W.T. (1950) Transmission of Elastic Waves through a Strat-
ified Solid Medium Jour.Appl.Phys., 21:89.
[14] Hing-Ho Tsang, M. Neaz Sheikh, Nelson T.K. Lam (2012), Modeling shear rigidity of stratified bedrock in site response analysis, Soil Dy- namics and Earthquake Engineering 34, 8998.
[15] Fah, D., Kind, F., Giardini, D. (2001), A theoretical investigation of average H/V ratios, Geophys. J. Int, 145, 535-549.
[16] Herrmann R. B. (1994). Computer programs in seismology, vol IV, St Louis University.