III. Mặt tru tròn xoay 1 Định nghĩa
Toán 1 2 Chương III Bài 2 Phương trình mặt phẳng.
Ngày gửi bài: 09/11/2010 Số lượt đọc: 310
Trong hình học không gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng, chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, ... . Bây giờ ta sẽ xác định mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ.
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳngĐịnh nghĩa Định nghĩa
Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của .
Chú ý. Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì với , cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Bài toán
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và hai vectơ không cùng phương vectơ = (a1; a2; a3), = (b1; b2; b3) có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng . Chứng minh rằng mặt phẳng nhận vectơ: = a2b3 - a3b2; a3b1 - a1b3; a1b2 - a2b1 làm vectơ pháp tuyến.
Giải: Ta có:
Vậy vectơ vuông góc với cả hai vecto và , có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng . (h.3.4). Suy ra giá của vuông góc với mặt phẳng . Vì , không cùng phương nên các toạ độ của không đồng thời bằng 0, suy ra . Do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.4.cg3
Vectơ xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và , kí
hiệu là hoặc .
?1. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2 ; -1 ; 3), B(4 ; 0 ; 1), C(-10 ; 5 ; 3). Hãy tìm tọa độ
một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳngBài toán 1 Bài toán 1
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và nhận (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y ; z) thuộc mặt phẳng là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Giải:
Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.5.cg3
Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.
Bài toán 2
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thoả mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận
vectơ = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến.
Giải: Ta lấy điểm M0(x0, y0, z0) sao cho Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (chẳng hạn nếu A 0 thì ta lấy x0 = - D/A; y0 = z0 = 0).
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M0 và nhận = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Ta có: A(x -x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0 vì D = - (Ax0 + By0 + Cz0). Từ hai bài toán trên ta có định nghĩa sau:
1. Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng không, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét:
a) Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là = (A; B; C).
b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0, y0, z0) nhận vectơ = (A; B; C) khác làm vectơ pháp tuyến là A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0).
?2. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : 4x – 2y – 6z + 7 = 0.
?3.
Lâôp phương trình tổng quát của măôt phẳng (MNP) với M(1 ; 1 ; 1), N(4 ; 3; 2), P(5 ; 2 ; 1).