III. Mặt tru tròn xoay 1 Định nghĩa
2. Ứng dung
a) Độ dài của một vecto. Cho vecto .
b) Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA,yA,zA)và B(xB,yB,zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto . Do đó ta có:
IV – PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUĐịnh lí Định lí
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; c) bán kính r có phương trình là:
Chứng minh
Gọi M(x ; y ; z) là một điểm thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r (h.3.3) Khi đó :
Do đó (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 là phương trình của mặt cầu (S).
Hình 3.3
Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.3.cg3
Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin:Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )
4 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1 ; - 2 ; 3) có bán kính r = 5.Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng: Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 - r2
Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 - D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) có bán
kính .
Ví du. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z + 5 = 0
Giai
Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z + 3)2 = 32
BÀI TẬP
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
2. Cho ba điểm A = (1 ; - 1 ; 1), B = (0 ; 1; 2), C = (1 ; 0 ; 1) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A = (1 ; 0 ; 1), B = (2; 1; 2), D = (1 ; - 1 ; 1), C’ = (4 ; 5 ; -5). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
4. Tính
5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây : a) x2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0
b) 3x2 + 3y2 + 3z2 - 16x + 8y + 15z - 3 = 0
6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: a) Có đường kính AB với A = (4 ; - 3 ; 7), B = (2 ; 1; 3) b) Đi qua điểm A = (5 ; - 2 ; 1) và có tâm C = (3 ; - 3 ; 1)