M D= N E Chứng minh rằng N luôn song song với một mặt phẳng cố định.
7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nha ua và b
* Tính khoảng cách giữa a và mặt phẳng (α) chứa b và (α) // a
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b
Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi
một vuông góc với OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Giải:
Ta có OC ⊥ (AOB). Gọi K là trung điểm OB, ta có hình chiếu của AI lên (AOB) là AK (vì IK ⊥ (AOB)).
Vẽ OH ⊥ AK. Dựng HE// OC c8át AI tại E. Dựng EF // OH c8át OC tại F. Khi đó EF là đường vuông góc chung của AI và OC. Độ dài đoạn EF là khoảng cách giữa AI và OC. Xét tam giác vuông AOK ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 2 OH =OA +OK =a + a = a ÷ . Do đó: OH2 = 2 5 5 5 a a OH ⇒ =
Vì OH = EF, ta suy ra khoảng cáhc EF = OH = 5 5
a
III. BÀI TẬP:
1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a. Chứng minh rằng uuur uuuur uuuur uuuurAA'+AC'=AB'+AD' b. Chứng minh: uuur uuur uuuur uuuuur rAB BC CD+ + '+D A' ' 0=
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho PAuuur= −3uuur uuurPD QB, = −3QCuuur. Chứng minh rằng ba vectơ MN MP MQuuuur uuur uuuur, , đồng phẳng.
3. Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với các đường thẳng BD, DA’.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và HK ⊥ (SAC)
6. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) và (SBC) ⊥ (SAB).
OK K I E F H C B A Hình 6.12
---7. Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm. Cạnh AD = 4 cm và AD vuông góc