M D= N E Chứng minh rằng N luôn song song với một mặt phẳng cố định.
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
* Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) ta chứng minh :
- d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) - d song song với một đường thẳng d’ mà d’ vuông góc với (α) - d vuông góc với (β) mà (β) // (α)
Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam
giác cân có chung đáy BC. a. Chứng minh BC ⊥ AD.
b. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng
I H
B D
C A A
---
Giải:
a. Gọi I là trung điểm của BC, ta có BC ⊥ AI và BC ⊥ DI Do đó BC ⊥ (ADI) và suy ra BC ⊥ AD.
b. Mặt phẳng (BCD) chứa đường thẳng BC⊥(ADI) nên (BCD) ⊥ (ADI). Ta có DI là giao tuyến
của hai mặt phẳng (BCD) và (ADI) vuông góc với nhau nên hình
chiếu vuông góc H của đỉnh A phải nằm trên giao tuyến DI của
hai mặt phẳng đó. Trong mặt phẳng (ADI), ta vẽ AH ⊥ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD).
Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với
đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau.
b. Gọi d là giao tuyến của (α) và (β). Chứng minh d ⊥ (ABC).
Giải:
a. Theo giả thiết CA ⊥ (α) và CB ⊥ (β) nên góc của hai mặt phẳng (α) và (β) bằng góc ·ACB của tam giác ABC đã cho hoặc bằng góc 1800 - ·ACB. Do đó ta suy ra
hai mặt phẳng (α) và (β) phải cắt nhau.
b. Vậy (α) và (β) phải cắt nhau theo giao tuyến d. Ta cần chứng minh d ⊥ (ABC). Vì CA ⊥(α) và d thuộc (α) nên CA ⊥ d. Tương tự, vì CB ⊥ (β) và d thuộc (β) nên CB⊥d. Do đó, vì d ⊥ CA và d ⊥ CB nên ta suy ra d ⊥ (ABC).