I _Ị rnax — 6— < [ cr
TÍNH THANH BIẾN DẠNG TỪ BIẾN
1. TÓM TẮT Ú THUYẾT
- Tính chất của vật liệu biến dạng theo thời gian khi chịu tác dụng của tải trọng không đổi được gọi là từ biển.
- ở thời điểm t = 0 biến dạng là 8(0) - biến dạng tức thời (đàn hồi hoặc đàn dẻo).
Khi t tăng biến dạng tăng. Nếu t —» co, é —> 0 thì từ biến được gọi là từ biến ổn định (1). Nếu t —» co, 8 tăng dần đến phá hoại kết cấu thì từ biến được gọi là từ biến không ổn định (2).
- Biến dạng toàn phần ở thời điểm t là:
(°)
( ° )
8 = s(0) + 8Ib (1)
e[b - biến dạng từ biến.
- Nếu sự tăng biến dạng từ biến tỉ lệ với sự tăng của ứng suất ta có từ biến tuyến tính. Ngược lại là từ biến phi tuyến.
- Hiện tượng giảm dần ứng suất theo thời gian khi biến dạng không đổi được gọi là chùng ứng suất.
- Lí thuyết từ biến có tính đến lịch sử đặt tải được gọi
là lí thuyết từ biến di truyền và có dạng:
e(t) = ~ ^ + jK (t-x )ơ (x )đ x C)
trong đó:
K(t - x) - nhân từ biến, có thể có các dạng khác nhau, chẳng hạn:
K (t-x ) = v Ẹ e " (t-T) E
y, K - hằng số vật liệu.
(4) e^ = nTT+ íK(t, T)ơ(-c)dT
E(t) /
M)
- Trong trường hợp chung, khi tính đến tính di truyền và tính già của vật liệu:
- Có thể tìm nghiệm của bài toán của lí thuyết từ biến tuyến tính bằng nguyên lí Vônte: nghiệm của bài toán lí thuyết từ biến tuyến tính có thể thu được từ nghiệm của bài toán lí thuyết đàn hồi tương tự bằng cách chỉ việc thay các hằng số đàn hồi bằng các toán tử tích phân và thực hiện giải chúng.
Trường hợp đặc biệt có thể dùng phép biến đổi Lapatxơ. Tức là thay các hằng số đàn hồi bằng các ảnh của toán tử tương ứng của lí thuyết từ biến và dùng phép chuyển từ ảnh sang nguyên thủy các hàm cần tìm, ta thu được nghiêm của bài toán từ biến tương ứng.
Nếu có hàm cần tìm y(t) của biến thực t và kí hiệu y(s) - ảnh của hàm cần tìm có biến thức s thì các công thức để xác định nguyên thủy và ảnh của nó có dạng:
c+iso co
y(t) = — 7 í esly(s)ds, y(t) = íe~sty(s)dt
27TĨ c-ico J u:
trong đó:
i - đơn vị phức; c - hằng số thực.
- Xét ví dụ xác định độ võng của côngxôn tại A biết q = const theo thời gian.
Nhân từ biến có dạng: K « ,t) = £ = E0
-Y(UT)
Dùng phương pháp thông sô ban đầu. ở bài toán đàn hôi ta có:
í ,2 2 „ f „ 3 __4 A 1 M nz~ M nz - , _ z _ I_ ~ Ya E0IV 2! — — + q — 3! 4! E0I q/ z q/z~ qz" 2 2! 3! 4! ' z = / (5) 1 í V _ q / V ^ 2 6 24 E0I V 3 L 8EnI
Thay — bằng — = — + K(s). Khi đó biểu thức chuyển vị (5) ở dạng ảnh Laplatxơ
E0 E(s) E0
có dạng:
y(s) = q l 4 _ c
Trong đó K(s) được xác định từ (3):
K (s) = yK 1 E0 s(s + y)
Thay K(s) vào (6), ta cói y(s) = q r
8E0I 1+ - yK s(s + y) Thực hiện biến đổi Laplatxơ ngược, thu được:
y(t) = q r
8E0I l + K ( l - e 'Ỵt)
Khi t —> co: q/4
8E0I(1 + K) - yA(l + k) trong đó:
yA - chuyển vị đàn hồi (chuyển vị tại A khi t = 0)
(7)
2. C Á C V Í DỤ
Ví dụ: Tính chuyển vị của dầm có tính đến từ biến.
Cho dầm kim loại chịu lực với các số liệu: q = 0,02kN/cm, F = lOkN, I = 20.104cm4, En = 2.104 kN/cm2, a = 3m, y = 2.10 2 1/ngày, k = 1,3; K(t - x) = y—e~7(t“T).
E
Yêu cầu: Xác định chuyển vị tại tiết diện A và c với vật liệu dầm có tính từ biến tuyến tính.
Lòi giải:
1. Xác định chuyển vị tại A và c khi biến dạng là đàn hồi.
- Dùng phương pháp lực để tìm phản lực tại gối tựa:
Sj (X + A = 0
Vẽ các biểu đồ mômen trong hệ cơ bản và tính các hệ số: 1 2a E0I ' 6 2.2a.2a 8a3 3E0I A = (m °f) ( M , ) = a3 f 33r; —— - 7 - F + EqI ^ 6 373 'ì — qa 72 ) 2F ỵ q |F ị' f H 1 ’' í f * m h t _ i B c — - HK... - ™ ..3 H (Mp) (M,)
Phản lực tại B:
Á 3 f 33 ^ 373
81 6 F + -72 qa 32,28kN
Tính phản lực tại ngàm:
= 0 => Mn = -F3a - 2Fa (3a)2+ 32,28.2a = 37,32kNm
I M C = 0 => M 0 + v 0 3 a - 2 F 2 a + X a - q = 0 => v 0 = 1 5 , 7 2 k N
Dùng phương pháp thông số ban đầu xác định y x và yc:
yA =
E„I
M(,a V()aJ | qa4
2! 3! 4! ^E0I = 0.2 6.1<r’m
yc
E„I
Mq(3a) V0(2a)' q(3a)4 2F(2a)j Xa
3! + 4! +
2! 3! 3!
= 253^88 = 2 5 3 W = 4 I 0 _ 3 m
c ĩ /IA ta4
E0I 40.10
2. Xác định chuyển vị tại A và c khi có tính đến từ biến: - Viết lại biểu thức chuyển vị đàn hồi:
yA
103,95
E0I ; yc
2537,88 E0I
- Tương tự các công thức này, ta viết các chuyển vị có tính đến từ biến vật liệu ở dạng ảnh Lapỉatxơ: yA(s) = 103,95 103,95 ỈE(s) ■ + K(S) yc (s) = 2537,88 2537,88 ■ + K(s) E(s)I I
Sử dụng ảnh Laplatxơ viết biểu thức hàm K(t - x) ở dạng anh:
yK 1
(8)
K(s) =
Thay K(s) vào (8) thu được:
E0 s(s + Ỵ)
, 103,95
yA(s) = - ^ f 1 + - yK s(s +y)
yc (s) = 2537,88
E „ I