x2 - 3x + 2 = 3x2 - 2x2 - 6x + 3x + 8 - 6 = (3x2 - 6x) - (2x2 - 8) + (3x - 6) = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) + 3(x - 2) = 3x(x - 2) - 2(x - 2)(x + 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(3x - 2x - 4 + 3) = (x - 1)(x - 2).
Một cách tổng quát, để phân tích đa thức dạng x2 + px + q, nếu ta tìm được hai số a và b sao cho a + b = p và a.b = q thì ta có thể “tách” px = (a + b)x = ax + bx để có hằng đẳng thức : x2 + px + q = x2 + (a + b)x + a.b = (x + a)(x + b).
Trong ví dụ trên, vì (-1) + (-2) = -3 và (-1)(-2) = 2 nên : x2 -3x + 2 = x2 + [(-1) + (-2)]x + (-1)(-2) = (x - 1)(x - 2).
Tương tự như trên, các bạn hãy tìm nhiều cách “tách” cho các bài tập còn lại trong sách giáo khoa Toán 8 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 + x - 6 ;
2) x2 + 5x + 6 ; 3) x2 - 4x + 3 ; 4) x2 + 5x + 4 ; 5) x2 - x - 6.
TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG
Các bạn có biết các bất đẳng thức (BĐT) như Cô-si ; Bu-nhi-a-cốp-xki ; Trê-bư-sép và nhiều BĐT “tên tuổi” khác đều là hệ quả của một BĐT rất quen thuộc, là BĐT nào không ? Phải chăng đó chính là BĐT (a - b)2 ≥ 0 với mọi số thực a, b ?
Chúng ta hãy theo dõi một chuỗi biến đổi từ BĐT này. Ta có : (a - b)2 ≥ 0 <=> a2 + b2 ≥ 2ab (*)
<=> a2 + b2 + 2ab ≥ 4ab <=> (a + b)2 ≥ 4ab
(*) <=> a2 + b2 + a2 + b2 ≥ 2ab + a2 + b2 <=> 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
Từ (1) và (2), với mọi a, b ta có :
Từ (1), với a ≥ 0 ; b ≥ 0 ta có BĐT Cô-si :
Với a > 0 ; b > 0 ta có :
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
Từ (4) và (5), với a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ta có :
áp dụng BĐT (6) ta có BĐT Nes-bít :
áp dụng BĐT (*), với mọi a, b, c, d ta có BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski : (ad)2 + (bc)2 ≥ 2adbc &nbp; (**)
<=> a2d2 + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ 2ac.bd + a2c2 + b2d2 <=> (a2+ b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2
Với c > 0 ; d > 0 ta có :
áp dụng BĐT (9), ta có BĐT S-vác :
(trong đó a1, a2, ... , an là các số dương)
Như vậy có thể khẳng định rằng rất nhiều BĐT quan trọng, có ứng dụng rất lớn đều khởi nguồn từ BĐT hiển nhiên đúng (a - b)2 0. áp dụng BĐT này, các bạn hãy thử chứng minh các kết quả sau :
1) 3(ab + bc +ca) ≤ (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 2) (a + b)3 ≤ 4(a3 + b3)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
3)
với mọi a > 0 ; b > 0.
Còn rất nhiều các BĐT khác là hệ quả của BĐT (a - b)2 ≥ 0 đang chờ các bạn khám phá.
KHÔNG COI NHẸ KIẾN THỰC CƠ BẢN
