Khang (TTT2 số 4), dựa vào kết quả trung gian : nếu a1 ≥ a2 và b1 ≥ b2 thì a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1, em đã chứng minh được kết quả sau.
Cho hai bộ số dương a1 ≥ a2 ≥ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3. Khi đó : Nếu ta đặt A = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; B = a1b1 + a2b3 + a3b2 C = a1b2 + a2b1 + a3b3 ; D = a1b2 + a2b3 + a3b1 E = a1b3 + a2b1 + a3b2 ; F = a1b3 + a2b2 + a3b1 Thì A ≥ B ; A ≥ C ; B ≥ D ; B ≥ E ; C ≥ D ; C ≥ E ; D ≥ F ; E ≥ F. Thật vậy, do a2 ≥ a3 và b2 ≥ b3 => a2b2 + a3b3 ≥ a2b3 + a3b2 => A ≥ B. Các kết quả khác chứng minh hoàn toàn tương tự.
Như vậy, trong các tổng trên thì A có giá trị lớn nhất và F có giá trị nhỏ nhất. Dựa vào kết quả này, ta chứng minh được khá nhiều bất đẳng thức khác.
Bài toán 1 : Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng : 3abc ≤ a3b/c + b3c/a + c3a/b + a3c/b + b3a/c + c3b/a
Lời giải : Do vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử b ≥ a ≥ c. => a2b2 ≥ b2c2 ≥c2a2 và b/ac≥ a/bc≥ c/ab
áp dụng kết quả trên cho hai bộ số này, ta có :
a2b2. c/ab + b2c2. a/bc + c2a2.b/ac ≤ a2b2.b/ac + b2c2. a/bc + c2a2. c/ab Hay 3abc ≤ a3c/b + b3a/c + c3b/a (1)
Tương tự 3abc ≤ a3b/c + b3c/a + c3a/b + a3c/b (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta có đpcm.
Bài toán 2 : Cho a, b, c là các số dương.
Đặt P = a + b + c ; R = a3/(bc) + b3/(ca) + c3/(ab) ; Q = (a2 + b2)/(2c) = (b2 + c2)/(2a) + (c2 + a2)/(2b) . Chứng minh rằng : P ≤ Q ≤ R.
Hướng dẫn : Giả sử a ≥ b ≥ c. áp dụng kết quả trên cho hai bộ số : a2 ≥ b2 ≥ c2 ; và 1/c ≥ 1/b ≥ 1/a , ta có:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
a2.(1/a) + b2.(1/b) + c2.(1/c) ≤ a2.(1/b) + b2.(1/c) + c2.(1/a) (1) a2.(1/a) + b2.(1/b) + c2.(1/c) ≤ a2.(1/c) + b2.(1/a) + c2.(1/b) (2) Cộng từng vế (1) và (2), => :
2(a + b + c) ≤ (a2 + b2)/c + (b2 + c2)/a + (c2 + a2)/b ; => P ≤ Q (3)
Lại áp dụng kết quả trên cho hai bộ số : a3 ≥ b3 ≥ c3 và a/(abc) ≥ b/(abc) ≥ c/(abc) => R ≥ Q (4)
Từ (3), (4) => P ≤ Q ≤ R (đpcm).
Bài toán 3 : Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: (a8 + b8 + c8)/(a3b3c3) ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Hướng dẫn : áp dụng kết quả ban đầu cho : a5 ≥ b5 ≥ c5 và 1/(b3c3) ≥ 1/(a3c3) ≥ 1/(a3b3) a2 ≥ b2 ≥ c2 và 1/c3 ≥ 1/b3 ≥ 1/a3.
Rất mong các bạn hãy khám phá tiếp !
"TÁCH" HẠNG TỬ NHƯ THẾ NÀO
ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ?