Bản chất của phương phỏp này là quỏ trỡnh lựa chọn thử lần lượt cỏc nỳt trờn mạng lưới. Nếu số lượng cỏc biến số độc lập (nghĩa là cỏc tham số của kết cấu) khụng nhiều thỡ việc tỡm kiếm trờn mỏy tớnh để biết giỏ trị nhỏ nhất (hoặc giỏ trị lớn nhất) của hàm mục tiờu f(x) cú thể thực hiện bằng cỏch thử dần lần lượt cỏc phương ỏn ứng với cỏc điểm nỳt của siờu mạng lưới đa chiều trong khụng gian n chiều của cỏc biến độc lập. Tại mỗi điểm nỳt đú chỳng ta sẽ tớnh toỏn cỏc giỏ trị của cỏc hàm ràng buộc và hàm mục tiờu. Trong quỏ trỡnh đú mỏy tớnh sẽ tự động bỏ đi những điểm nào khụng thỏa món cỏc điều kiện ràng buộc rồi lựa chọn điểm cú giỏ trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của hàm f(x).
Tớnh khả thi của phương phỏp tỡm kiếm này dựa trờn cơ sở là cỏc bài toỏn kỹ thuật thường dễ tỡm được cỏc phương ỏn ban đầu dựa vào kinh nghiệm kỹ sư hay nhờ tra cứu cỏc tài liệu tham khảo.
2.1.4.1: Thử nghiệm độc lập lần lượt giỏ trị của cỏc tham số
Theo thuật toỏn này chỳng ta phải tiến hành lựa chọn tập hợp cỏc giỏ trị cỏc tham số của kết cấu: x1, x2, …,xn thay đổi trong giới hạn cho trước:
aj ≤ xj ≤ bj j = 1,2,…,n (2 - 1)
với cỏc trị số bước cố định:
hj = 1/Nj(bj - aj) (2- 2)
Ở đõy: Nj – số lượng cỏc giỏ trị khỏc nhau của tham số xj, được sử dụng khi tỡm kiếm.
Sau khi lựa chọn tất cả cỏc vộc tơ cấu trỳc ta nhận được tập hợp cỏc giỏ trị cỏc tham số tối ưu của kết cấu với sai số, khụng vượt quỏ hj, với j = 1,2,….,n, và giỏ trị tiờu chuẩn tối ưu tương ứng.
Thuật toỏn được nghiờn cứu rất đơn giản để lập trỡnh khụng cần giả định đi tỡm cỏc cực trị cục bộ, nhưng cú khuyết điểm lớn là ngay cả khi bài toỏn chớ cú vài tham số kết cấu chỳng ta cũng vẫn mất rất nhiều thời gian tớnh trờn mỏy tớnh. Tất nhiờn nếu ta cú mỏy tớnh rất mạnh, tớnh rất nhanh thỡ thuật toỏn này vẫn đỏng xem xột.
Cú một cỏch đơn giản nhất cho phộp tăng nhanh tốc độ tớnh toỏn của thuật toỏn này là hóy sắp xếp cỏc ràng buộc trong bài toỏn của mỡnh theo thứ tự giảm dần xỏc suất vi phạm của chỳng. Đầu tiờn nờn kiểm tra ràng buộc nào mà theo kinh nghiệm kỹ sư của người sử dụng thỡ đú là hàm ràng buộc dễ bị vi phạm nhất (vớ dụ điều kiện ổn định trượt sõu của một tường chắn đất trờnnền đất yếu chẳng hạn). Sau đú sẽ kiểm tra lần lượt cỏc ràng buộc khỏc cũng dễ bị vi phạm ở mức độ thấp. Cứ làm mói như thế thỡ chỉ ngay sau khi kiểm tra và ràng buộc ta đó cú thể loại trừ được rất nhiều điểm khụng cho phộp. Nhờ đú mà nhanh chúng tỡm ra điểm tối ưu với ớt cụng sức và giờ mỏy tớnh hơn.
Một cỏch khỏc để tăng nhanh tớnh toỏn là chỳng ta sẽ nghiờn cứu sơ bộ về vựng cho phộp nhờ chọn mạng lưới với bước khỏ lớn. Việc tăng độ dài bước của lưới trong giai đoạn tớnh toỏn sơ bộ đợt thứ nhất sẽ làm giảm số điểm cần kiểm tra cỏc ràng buộc và cần tớnh giỏ trị hàm mục tiờu. Sau khi tỡm được điểm tối ưu ở giai đoạn sơ bộ thỡ ngay ở lõn cận điểm tối ưu sơ bộ đợt thứ nhất núi trờn, chỳng ta sẽ tiến hành phõn chia vựng lưới với bước nhỏ hơn (vớ dụ: hóy lấy bước lưới giảm dần 2 lần, 4 lần, vv…).
Biện phỏp núi trờn cho phộp giảm khỏ nhiều thời gian tớnh toỏn, tuy nhiờn việc lựa chọn khụng đỳng bước ban đầu của lưới cú thể khiến chỳng ta chỉ tỡm ra điểm tối ưu cục bộ chứ khụng phải điểm tối ưu toàn miền. Trờnthực tế vỡ cỏc kỹ sư đều cú kinh nghiệm đối với bài toỏn kỹ thuật của mỡnh nờn họ cú thể xỏc định trị số bước của lưới xuất phỏt từ kinh nghiệm giải cỏc bài toỏn cú dạng tương tự (tức là khi thiết kế tối ưu cỏc kết cấu cựng loại).
2.1.4.2. Thử nghiệm độclập ngẫu nhiờn giỏ trị của cỏc tham số
Trong mục trước chỳng ta đó dựng cỏch lựa chọn tất định đối với giỏ trị của cỏc tham số. bõy giờ chỳng ta sẽ tỡm kiếm giỏ trị của cỏc tham số theo một quy luật phõn bố ngẫu nhiờn nào đú. Bởi vỡ tại thời điểm bắt đầu tỡm kiếm thỡ cũn thiếu cỏc thụng tin về vị trớ ỏng chừng của điểm tối ưu toàn miền, nờn người ta thường lấy cỏc điểm lựa chọn theo quy luật phõn bố đều ở bờn trong miền cho phộp.
Như phần trờn đó trỡnh bày, cỏc tham số kết cầu bị ràng buộc bởi điều kiện (2-1). Để tỡm được vộc tơ chạy X của cỏc giỏ trị cỏc tham số chỳng ta cần lập ra tập hợp gồm n cỏc số ngẫu nhiờn γ1 , γ2 , …, γn phõn bố đều trờn đoạn [0,1], sau đú tiến hành thử nghiệm ngẫu nhiờn độc lập. Cũng cú thể gọi đú là sự tỡm kiếm thống kờ độc lập. Mỗi tọa độ xj của vộctơ X sẽ được tớnh theo cụng thức:
xj= aj+ γj (bj – aj)
Tại điểm X trong khụng gian n chiều của cỏc tham số chỳng ta sẽ tớnh được cỏc giỏ trị của cỏc ràng buộc. Nếu điểm X thỏa món mọi ràng buộc thỡ sẽ tớnh giỏ trị hàm mực tiờu tươngững tại điểm X đú. Nếu chỉ một trong cỏc ràng buộc bị vi phạm thỡ điểm X đú bị loại bỏ ngay khụng xột tiếp và chỳng ta sẽ xem xột điểm ngẫu nhiờn khỏc tiếp theo. Như vậy trong quỏ trỡnh tớnh toỏn chỳng ta đó đồng thời lựa chọn trờn toàn miền và loại bỏ nhanh cỏc điểm ở ngoài miền cho phộp. Cỏc điểm trong miền cho phộp sẽ được ghi nhớ lại rồi từ đú sẽ so sỏnh chỳng với nhau để chọn ra điểm tối ưu toàn miền ứng với giỏ trị nhỏ nhất của hàm mục tiờu F(x).
Như vậy điểm tối ưu được đặc trưng bởi xỏc suất p để sao cho trong số N phộp thử ngẫu nhiờn thỡ điểm tối ưu thỡ điểm tối ưu sẽ cú thể tỡm thấy được với độ chớnh xỏc ∆. Cú thể hiểu rằng ∆ là thể tớch của khối hỡnh hộp n chiều nằm trong
miền cho phộp mà hệ thống ràng buộc bất đằng thức (2-1) đó cho. Trong trường hợp này ∆ chớnh là xỏc suất rơi trỳng của mỗi điểm thử vào trong miền đó cho cú thể tớch bằng ∆. Nếu chỳng ta làm N phộp thử ngẫu nhiờn, thỡ xỏc suất của phộp thử này để cho dự chỉ một trong số cỏc phộp thử đú rơi vào miền đó cho ∆ (lõn cận điểm tối ưu toàn miền), cú thể xỏc định theo cụng thức:
P = 1 – (1 - ∆)N (2-3) Vỡ (1-∆) là xỏc suất khụng rơi vào miền đó cho đối với một điểm thử nờn (1 - ∆)Nlà xỏc xuất xảy ra biến cố đú của N điểm thử.
Từ (2-3) dễ dàng suy ra biểu thức để xỏc định số cỏc phộp thử ngẫu nhiờn N, cần thiết để sao cho với xỏc xuất đó cho trước p chỳng ta sẽ tỡm được điểm tối ưu tương ứng với độ chớnh xỏc ∆; N = ) 1 log( ) 1 log( ∆ − − p (2-4) Cụng thức này khụng phụ thuộc vào số chiều của khụng gian cỏc tham số kết cấu. Tớnh chất này của phương phỏp thử nghiệm tham số độc lập ngẫu nhiờn chớnh là một ưu điểm điển hỡnh cho cỏc phương phỏp ngẫu nhiờn. Đú là vỡ độ chớnh xỏc tỡm điểm tối ưu được biểu thị qua đặc trưng thể tớch ∆.
Nếu độ chớnh xỏc tỡm kiếm được chọn khỏc nhau riờng theo từng tham số(tọa độ) thỡ tỡnh huống sẽ thay đổi. Giả sử độ chớnh xỏc theo mẫu tọa độ là αi/(bi – ai) với i=1,2,…,n Khi đú cụng thức thể tớch hỡnh hộp n chiều cú dạng: ∆= ) )...( ).( ( ... . 2 2 1 1 2 1 n n n a b a b a b − − − α α α
Từ đú ta suy ra rằng nếu quy định trước đặc trưng thể tớch ∆ của độ chớnh xỏc thỡ độ chớnh xỏc tuyến tớnh sẽ giảm tựy theo sự tăng của số lượng tham số n.
Với giỏ trị rất nhỏ của ∆thỡ cụng thức (2-4) số lần thử nghiệm cần thiết sẽ là: N =
∆ − ) 1 log( p
N = (b−na)log(1−p) α
Như vậy nếu đó quy định trước về độ chớnh xỏc thỡ số điểm thử nghiệm cần thiết sẽ tăng khi tăng n với tốc độ của hàm số mũ. Với cỏc điểm thử đượcchọn ngẫu nhiờn như trờn thỡ nghiệm tối ưu tỡm được sẽ chỉ được coi là cỏc nghiệm gần đỳng ban đầu để rồi từ cỏc điểm đú chỳng ta sẽ sử dụng tiếp một trong cỏc phương phỏp tỡm kiếm cực trị cục bộ. Xuất phỏt từ điểm lựa chọn ngẫu nhiờn x0 được coi là gần đỳng ban đầu để tỡm cực trị cụ bộ. Chỳng ta đặt ký hiệu điểm vừa tỡm được là x0*
. Sau đú lại tiến hành lựa chọn ngẫu nhiờn (tức là lựa chọn nhờ phương phỏp thử nghiệm thống kờ cỏc tham số) điểm ban đầu mới x1 và lại tỡm được điểm cực trị cục bộ x1* …Cứ làm như vậy mói cho đến khi S điểm gần đỳng ban đầu và tỡm ra S điểm cực trị cục bộ. Sau đú trong cỏc cựa trị cục bộ x0* , x1* , …xs* vừa tỡm được chỳng ta sẽ xỏc định điểm gần đỳng tối ưu toàn miền. Bởi vỡ đối với đa số cỏc toỏn thiết kế tối ưu đều phải dựng cỏc thủ tục tỡm kiếm cực trị cục bộ khỏ phức tạp, cho nờn phương phỏp tỡm kiếm tối ưu sẽ đũi hỏi nhiều thời gian tớnh toỏn.
Để giảm thời gian tớnh toỏn, cựng với việc tỡm kiếm điểm chạy của cực trị cục bộ với độ chớnh xỏc cho trước chỳng ta chỉ tiến hành một vài bước lặp đầu tiờn từ một số cỏc điểm ban đầu nào đú, mà giỏ trị của hàm mục tiờu tối ưu tốt hơn so với điểm ban đầu đó nờu. Sau đú tạo thờm một vài điểm ban đầu mới, thực hiện một vài bước tỡm kiếm xấp xỉ lặp xuất phỏt từ cỏc điểm này cũng như cỏc điểm lựa chọn lỳc đầu cũn lại chưa thử.
Phương phỏp lựa chọn điểm cú “ triển vọng” hơn đối với sự tỡm kiếm tiếp theo cỏc điểm chớnh là cơ sở của nhiều phương phỏp thiết kế tối ưu khỏc. Để đỏnh giỏ sự hội tụ của cỏc phương phỏp này và mức độ tin cậy của điểm tối ưu toàn miền chỳng ta chỉ cú cỏch là so sỏnh độ lệch thử nghiệm với kết quả thiết kế cụ thể chưa khụng chứng minh bằng lý thuyết được.
Bõy giờ chỳng ta thảo luận về tiờu chuẩn dừng tỡm kiếm. Nếu trong N thử nghiệm (tức là với sự tạo ra N điểm ngẫu nhiờn ban đầu và thực hiện một vài bước
tỡm kiếm nào đú) khụng phỏt hiện điểm cực trị cục bộ mới thỡ tần số của quỏ trỡnh tỡm kiếm cựa trị là v = 1.
Đặt ký hiệu p là xỏc suất của quỏ trỡnh tỡm kiếm từ điểm ban đầu ngẫu nhiờn dẫn đến điểm cực trị ban đầu đó biết. Xỏc suất của hiệu số:
N p p g p ≤ (1− ) − ν (2-5) Cỏc biờn thay đổi của p gọi là cỏc biờn tin cậy. Giỏ trị P cú liờn hệ với cỏc biờn theo cụng thức (2-5), được gọi là mức giỏ trị của khoảng tin cậy tương ứng của sự thay đổi.
Từ (2-5) ta nhận thấy rằng với mức giỏ trị P cỏc biờn tin cậy của sự thay đổi p sẽ nằm trong khoảng: 1 2 g N N p + ≥ ≥ (2-6) Đặt = −à + 2 1 g N N , ta cú cụng thức: N = 1 2 g à à − (2-7) Cỏc cụng thức(2-6) và (2-7) cho phộp đỏnh giỏ xỏc xuất tỡm cực trị cục bộ và ước lượng số N phộp thử cần thiếtđể cho xỏc suất này khụng vượt quỏ à.