A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Công thức tính thể tích của một số khối đa diện.
• Khối chóp:V = 13Bh. • Khối lăng trụ:V =Bh. • Khối hộp chữ nhật:V =abc. • Khối lập phương:V =a3.
2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
• Định lý Pitago:a2=b2+c2. • Đường cao: 1 h2 = 1 b2+ 1 c2;h= bc a. • Góc:sinB= cosC= b a;tanB= cotC= b c. • Diện tích:S= 12bc=12ah. A B H M C c b a h
• Tính chất trung tuyến:∆ABC vuông tạiA⇔AM =12BC.
3. Tỷ số thể tích.
Cho hình chópS.ABC cóA0, B0, C0 lần lượt nằm trênSA, SB, SC. Ta có: VS.A0B0C0
VS.ABC =SA =SA 0 SA. SB0 SB. SC0 SC. B. Phương Pháp Tính Thể Tích • PP1: Sử dụng công thức. • PP2: Sử dụng tỷ số thể tích. • PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ. C. Bài Tập
10.22. (TN-08) Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng2a. GọiI là trung điểm của cạnhBC. Chứng minhSA vuông góc vớiBC. Tính thể tích khối chópS.ABI theoa.
10.23. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa cạnh bên và đáy bằng600.
10.24. Cho chóp tứ giác đềuS.ABCDđáy a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa mặt bên và đáy bằng600.
10.25. (CĐ-09) Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcóAB=a, SA=a√
2. GọiM, N vàP lần lượt là trung điểm của các cạnhSA, SB vàCD. Chứng minh rằng đường thẳngM N vuông góc với đường thẳngSP. Tính theoathể tích của khối tứ diệnAM N P.
10.26. (B-04) Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó đáya, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằngϕ, 0< ϕ <900. Tính tan góc giữa(SAB)và(ABCD)theo ϕ. Tính thể tích khối chópS.ABCDtheo avàϕ.
10.27. (B-2012) Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC vớiSA= 2a,AB=a. GọiH là hình chiếu vuông góc của A
trên cạnhSC. Chứng minh SCvuông góc với mặt phẳng(ABH). Tính thể tích của khối chópS.ABH theo a.
10.28. (TN-07) Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnha, cạnh bênSAvuông góc với đáy và
SA=AC. Tính thể tích khối chópS.ABCD.
10.29. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam vuông tạiB;AB=a, AC=a√
3;SAvuông góc với(ABC); cạnh bên
10.30. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác đều cạnha;SA vuông góc với (ABC). Biết góc giữa(SBC)và
(ABC)bằng450. Tính thể tích khối chópS.ABC.
10.31. (TN-09) Cho hình chópS.ABC có mặt bênSBC là tam giác đều cạnha, cạnh bênSAvuông góc với đáy. Biết\BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theoa.
10.32. (TN-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD= CD = a,
AB= 3a. Cạnh bênSAvuông góc với mặt đáy và cạnh bênSC tạo với đáy một góc450. Tính thể tích khối chóp
S.ABCDtheo a.
10.33. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, \ACB = 600,
BC=a, SA=a√
3. GọiM là trung điểm cạnhSB. Chứng minh(SAB)vuông góc với(SBC)và tính thể tích khối tứ diện M ABC.
10.34. (CĐ-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =a; SA vuông góc với mặt phẳng(ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC)và(ABC)bằng300. GọiM là trung điểm của cạnhSC. Tính thể tích khối chópS.ABM theoa.
10.35. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha. Đường caoSA=a. Trên hai cạnh AB, ADlần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM =DN =x,(0< x < a). Tính thể tích khối chóp S.AM CN theoa vàx. Tìmxđể
M N nhỏ nhất.
10.36. (B-06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật vớiAB =a, AD =a√
2, SA= avà SA
vuông góc với(ABCD). GọiM, N lần lượt là trung điểm của ADvàSC; I là giao điểm củaBM vàAC. Chứng minh(SAC)vuông góc với mặt phẳng(SM B). Tính thể tích của khối tứ diệnAN IB.
10.37. (D-06) Cho hình chóp tam giácS.ABC có đáy là tam giác đều cạnha; SA= 2avàSAvuông góc với mặt phẳng(ABC). GọiM, N lần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrênSBvàSC. Tính thể tích khối chópA.BCN M.
10.38. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB=a, AD= 2a, cạnhSAvuông góc với đáy, cạnhSB tạo với mặt phẳng đáy một góc600. Trên cạnhSAlấy điểmM sao choAM = a
√
3
3 . Mặt phẳng(BCM)
cắt cạnhSD tạiN. Tính thể tích khối chópS.BCN M.
10.39. Cho hình chópS.ABCD có đáy A.BCDlà hình thoi cạnh a, \BAD= 600, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD),SA =a. GọiC0 là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)đi quaAC0 và song song với BD, cắt các cạnh
SB, SD của hình chóp lần lượt tạiB0, D0. Tính thể tích của khối chóp S.AB0C0D0.
10.40. (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB,AB=BC= 2a; hai mặt phẳng
(SAB) và(SAC)cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng600. Tính thể tích khối chóp
S.BCN M và khoảng cách giữa hai đường thẳngAB vàSN theoa.
10.41. (CĐ-2010) Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình vuông cạnha, mặt phẳng(SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy, SA =SB, góc giữa đường thẳngSC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo athể tích của khối chópS.ABCD.
10.42. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là hình chữ nhật,AB= 2a. Tam giác SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD =a√
13, tính theoa thể tích của khối chópS.ABCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳngSC vàBD.
10.43. Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SADlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. GọiM, N, P lần lượt trung điểm các cạnhSB, BC, CD. Chứng minhAM vuông góc với
BP và tính thể tích tứ diệnCM N P.
10.44. (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a√
3 và SBC[ = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểmB đến mặt phẳng(SAC)theoa.
10.45. (B-08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh2a, SA=a, SB =a√
3 và mặt phẳng (SAB)
vuông góc với đáy. GọiM, N lần lượt là trung điểm các cạnhAB, BC. Tính theoathể tích khối chópS.BM DN và tính góc giữa hai đường thẳngSM vàDN.
10.46. (A-2012) Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác đều cạnha. Hình chiếu vuông góc củaS trên mặt phẳng
(ABC)là điểm H thuộc cạnh ABsao choHA= 2HB. Góc giữa đường thẳngSC và mặt phẳng (ABC)bằng600. Tính thể tích của khối chópS.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳngSAvàBC theoa.
10.47. Cho hình chópS.ABC có hai tam giácABC vàSBC đều cạnha; góc giữaSAvàABC bằng600. Tính thể tích của khối chópS.ABC.
Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian
10.48. Cho tứ diện ABCD có AB =BC =CA=AD=DB =a√
2, CD= 2a. Chứng minhAB vuông góc với
CD. Xác định đường vuông góc chung củaABvàCD. Tính thể tích của tứ diệnABCD.
10.49. (D-2010) Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha, cạnh bênSA=a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạnAC, AH = AC4 . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minhM là trung điểmSA và tính thể tích khối tứ diệnSM BC theoa.
10.50. (A-2010) Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha. GọiM, Nlần lượt là trung điểm của các cạnhABvàAD;H là giao điểm củaCN vớiDM. BiếtSH vuông góc với mặt phẳng(ABCD)vàSH =a√
3. Tính thể tích khối chópS.CDN M và tính khoảng cách giữa hai đường thẳngDM vàSC.
10.51. (A-09) Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là hình thang vuông tạiAvàD;AB=AD= 2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) và
(SCI)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD), tính thể tích khối chópS.ABCDtheo a.
10.52. Tính thể tích hình chópS.ABC, biếtSA=SB=SC=a,ASB[ = 600,BSC[ = 900,CSA[ = 1200.
10.53. Tính thể tích của khối hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông cạnhavàAA0 =AC.
10.54. Cho lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác vuông tạiA,AB=a, BC =a√
3, AC0= 2a. Tính thể tích của khối lăng trụABC.A0B0C0.
10.55. Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0 cóAB=a, AD= 2a, AA0=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD0 vàB0C. GọiM là điểm thuộc cạnhAD sao choAM = 3M D, tính khoảng cách từ M đến (AB0C)và tính thể tích tứ diệnAB0D0C.
10.56. Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có các cạnhAB =AD=a, AA0 = a√
3
2 và gócBAD\= 600. Gọi M
vàN lần lượt là trung điểm của các cạnhA0D0 vàA0B0. Chứng minhAC0 vuông góc vớiBDM N và tính thể tích khối chópA.BDM N.
10.57. (D-2012) Cho hình hộp đứngABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông, tam giácA0AC vuông cân,A0C=a. Tính thể tích của khối tứ diệnABB0C0 và khoảng cách từ điểmA đến mặt phẳng(BCD0)theoa.
10.58. (D-09) Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0có đáyABClà tam giác vuông tạiB, AB =a,AA0= 2a, A0C= 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm củaAM vàA0C. Tính theoa thể tích khối tứ diện
IABC và khoảng cách từAđến(IBC).
10.59. (D-08) Cho lăng trụ đứngABC.A0B0C0có đáyABClà tam giác vuông,AB=AC=a, cạnh bênAA0=a√
2. Gọi M là trung điểm của cạnhBC. Tính theoa thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng cách giữa hai đường thẳngAM vàB0C.
10.60. Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0có đáy là tam giác đều cạnha. Góc giữaA0Avới(ABC)bằng600. Tính thể tích khối lăng trụ, biết hình chiếu củaA0 trên(ABC)trùng với tâm của tam giácABC.
10.61. Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 cóABC là tam giác vuông tạiA,AB=a, AC =a√
2, hình chiếu của
A0 trên(ABC)trùng trung điểmBC. Tính thể tích khối lăng trụ, biếtCC0= 2a.
10.62. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0có mặt bênAA0D0Dlà hình thoi cạnh2a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với(ABCD)và cáchBCmột khoảng bằnga. Biết cạnh bênAA0hợp với(ABCD)một góc bằng600. Tính thể tích khối hộpABCD.A0B0C0D0.
10.63. Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 có đáyABClà một tam giác đều cạnhavà điểmA0cách đều các điểm
A, B, C. Cạnh bênAA0 tạo với mặt phẳng đáy một góc600. Tính thể tích của khối lăng trụ.
10.64. (A-08) Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng2a, đáyABC là tam giác vuông tại A, AB=
a, AC =a√
3và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0 trên mặt phẳng(ABC)là trung điểm của cạnh BC. Tính theo
athể tích khối chópA0.ABC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳngAA0 vàB0C0.
10.65. Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng(A0BC)tạo với đáy một góc300và tam giácA0BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụABC.A0B0C0.
10.66. (B-09) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có BB0 = a, góc giữa đường thẳng BB0 và mặt phẳng
(ABC)bằng600; tam giácABC vuông tạiCvà góc\BAC= 600. Hình chiếu vuông góc của điểmB0 lên mặt phẳng
(ABC)trùng với trọng tâm tam giácABC. Tính thể tích tứ diệnA0ABC theoa.
10.67. (B-2011) Cho lăng trụABCD.A0B0C0D0 có đáyABCD là hình chữ nhật,AB=a, AD=a√
3. Hình chiếu vuông góc của điểmA0 trên(ABCD)trùng với giao điểm của AC vàBD. Góc giữa hai mặt phẳng(ADD0A0)và