A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Định nghĩa: Vectơ −→n 6=−→0 có giá vuông góc với(α)gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Lưu ý.
•Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến cùng phương.
•Nếu hai vectơ−→a ,−→b không cùng phương và có giá song song hoặc chứa trong(α)thì−n→
α=h−→a ,−→bi
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Dạng:(α) :Ax+By+Cz+D= 0 (A, B, C không đồng thời bằng0).
Nhận xét.
• Mặt phẳngAx+By+Cz+D= 0 có vectơ pháp tuyến−→n(A;B;C). • Lấyx0;y0 tuỳ ý⇒z0 ta có điểmM(x0;y0;z0)∈(α).
•Mặt phẳng quaM(x0;y0;z0)và có vectơ pháp tuyến→−n(A;B;C)có PT:A(x−x
0)+B(y−y0)+C(z−z0) = 0. • Mặt phẳng quaA(a; 0; 0), B(0;b; 0)vàC(0; 0;c)có phương trình x a + y b + z c = 1gọi là PT đoạn chắn.
• Mặt phẳng(Oxy),(Oxz),(Oyz)lần lượt có phương trìnhz= 0, y= 0, x= 0. • Mặt phẳng(α)tiếp xúc với mặt cầu(S)⇔d(I; (α)) =R.
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng(α1) :A1x+B1y+C1z+D1= 0và(α2) :A2x+B2y+C2z+D2= 0. Ta có: • (α1)//(α2)⇔ −→n 1=k−n→ 2 D16=kD2 . • (α1)≡(α2)⇔ −n→ 1=k−n→ 2 D1=kD2 . • (α1)cắt(α2)⇔ −n→16=k−→n 2. • (α1)⊥(α2)⇔ −n→1.−n→ 2= 0. 4 . Khoảng cách. • Từ một điểm đến một mặt phẳng:d(M; (α)) = |AxM +ByM +CzM+D| √ A2+B2+C2 . • Giữa hai mặt phẳng song song:d((α) ; (β)) =d(M; (β)) (M ∈(α)). B. Bài Tập
6.16. Lập phương trình mặt phẳng(P)trong các trường hợp sau a) Đi qua ba điểmA(1; 0; 0), B(0;−2; 0), C(0; 0; 3).
b) Đi qua ba điểmA(2;−1; 3), B(4; 2; 1), C(−1; 2; 3).
c) Đi qua điểm M(2;−1; 2)và song song với mặt phẳng(β) : 2x−y+ 3z+ 4 = 0. d) Đi qua M(1; 2; 3) và vuông gócAB. BiếtA(−1; 0; 2), B(3; 2; 1).
e) Đi qua hai điểmA(3; 1;−1), B(2;−1; 4) và vuông góc với mặt phẳng(α) : 2x−y+ 3z+ 1 = 0. f) Đi quaM(−2; 3;−1)và vuông góc với hai mặt phẳng (α) :x+ 2y+ 2z+ 1 = 0; (β) : 2x+ 3y+z= 0. g) Đi qua hai điểmM(1; 2; 3), N(2;−2; 4)và song song với trục Oy.
h) Trung trực củaAb, biếtA(4;−1; 5), B(2; 3; 1).
i) Song song với(β) : 4x+ 3y−12z+ 1 = 0và tiếp xúc với(S) :x2+y2+z2−2x−4y−6z−2 = 0.
6.17. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau a) (α) :x−2y+ 3z−3 = 0; (β) : 2x−y+z−1 = 0. b) (α) : 2x−y+ 2z+ 1 = 0; (β) :−4x+ 2y−4z−1 = 0. c) (α) : 3x−y+ 2z+ 1 = 0; (β) : 6x−2y+ 4z+ 2 = 0. 6.18. Tính các khoảng cách sau a) GiữaM(2;−3; 1)và(α) : 2x+ 2y+z+ 3 = 0. b) GiữaA(−4; 1; 5)và(α) :x+ 7y−2z+ 1 = 0. c) Giữa (α) : 2x−y+ 2z+ 1 = 0và(β) : 4x−2y+ 4z−3 = 0.
6.19. (TN-06) Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểmA, B, C.
b) Gọi Glà trọng tâm tam giácABC. Viết phương trình mặt cầu đường kínhOG.
6.20. (TN-07) Trong không gianOxyz, cho điểmE(1;−4; 5), F(3; 2; 7). a) Viết phương trình mặt cầu qua F và có tâm E.
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực củaEF.
6.21. (CĐ-09) Trong không gianOxyz, cho (P1) :x+ 2y+ 3z+ 4 = 0và(P2) : 3x+ 2y−z+ 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaA(1; 1; 1)và vuông góc với hai mặt phẳng (P1),(P2).
6.22. Trong không gianOxyz, cho tứ diệnABCDcó A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). a) Viết phương trình các mặt phẳng(ACD)và(BCD).
b) Viết phương trình mặt phẳng(α)chứa cạnhABvà song song với cạnhCD. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6.23. Trong không gianOxyz, cho bốn điểmA(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2;−1), D(1; 4; 0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy raABCDlà một tứ diện.
b) Tính chiều caoAH của tứ diệnABCD.
6.24. (CĐ-2011) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(−1; 2; 3), B(1; 0;−5)và mặt phẳng(P) : 2x+y−3z−4 = 0. Tìm điểmM thuộc(P)sao cho ba điểmA, B, M thẳng hàng.
6.25. Trong không gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(α)song song với mặt phẳng(β) : 4x+ 3y−12z+ 1 = 0
và tiếp xúc với mặt cầu (S) :x2+y2+z2−2x−4y−6z−2 = 0.
6.26. (D-04) Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và(P) :x+y+z−2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểmA, B, C và có tâm thuộc(P).
6.27. (B-2012) Trong không gian Oxyz, choA(0; 0; 3), M(1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng(P)quaA và cắt các trụcOx, Oy lần lượt tạiB, C sao cho tam giácABC có trọng tâm thuộc đường thẳngAM.
6.28. (A-2011) Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) :x2+y2+z2−4x−4y−4z= 0và điểmA(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng(OAB), biết điểmB thuộc(S)và tam giácOAB đều.
6.29. (A-2011) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(2; 0; 1), B(0;−2; 3)và mặt phẳng(P) : 2x−y−z+ 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc(P)sao choM A=M B = 3.
6.30. (B-08) Trong không gianOxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2;−2; 1), C(−2; 0; 1). a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểmA, B, C.
b) Tìm toạ độ điểmM thuộc(P) : 2x+ 2y+z−3 = 0sao choM A=M B=M C.
6.31. (D-2010) Trong không gianOxyz, cho(P) :x+y+z−3 = 0 và(Q) :x−y+z−1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng(R)vuông góc với(P)và(Q)sao cho khoảng cách từ O đến(R)bằng 2.
6.32. (B-09) Trong không gianOxyz, cho tứ diệnABCDcó các đỉnhA(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2;−1; 1), D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaA, B sao cho khoảng cách từ Cđến (P)bằng khoảng cách từD đến(P).
6.33. (B-07) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+y2 +z2 −2x+ 4y + 2z −3 = 0 và mặt phẳng
(P) : 2x−y+ 2z−14 = 0.
a) Viết phương trình(Q)chứa trụcOx và cắt(S)theo đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm điểmM thuộc mặt cầu(S)sao cho khoảng cách từM đến (P)là lớn nhất.
6.34. Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(0; 1; 1), B(2;−1; 1), C(4; 1; 1)và mặt phẳng(P) :x+y+z−6 = 0. Tìm điểmM trên(P)sao cho
−−→ M A+ 2−−→ M B+−−→ M C đạt giá trị nhỏ nhất.
6.35. (A-03) Trong không gianOxyz, cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0 cóAtrùng gốc toạ độO,B(a; 0; 0),
D(0;a; 0), A0(0; 0;b),(a >0, b >0). GọiM là trung điểm cạnhCC0. a) Tính thể tích khối tứ diệnBDA0M.
b) Xác định tỉ số ab để(A0BD)vuông góc với (M BD).