Bài 1. ChoA1, A2, ..., A1066 là các tập hợp con của tập X hữu hạn. |X| ≥ 10và|Ai|> 1 2|X|
với mọii= 1,1066. Chứng minh rằng trong tập X tồn tại 10 phần tử sao cho mỗi tậpAi chứa ít nhất một phần tử trong số 10 phần tử trên.
Bài 2.Chúng ta xem xét một toán tử hai ngôi trên mặt phẳng. Cố định tam giác XY Z trong đó bộ ba điểmX, Y, Zđược đánh dấu theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Đối với bất kì hai điểm phân biệtA, B của mặt phẳng ta xét toán tửA∗B =C, trong đóClà đỉnh của tam giácABCsao cho bộ ba các điểmA, B, C vàX, Y, Zcó cùng chiều định hướng và ∆ABC đồng dạng với ∆XY Z
(KhiA≡B thì A∗A=A). Chứng minh với bất kì bốn điểmA, B, C, D của mặt phẳng thì đẳng thức sau đúng
(A∗B)∗(C∗D) = (A∗C)∗(B∗D)
Bài 3. Chof ∈C∞([a, b],), 0∈[a, b], đồng thờif(n)(0) = 0vàsup
[a,b]
f(n)(x)≤n!Mn,∀n∈N, trong đóM là hằng số. Chứng minhf ≡0.
Bài 4.Tiến hành tung nhiều lần một đồng xu với xác suất rơi vào mặt huy hiệu (1) và mặt số (0) là như nhau (1/2). Dãy bao gồm từ các số 0 và 1 được gọi là dãy số “thưa thớt” nếu trong đó không có hai số 1 nào nằm cạnh nhau.
a) Tìm xác suất thu được “dãy thưa thớt” sau nlần tung đồng xu.
b) Giả sử xác suất rơi vào mặt có huy hiệu làp. Kí hiệuξn là số các số 1 có trong một “dãy thưa thớt” ngẫu nhiên có độ dàin. TínhM[ξn].
Bài 5.ChoE là không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường số thực,u, v là hai ánh xạ tuyến tính từEvào chính nó. Giả sử Ker(u)⊃Ker(v). Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính
w:E→E sao chou=w◦v.
Bài 6. Với số tự nhiên cố địnhm≥2xét ánh xạ
fm(x) = ∞ X k=0 1 km+ 1 + 1 km+ 2 +...+ 1 km+m−1 − x (k+ 1)m