A13. Cho n số tự nhiên liên tiếp được xếp trên một vòng tròn. Bắt đầu đánh dấu các số có dạng k(k2+1)+ 1, k= 0,1,2, ...theo chiều kim đồng hồ. Kí hiệuf(n)là số đầu tiên được đánh dấu lần thứ hai.
a. Chứng tỏ rằng tồn tại vô hạn số nsao chof(n) = 500501
b. Tìm công thức tường minh củaf(3k).
c. Mô tả tất cả các số n sao chof(n) được xác định saun+ 1 lần đánh dấu. Tìm công thức tường minhf(n)đối với các sốnnhư vậy.
d. Chứng tỏ thu hẹp của hàm số f lên tập các số nguyên tố lẻ, tức làf(p)6=f(q)nếup, qlà hai số nguyên tố lẻ khác nhau.
PGS Vladimir Lesko, Khoa Đại số, Hình học và Tin học, Đại học Sư phạm Volgograd, LB Nga
A14.Cho hình lập phươngABCDA1B1C1D1 được ghép từ các hình lập phương đơn vị, hai thiết diệnEKLM N, OP RST song song vớiBDcó diện tích lần lượt là50và100. Tính thể tích hình lập phương này.
PGS Vladimir Lesko, Khoa Đại số, Hình học và Tin học, Đại học Sư phạm Volgograd, LB Nga
A15. Cho tam giác ABC với đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C trên phân giác trong tại đỉnhA. GọiP, Qlần lượt là hình chiếu củaB, C trên phân giác ngoài tại đỉnhA
của tam giác. Chứng minh rằng hai đường tròn(HP Q)và(HM N)trực giao với nhau. (Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau nếu góc giữ hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại một điểm chung của chúng vuông góc với nhau)
Hoàng Quốc Khánh, Học sinh Lớp 12A10 THPT Chuyên Vĩnh Phúc, Tỉnh Vĩnh Phúc
A16.Cho tam giácABC cân tạiA. Đường tròn(O)nội tiếp tam giácABC tiếp xúcBC, CA, AB
lần lượt tại K, L, M. Gọi N là giao điểm củaOL vàKM , Q là giao điểm củaBN vàCA. P là hình chiếu củaAlênBN. Giả sửBP =AP + 2P Q, hãy xác định giá trị của AB
BC.
Nguyễn Trần Thi, Thị trấn Củng Sơn, Huyện Sơn Hòa, Tỉnh Phú Yên
A17. Cho tam giác ABC diện tích S và P là điểm bất kì; gọi A0, B0, C0 là trung điểm các cạnh
BC, CA, AB;ha, hb, hc là các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng