Để biểu diễn thông tin về trình độ kiến thức của người học, chúng tôi xây dựng mô hình dựa trên mô hình phủ (Mục 1.3.2.3). Ứng với mỗi khái niệm, nhiệm vụ trong mô hình nội dung khóa học, mô hình người học lưu trữ giá trị cho biết mức độ hiểu biết của người học về khái niệm, nhiệm vụ đó. Mô hình phủ cho phép đánh giá được mức độ hiểu biết của người học với tất cả các đối tượng trong mô hình nội dung học. Ngoài ra, dựa trên các quan hệ rằng buộc giữa các đối tượng trong mô hình nội dung học, đánh giá mức độ hiểu biết của người học đối với khái niệm, nhiệm vụ được xét trong mối quan hệ giữa chúng thay vì xét các đối tượng độc lập. Đó là các cơ sở để chúng tôi lựa chọn mô hình phủ để biểu diễn thông tin về trình độ kiến thức của người học.
Trong mô hình của mình, chúng tôi sử dụng giá trị xác suất để định lượng mức độ hiểu biết của người học đối với các khái niệm, mức độ hoàn thành của người học đối với các nhiệm vụ. Giá trị xác suất được chúng tôi lựa chọn vì một số lý do sau đây:
- Sự hiểu biết của người học thông qua kết quả việc thực hiện các câu hỏi kiểm tra và các bài tập, nhiệm vụ là nhân tố không chắc chắn, không có sự chính xác tuyệt đối trong việc định giá trị mức độ hiểu biết của người học.
- Giá trị định tính (Tốt, trung bình, kém) hay các giá trị định lượng (Tập số nguyên [0..100]) cho độ chính xác không cao trong việc định lượng các khái niệm, nhiệm vụ có mối quan hệ ràng buộc phụ thuộc. Ví dụ: Xét mối quan hệ Ci → Cj, với người học Uk có mức độ hiểu biết Tốt đối với khái niệm Ci, sẽ khó xác định mức độ hiểu biết khái niệm Cjcủa người học đó ở mức độ nào khi xét mối quan hệ giữa các khái niệm. Thêm vào đó, các giá trị này hạn chế trong việc phân lớp người học bởi giới hạn của bộ giá trị.
- Việc sử dụng mô hình mạng mô hình hóa nội dung khóa học nhằm xem xét các khái niệm, nhiệm vụ trong mối quan hệ định hướng xây dựng mạng xác suất để
định lượng mức độ hiểu biết của người học đối với khái niệm, nhiệm vụ.
Sau khi lựa chọn giá trị xác suất để biểu diễn trình độ kiến thức của người học đối với khái niệm và nhiệm vụ, cần phải lựa chọn và xây dựng các biến để lưu trữ các giá trị này. Vấn đề đặt ra là lựa chọn các biến như thế nào và số lượng là bao nhiêu để biểu diễn được trình độ kiến thức của người học.
Trong mô hình, ứng với mỗi khái niệm và nhiệm vụ chúng tôi sử dụng biến có hai trạng thái để định lượng trình độ kiến thức của người học vì các lý do được chỉ ra dưới đây:
- Sử dụng mô hình phủ cần có các biến để lưu trữ giá trị cho biết trình độ kiến thức của người học đối với khái niệm, nhiệm vụ. Vì khái niệm và nhiệm vụ là các đối tượng riêng biệt trong mô hình, để phân biệt chúng tôi sử dụng các biến khác nhau. - Đánh giá trình độ kiến thức của người học đối với khái niệm cần định lượng: Mức độ hiểu biết khái niệm đó của người học; Tương ứng là mức độ người học không hiểu biết về khái niệm đó. Trong mô hình, chúng tôi biểu diễn mỗi mức độ thông qua một trạng thái.
- Tương tự như đối tượng khái niệm trong mô hình, các đối tượng nhiệm vụ cũng cần có các trạng thái để biểu diễn mức độ hoàn thành, chưa hoàn thành nhiệm vụ. Ứng với mỗi khái niệm C trong mô hình nội dung khóa học, mô hình người học của chúng tôi sử dụng hai trạng thái biểu diễn mức độ hiểu biết khái niệm của người học:
• not_acquired: trạng thái thể hiện người học không tiếp thu được khái niệm C.
• acquired: trạng thái thể hiện người học đã tiếp thu được khái niệm C
Tương tự, ứng với mỗi nhiệm vụ T trong mô hình nội dung khóa học, mô hình người học của chúng tôi sử dụng hai trạng thái biểu diễn mức độ hoàn thành của nhiệm vụ của người học:
• not_finished: trạng thái biểu diễn người học chưa hoàn thành nhiệm vụ.
• finished: trạng thái biểu diễn người học hoàn thành nhiệm vụ.
Ứng với mỗi khái niệm C,p(C=not_acquired), p(C=acquired) là các giá trị xác suất biểu diễn các trạng thái chưa hiểu, hiểu khái niệm C. Ta có:
p(C =not_acquired) +p(C =acquired) = 1 (2.1)
Tương tự, ứng với mỗi nhiệm vụ T, p(T=not_finished), p(T=finished) là các giá trị xác suất biểu diễn các trạng thái chưa hoàn thành, hoàn thành nhiệm vụ T. Ta có:
Để thống nhất trong trình bày, chúng tôi sử dụng ký hiệu p(C) biễu diễn giá trị xác suất ứng với trạng thái acquired, 1-p(C) biểu diễn giá trị xác suất ứng với trạng thái
not_acquired.p(T)biểu diễn giá trị xác suất ứng với trạng tháifinished,1-p(T) biểu diễn giá trị xác suất ứng với trạng thái not_finished.
Chúng tôi ứng dụng mạng xác suất Bayes [65, 66] để định lượng mức độ hiểu biết của người học đối với khái niệm, mức độ hoàn thành việc thực hiện nhiệm vụ của người học. Mạng xác suất Bayes được sử dụng trong mô hình vì các lý do sau đây:
- Mô hình nội dung khóa học được mô hình hóa theo mô hình mạng, xem xét các đối tượng khái niệm, nhiệm vụ trong các mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau. Các khái niệm, nhiệm vụ cùng với quan hệ giữa chúng trong mô hình nội dung hình thành mạng xác suất Bayes nhân quả.
- Giá trị xác suất được dùng để định lượng trình độ kiến thức của người học đối với khái niệm, nhiệm vụ.
- Xét quan hệ Ci → Cj, mạng xác suất Bayes có cơ chế lập luận chuẩn đoán và cơ chế lập luận tiên đoán giúp định lượng mức độ hiểu biết khái niệm Ci khi có định lượng mức độ hiểu biết khái niệm Cj và ngược lại.
Mạng xác suất Bayes là đồ thị có hướng không có chu trình để định lượng trình độ kiến thức của người học gồm:
- Tập các biến X = (X1, X2, . . . , Xn) trong đồ thị là các khái niệm, nhiệm vụ trong mô hình nội dung học.
- Các cung của đồ thị biểu diễn ràng buộc giữa các biến là mối quan hệ phụ thuộc giữa các khái niệm, nhiệm vụ. Mỗi cung từ đỉnh X tới đỉnh Y trong đồ thị biểu diễn sự ảnh hưởng trực tiếp của biến X đến biến Y. Đỉnh X được gọi là cha của đỉnh Y.
- Tại mỗi đỉnh xây dựng bảng phân phối xác suất có điều kiện của đỉnh đó khi cho trước các cha của nó.
Mọi phân phối xác suất có điều kiện phụ thuộc của các biến được xác định bởi cấu trúc đồ thị của mạng. Tổng quát, với ∀Xi gọiP a(Xi) là tập các biến cha của Xi, phân phối xác xuất có điều kiện phụ thuộcP(X1=x1∧. . .∧Xn =xn)ký hiệuP(X1, . . . , Xn)được xác định là tích các phân bố địa phương [67]:
P(X1, . . . , Xn) =
n Y i=1
P(Xi|P a(Xi)) (2.3)
Ví dụ: Trong khóa học minh họa "Thiết kế cơ sở dữ liệu quan hệ", mạng Bayes mô hình hóa một phần nội dung được minh họa trong Hình 2.5. Xác suất để người học Ui hoàn
thành được nhiệm vụ Xác định thực thể, Xác định thuộc tính thực thể, Xác định quan hệ thực thể mà không hiểu khái niệm Thực thể và không hoàn thành nhiệm vụ Liệt kê danh từ được tính:
P(A∧R∧DE∧ ¬E ∧ ¬N)
=P(A|DE)∗P(R|DE)∗P(DE|¬E∧ ¬N)∗P(¬E)P(¬N) = 0.80∗0.50∗0.10∗0.75∗0.45 = 0.0135
Hình 2.5: Mạng Bayes mô hình hóa một phần nội dung khóa học minh họaTừ công thức (2.3) tổng quát đối với phân phối xác suất, chúng tôi xác định công thức Từ công thức (2.3) tổng quát đối với phân phối xác suất, chúng tôi xác định công thức định lượng trình độ kiến thức của người học đối với khái niệm Cn, và định lượng mức độ hoàn thành nhiệm vụ Tn, thông qua các mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1: Khái niệm C1, C2, . . . , Cn-1 là các khái niệm tiên quyết của khái niệm Cn. Khi đó giá trị định lượng trình độ kiến thức của người học đối với khái niệm Cn được xác định theo công thức sau:
P(Cn|Cn−1, . . . , C1) = P(Cn|P a(Cn))với P a(Cn)⊆ {Cn−1, . . . , C1} (2.4)
Chứng minh:
Thật vậy, theo định nghĩa xác suất có điều kiện ta có:
P(C1, . . . , Cn) =P(Cn|Cn−1, . . . , C1)∗P(Cn−1, . . . , C1) Tiếp tục triển khai công thức này ta được:
P(C1, . . . , Cn) =P(Cn|Cn−1, . . . , C1)∗P(Cn−1|Cn−2, . . . , C1)∗. . .∗P(C2|C1)∗P(C1) =Qn
i=1P(Ci|Ci−1, . . . , C1))
Từ công thức (2.3) và biến Cn chỉ phụ thuộc vào các nút cha thuộc tập P a(Cn)) ta được P(Cn|Cn−1, . . . , C1) =P(Cn|P a(Cn)). Điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2: Nhiệm vụ T1, T2, . . . , Tn−1 là các nhiệm vụ tiên quyết, nhiệm vụ thành phần của nhiệm vụ Tn. Khi đó giá trị định lượng mức độ hoàn thành nhiệm vụ Tn được xác định theo công thức sau:
P(Tn|Tn−1, . . . , T1) =P(Tn|P a(Tn))với P a(Tn)⊆ {Tn−1, . . . , T1} (2.5)
Chứng minh: Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.
Ví dụ: Mô hình mạng biểu diễn một phần nội dung khóa học minh họa trong Hình 2.5, áp dụng công thức (2.4) ta có: P(DE|A, E, N, R) =P(DE|E∧N) = 0.95