Xuất phát từ sự đối xứng và tính duy nhất có thể chứng minh đ−ợc công thức (1) một cách rất đơn giản và khá dễ dàng. Chúng ta hãy trình bày chứng minh này d−ới dạng một chuỗi các khẳng định liên tiếp
d−ới đây.
Khẳng định 1: Tại tất cả các điểm trên đ−ờng tròn lớn của
mặt cầu, vuông góc với E0
(tức là tại các điểm có θ = 900) mật độ điện tích mặt bằng không. Điều này suy ra từ sự đối xứng của các điện tích cảm ứng d−ơng và âm.
Khẳng định 2: Nếu khi đặt quả cầu vào điện tr−ờng c−ờng
σ=0 σ0
E0
độ E1
, mật độ điện tích mặt tại một điểm nào đó là σ1, còn khi đặt vào điện tr−ờng c−ờng độ E2
, mật độ điện tích mặt tại điểm đó là σ2 thì khi đặt vào điện tr−ờng E1
+ E2
mật độ điện tích mặt tại điểm đó sẽ là σ1 + σ2. Điều này suy ra từ định lí về tính duy nhất: mỗi mật độ điện tích mặt làm triệt tiêu c−ờng độ điện tr−ờng t−ơng ứng (ở trong quả cầu), nên chính c−ờng độ tổng hợp cũng sẽ bằng 0 vì chỉ tồn tại duy nhất một sự phân bố điện tích thoả mãn điều kiện này.
Khẳng định 3: Nếu c−ờng độ điện tr−ờng tăng lên α lần (E E
α =
' ) thì mật độ điện tích mặt ở mỗi điểm cũng sẽ tăng lên α lần (σ' = ασ). Đây là hệ quả của điều khẳng định 2 ở trên.
Lập luận cơ bản: Chúng ta hãy xét một quả cầu
đ−ợc đặt trong điện tr−ờng E0
.
Giả sử mật độ điện tích cảm ứng cực đại (khi θ =
0) bằng σ0. Để tìm σ(θ) ta phân tích E0 thành hai thành phần vuông góc nhau: E0 E1 E2 + = , trong đó E1 lập với E0
một góc θ. Vì E1 = E0 cosθ nên khi đặt quả cầu vào điện tr−ờng
1
E
mật độ điện tích cực đại tại A sẽ bằng σ0 cosθ (theo điều khẳng định 3). Còn
nếu đặt quả cầu vào điện tr−ờng E2
thì mật độ điện tích mặt tại A sẽ bằng 0 (điều khẳng định 1). Nh− vậy, theo điều khẳng định 2 thì trong điện tr−ờng E0
mật độ điện tích mặt tại A sẽ bằng σ0cosθ.
Tất nhiên, lập luận nh− thế ch−a cho phép xác định đ−ợc ngay σ0 bằng bao nhiêu. Nh−ng bài toán này đơn giản hơn nhiều so với bài toán xác định phân bố ch−a biết của điện tích. Dùng biểu thức trên và nguyên lí chồng chập để xác định c−ờng độ điện tr−ờng gây bởi phân bố điện tích này tại tâm quả cầu rồi cho
bằng E0, ta sẽ xác định đ−ợc σ0 qua E0 tức là công thức (2). Do khuôn khổ bài
báo, chúng tôi không trình bày những tính toán này ở đây, xin dành lại cho các bạn đã biết tính tích phân nh− một bài tập.
Tuy nhiên, bài toán về c−ờng độ điện tr−ờng bên ngoài quả cầu gây ra bởi các điện tích cảm ứng thì trong khuôn khổ của ph−ơng pháp sử dụng tính đối xứng không giải quyết đ−ợc. D−ới đây chúng tôi sẽ trình bày hai ph−ơng pháp cho phép nhận đ−ợc lời giải của bài toán đó.
