Một quả cầu dẫn bán kính R đ−ợc đặt trong một điện tr−ờng đều, c−ờng độ E0
.
a) Hãy tìm phân bố điện tích cảm ứng trên bề mặt quả cầu.
Rõ ràng mật độ điện tích mặt σ phải phụ thuộc vào góc
θ tạo bởi bán kính và véc tơ E0
(xem hình), tức là câu trả lời phải đ−ợc biểu thị qua hàm σ(θ).
b) Hãy xác định điện tr−ờng gây bởi các điện tích cảm ứng trong không gian ngoài quả cầu.
Câu trả lời hoặc đ−ợc biểu thị qua hàm Ecu(r,θ)
, ở đây r là khoảng cách từ điểm
đã cho đến tâm quả cầu (r > R) hoặc là đ−ợc biểu thị qua hàm điện thế ϕcu(r,θ), hoặc là chỉ ra đ−ợc một thuật toán để tính chúng. C−ờng độ điện tr−ờng tổng hợp
sẽ bằng E Ecu E0
+
= . Chú ý rằng vì c−ờng độ điện tr−ờng tổng hợp trong quả
θ R
cầu bằng không, nên điện tích cảm ứng phải tạo ra điện tr−ờng có c−ờng độ bằng -E0
bên trong quả cầu (tức khi r < R).
Bằng các ph−ơng pháp cao cấp hơn, ng−ời ta đã tính đ−ợc mật độ điện tích mặt là:
σ = σ0 cos θ, (1)
trong đó mật độ cực đại σ0 đ−ợc biểu thị qua c−ờng độ điện tr−ờng E0 :
σ0 = 3ε0E0 (2)
(ε0 là hằng số điện) và điện tr−ờng bên ngoài quả cầu trùng với điện tr−ờng của
l−ỡng cực điểm, đặt ở tâm quả cầu và có mô men l−ỡng cực: p 3V 0E0
ε
= (3)
ở đây V là thể tích của quả cầu.
Cũng cần chú ý rằng một l−ỡng cực điện có mô men l−ỡng cực p ql
= đ−ợc gọi là l−ỡng cực điểm khi nó là một l−ỡng cực vô cùng bé nhận đ−ợc bằng cách cho tiến đến giới hạn l → 0 , q →∞ nh−ng giá trị mô men p = ql vẫn không đổi.