Thiết kế thuật toán khôi phục tín hiệu

Thuật toán khôi phục tín hiệu phải thực hiện M phép đo trong véc tơ y, ma trận

đo ngẫu nhiên φvà cơ sở ψ và khôi phục tín hiệu x có chiều dài N hoặc véc tơ hệ số

thưa s.

 Khôi phục chuẩn tối thiểu l0

Xét chuẩn l0 tính sốđầu vào khác 0 trong s. Tối ưu được sửa đổi:

0

ˆ arg min '

s s sao cho Θs'y (3.4) Có thể khôi phục chính xác một tín hiệu thưa K với xác suất cao sử dụng chỉ

1

K M  phép đo Gauss iid. Tuy nhiên, việc giải phương trình (3.5) cần liệt kê hết mọi vị trí có thể của tất cả các lối vào khác 0 trong s, do đó có độ phức tạp tính toán cao.

 Khôi phục chuẩn tối thiểu l1

Tối ưu hóa dựa trên chuẩn l1

1

ˆ arg min '

s s sao cho Θs'y (3.5) Có thể khôi phục chính xác tín hiệu thưa K hoặc tín hiệu có thể nén với xác suất cao sử dụng chỉ M cKlog( / )N K phép đo Gauss iid với độ phức tạp tính toán thấp hơn nhiều so với sử dụng chuẩn tối thiểu l0.

Dạng hình học của bài toán lấy mẫu nén (CS) trong RN giúp trực quan hóa lý do vì sao khôi phục l2 không thể tìm lời giải rải rác mà có thể được thực hiện bởi khôi phục l1. Tập của tất cả các véc tơ s rải rác K trong RN là không gian không tuyến tính tất cả các siêu mặt phẳng đa chiều được xắp xếp với các trục tọa độ được đưa ra trên hình 3.3 (a). Không gian rỗng chuyển đổi H N( )Θ s được định hướng với 1 góc

ngẫu nhiên do tính ngẫu nhiên của ma trận Θ được đưa ra trên hình 3.3 (b). Bóng l1

trên hình 3.3 (c) được bơm căng, đầu tiên nó sẽ tiếp xúc với không gian rỗng H tại một

điểm gần với trục tọa độ, đó chính là điểm đặt của véc tơ rải rác s.

Mọi đề cập ở đây đều nói về tín hiệu rời rạc x, lấy mẫu nén cũng được áp dụng

đối với tín hiệu rải rác hay tín hiệu tương tự có thể nén được, tín hiệu này có thểđược biểu diễn hoặc được xấp xỉ bởi chỉ K trong Ncơ sở liên tục ψi( )t iN1. Mỗi ψi( )t có thể

có độ rộng dải lớn (và do đó, tốc độ Nyquist cao), tín hiệu x( )t chỉ có K bậc tự do và do

đó có thểđược đo tại tốc độ thấp hơn nhiều.

Hình 3.3 : (a) Không gian con chứa 2 véc tơ rải rác trongR3 nằm gần với trục tọa độ; (b) Trực quan hóa tối thiểu l2 (5) tìm điểm tiếp xúc không rải rác sˆ giữa bóng l2và ma trận

đo chuyển đổi trong không gian rỗng; (c) Trực quan hóa tối thiểu l1 tìm điểm tiếp xúc rải rác sˆ với xác suất cao [6].