Thiết kế ma trận đo

Điều kiện cần và đủđối với bài toán này là đối với bất kỳ véc tơ v có chung K hệ

số khác 0 giống s và cho 0, ma trận đo φ phải cho phép khôi phục tín hiệu có chiều dài N từ M Nphép đo (véc tơ y). Do M N, bài toán trở thành thiếu điều kiện để

giải. Tuy nhiên, nếu x là thưa K thì bài toán có thểđược giải với M  Knếu thỏa mãn

2 2 1 v 1 v     Θ   (3.3)

Điều kiện (3.3) được gọi là điều kiện RIP (Restricted Isometry Property). Nó có nghĩa là hệ thống được biểu diễn bởi Θkhi tác động vào một véc tơ vbất kỳ, nó không làm thay đổi nhiều chiều dài của véc tơ này.

Tuy nhiên, điều kiện đủ để giải cho cả hai tín hiệu thưa K và tín hiệu có thể nén là

phải thỏa mãn (3.3) cho một véc tơ v thưa 3K bất kỳ. Điều kiện RIP có thểđược thỏa mãn thông qua một điều kiện khác gọi là không kết hợp (incoherence) đòi hỏi các dòng  φj của φ không thể biểu diễn rời rạc các cột của  ψj của ψ.

Cấu trúc trực tiếp của ma trận đo φ(Θ=φψ) phải thỏa mãn điều kiện kết hợp. Người ta đã chứng minh được rằng có thểđạt được với xác suất cao bằng cách chọn ma trận φ là ma trận ngẫu nhiên. Ví dụ, cho các phần tử của ma trận φj i, là các biễn ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố (iid) từ một hàm mật độ xác suất Gauss có giá trị trung bình 0 và phương sai 1/N. Sau đó các giá trị đoy đơn thuần là sự kết hợp tuyến tính các trọng số ngẫu nhiên khác của các phần tử của x, như minh họa trong hình 3.2 (a).

Hình 3.2: (a) Quá trình đo lấy mẫu nén với ma trận đo ngẫu nhiên Gaussianvà ma trận truyền cosin rời rạc (DCT) ψ. Véc tơ hệ số rời rạc svới K 4; (b) Quá trình đo với

Θ=φψ. Có 4 cột tương ứng với các hệ số sikhác 0; véc tơđo y là sự kết hợp tuyến tính của các cột này [6].

Ma trận đo Gauss φ có hai thuộc tính quan trọng và hữu ích :

 Ma trận φ là không kết hợp với cơ sở ψ I. Đặc biệt hơn, ma trậnM N Gauss iid Θ φ I φcó thể được đưa ra để có thuộc tính RIP với xác suất cao nếu

log( / )

M cK N K , c là hằng số có giá trị nhỏ. Do đó, các tín hiệu thưa K có chiều dài N có thểđược khôi phục chỉ từ M cKlog( / )N K N phép đo ngẫu nhiên Gauss.

 Với điều kiện Θ=φψlà IID Gauss Ma trận φ thỏa mãn RIP với xác suất cao bất chấp lựa chọn cơ sở trực giao ψ, do đó ma trận này là tổng quát cho nhiều hệ thống lấy mẫu nén.