sóng
Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu với mô hình chuyển đổi bước sóng trong kiến trúc SPIL (Hình 3.1) với một cổng ra phân tích theo mô hình Markov CTMC 1- chiều (Hình 3.2) [2][49].
Hình 3.1. Nút lõi OBS kiến trúc SPIL với các bộ chuyển đổi bước sóng
Theo đó, chúng tôi thực hiện phân tích các trường hợp sau: (i) khả năng chuyển đổi là hoàn toàn và số bộ chuyển đổi được sử dụng là giới hạn , ứng với mô hình PSPIL [2][49]; (ii) số bộ chuyển đổi bằng số bước sóng và khả năng chuyển đổi là giới hạn với bậc , ứng với mô hình LSPIL
[2][72]; (iii) số bộ chuyển đổi được sử dụng là giới hạn và khả năng chuyển đổi là hạn chế với bậc , ứng với mô hình PLSPIL [2].
Hình 3.2. Lược đồ chuyển trạng thái Markov 1-chiều tại nút lõi OBS kiến trúc SPIL
Trạng thái của hệ thống tại thời điểm được mô tả bởi quá trình ngẫu nhiên (stochastic process) 𝑆 nếu có bước sóng đang bị chiếm giữ. Quá trình 𝑆 là quá trình sinh-tử (birth–death process) với trạng thái được chỉ ra như ở Hình 3.2.
Chuyển mạch quang ... cổng r a 1 Sợi quang ra ... cổ ng r a K cổ ng v ào 1 cổ ng v ào K ... . .... .... Sợi quang ra Sợi quang vào
Sợi quang vào
LRWC ... LRWC C LRWC ... LRWC C ... 1 2
Đây chính là mô hình chuyển trạng Markov 1-chiều nhưng xét với các giá trị tốc độ chuyển trạng thái (đến) thay đổi. Ở đây, chúng tôi ký hiệu giá trị tốc độ chuyển trạng thái tại trạng thái sang là và tốc độ phục vụ từ trạng thái về trạng thái có giá trị bằng .
Đặt П là vector xác suất trạng thái cân bằng của hệ thống, với (xác suất cân bằng tại trạng thái k) được biểu diễn như sau:
(3.2) Trong đó được tính như sau:
[ ] (3.3) Với ràng buộc: ∑ω 3.2.1.1. Mô hình PSPIL
Mô hình này xuất phát từ mô hình của tác giả Mohamed H. S. Morsy và các cộng sự trong [49], ứng với trường hợp 𝜈 và . Tốc độ chuyển trạng thái khi đó phụ thuộc vào số chùm đã được phục vụ tại thời điểm xét, cũng như khả năng chuyển đổi 𝜈 của nút mạng. Tốc độ chuyển trạng thái đến từ trạng thái đến trạng thái sẽ là [49]:
( 𝜈) (3.4) Theo lược đồ trạng thái như ở Hình 3.2, áp dụng công thức (3.4) vào các công thức (3.2), (3.3) ta có thể biểu diễn xác suất trạng thái cân bằng như sau:
{ ∏ ( 𝜈 ) (3.5)
với điều kiện ∑ω
và ⁄
Với điều kiện tổng tất cả các xác suất trạng thái bằng 1, ta tính được giá trị của , như sau:
( ∑ ∏ ( 𝜈 ) ) (3.6)
{
∑ ∏ ( 𝜈 ) ∏ ( 𝜈 )
∑ ∏ ( 𝜈 )
(3.7)
Khi đó, xác suất mất chùm được tính từ lược đồ trạng thái như Hình 3.2, kết hợp với công thức tính trong (3.7), có kết quả như sau [49]:
ω 𝜈 ω 𝜈 ω ω ω 𝜈 ω (3.8) ω ∑ ω 𝜈 ω
Trong đó: ⁄ : xác suất một chùm đến yêu cầu một bước sóng bận; 𝜈 : Xác suất mà một bước sóng được yêu cầu không có khả năng chuyển đổi; : Xác suất cân bằng của hệ thống ở trạng thái .
Lưu ý rằng, khi giá trị 𝜈 , tức là , công thức (3.8) trở về công thức Erlang ứng với hệ thống tổn thất trong mô hình hàng đợi .
3.2.1.2. Mô hình LSPIL
Khác với mô hình PSPIL ở trên, mô hình LSPIL ở đây xét trường hợp 𝜈 và khả năng chuyển đổi là bị hạn chế (bậc ). Khi một chùm đến trên một kênh bước sóng đang bận, nó có thể sử dụng một LRWC để chuyển sang một bước sóng rỗi khác chỉ trong tập chuyển đổi . Nếu hoàn toàn được sử dụng bởi các chùm đến trước đó, chùm mới đến này sẽ bị loại bỏ.
Mô hình LSPIL phân tích ở đây là sự cải tiến ý tưởng trong [74] để thống nhất với mô hình PSPIL ở trên, tức là cũng được phân tích với các giá trị tốc độ chuyển trạng thái đến thay đổi, phụ thuộc vào số chùm đã được phục vụ tại thời điểm xét, cũng như khả năng chuyển đổi thành công của bộ chuyển đổi trong vùng chuyển đổi . Khi đó, tốc độ chuyển trạng thái đến từ trạng thái k đến trạng thái sẽ là [2]:
( ) (3.9) Trong đó là xác suất mà một bộ chuyển đổi có khả năng chuyển đổi thành công.
Để tính , đầu tiên ta cần tìm số chùm đến bị tắc nghẽn trung bình trong hệ thống tại trạng thái . Số chùm đến bị tắc nghẽn bằng số tập vùng chuyển đổi đã bị chiếm giữ hoàn toàn (tức là các bước sóng trong tập chuyển đổi đã được sử dụng). Theo tính chất hạn chế của bộ chuyển đổi bước sóng (với vùng chuyển đổi ), số tập vùng chuyển đổi bước sóng đã bị chiếm giữ hoàn toàn liên quan đến việc các bước sóng bị chiếm giữ như thế nào [74].
Hình 3.3. Sự phân phối của các bước sóng đang sử dụng và sự tương ứng của số tập vùng chuyển đổi bị chiếm giữ hoàn toàn (biểu hiện bởi b). Trong ví dụ trên, ω = 8, r = 3, và k = 5.(a) b = 0; (b) b = 2 ({3, 4, 5}, {4, 5, 6}); (c) b = 1 ({7, 8, 1}); (d) b = 3 ({3, 4, 5}, {4,
5, 6}, {5, 6, 7})
Trong ví dụ ở Hình 3.3, chúng ta có thể sử dụng một hình tròn với các nhãn theo thứ tự biểu hiện cho bước sóng của một cổng ra, và mỗi nhãn màu đen biểu diễn cho một bước sóng đang bận. Trong 4 trường hợp về sự chiếm giữ bước sóng ở Hình 3.3, mặc dù với số bước sóng , vùng chuyển đổi và số bước sóng bị chiếm giữ là như nhau thì khả năng dẫn đến tắc nghẽn là khác nhau. Với trường hợp (a), không có tập chuyển đổi nào bị chiếm giữ hoàn toàn, và do đó, . Với trường hợp (b), số tập chuyển đổi đã bị chiếm giữ hoàn toàn là , đó là . Với trường hợp (c), số tập chuyển đổi bị chiếm giữ hoàn toàn là , đó là . Và đối với trường hợp (d), số tập chuyển đổi bị chiếm giữ hoàn toàn là , đó là .
- Đối với trường hợp ( | |), có ít nhất một bước sóng còn rỗi trong mỗi tập chuyển đổi, chùm đến sẽ không bị tắc nghẽn và = 1.
Hình 3.4. Không có tắc ngh n với trường hợp số bước sóng bận nhỏ hơn giá trị vùng chuyển đổi (ω = 8, r = 5 và k = 4)
Trong Hình 3.4, vì số các bước sóng bận nhỏ hơn giá trị vùng chuyển đổi mà | | nên chùm đến sẽ không bị tắc nghẽn và có ít nhất là một bước sóng còn rỗi trong mỗi tập chuyển đổi (do ). Ví dụ, với trường hợp (b), khi có một chùm đến yêu cầu sử dụng bước sóng 5 (đã được sử dụng bởi một chùm đến trước đó), với vùng chuyển đổi là , tập chuyển đổi cho bước sóng này sẽ là , và trong tập chuyển đổi này, luôn có ít nhất một bước sóng còn rỗi (trong trường hợp này là bước sóng 4).
- Khi , số chùm đến bị tắc nghẽn liên quan đến độ dài của dãy liên tục các bước sóng đã được sử dụng (ký hiệu là ). Nếu , không có tắc nghẽn; tuy nhiên, khi , số chùm đến bị tắc nghẽn sẽ là . Trở lại ví dụ ở Hình 3.3, trong trường hợp (a), giá trị . Như vậy, trong trường hợp này và do đó, sẽ không xảy ra tắc nghẽn. Nếu một chùm đến bất kì yêu cầu một bước sóng nào trong 5 bước sóng bận này, nó luôn được chuyển đổi sang một bước sóng khả dụng khác trong vùng chuyển đổi (ví dụ, nếu một chùm đến yêu cầu bước sóng 4, nó sẽ được chuyển đổi sang bước sóng 5; nếu chùm đến yêu cầu bước sóng 3 thì nó sẽ được chuyển đổi sang bước sóng 2…). Ngược lại, xét trường hợp (d), độ dài của dãy liên tục các bước sóng bận lúc này sẽ là . Như vậy, và do đó chùm đến sẽ bị mất nếu nó yêu cầu vào bước sóng 4, 5 hay 6. Như vậy, nếu tìm được số dãy liên tục các bước sóng đã được sử dụng với các độ dài khác nhau trong trạng thái , ta có thể tìm được chính xác giá trị . Giá trị trung bình của số dãy liên tục các bước sóng bận có thể được biểu diễn như sau
[2][72][74]: { ⁄ á ườ ợ𝑝 á (3.10)
Giá trị được xây dựng theo định lý đề xuất trong [74]:
- Với thì có thể là một số nguyên từ đến . Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng có nhãn biểu thị cho bước sóng được sắp xếp có thứ tự thành vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Mỗi nhãn màu đen biểu thị cho một bước sóng đang bận, mỗi nhãn màu trắng biểu thị cho một bước sóng còn rỗi. Như vậy, trên vòng tròn sắp xếp có thứ tự này, có tất cả vị trí cho nhãn.
- Nếu bắt đầu từ vị trí đầu tiên, và đặt nhãn màu đen từng cái một vào trong vị trí kế tiếp nhau, bỏ đi 2 nhãn màu trắng ở tại 2 vị trí kết thúc của chuỗi nhãn màu đen. Sau đó, đặt cái nhãn đen còn lại một cách ngẫu nhiên vào trong vị trí còn lại. Chúng ta có thể nhận được số các chuỗi nhãn màu đen có độ dài .
- Lặp lại quá trình trên từ vị trí 2, vị trí 3 đến vị trí cuối cùng, chúng ta có thể đếm được số các chuỗi nhãn màu đen với độ dài . Mỗi chuỗi nhãn màu đen biểu diễn một chuỗi liên tục các bước sóng bận. Vì vậy, là con số chính xác của tất cả những chuỗi bước sóng bận với độ dài xuất hiện trong tất cả các vị trí có thể.
- Từ tổng số các cách có thể đặt nhãn vào vị trí, số lượng trung bình của những chuỗi bước sóng bận với độ dài xuất hiện trong một trường hợp sẽ là: ⁄
Trong công thức (3.10), trường hợp mà sốbước sóng bận bằng hoặc thì chỉ có một và chỉ một chuỗi các bước sóng bận với độ dài trong mỗi trường hợp có thể.
Từ công thức (3.10) và các nhận xét ở trên ta có thể tính được giá trị như sau [72]: { ( ∑ ) ⁄ (3.11)
Xác suất tắc nghẽn ứng với trường hợp LRWC như sau [2]:
∑ ( )
(3.12)
Tương tự như khi xét với mô hình PSPIL, ta cũng lưu ý rằng, nếu khả năng chuyển đổi của các bộ LRWC là đầy đủ, tức là , công thức (3.12) trở thành , ứng với hệ thống tổn thất trong mô hình hàng đợi .
3.2.1.3. Mô hình PLSPIL
Đây là mô hình kết hợp hai mô hình PSPIL và LSPIL để đánh giá hiệu năng tại nút lõi OBS, đồng thời xem xét với chi phí thực hiện của các bộ chuyển đổi bước sóng. Trong mô hình PLSPIL, chúng tôi xem xét với các điều kiện 𝜈 (giới hạn bộ chuyển đổi) và ⌊ ⁄ ⌋ (giới hạn vùng chuyển đổi), tức là hạn chế
với các bộ chuyển đổi kiểu LRWC. Khi đó, tốc độ chuyển trạng thái từ trạng thái đến trạng thái sẽ là:
( 𝜈 ) (3.13) Giá trị trong công thức (3.13) được tính trên cơ sở nhận xét như sau:
Tốc độ chuyển trạng thái = tốc độ đến trung bình * (xác suất một chùm đến yêu cầu một bước sóng rỗi + xác suất một chùm đến yêu cầu một bước sóng bận * xác suất mà một bước sóng được yêu cầu có khả năng sử dụng bộ chuyển đổi bước sóng LRWC *
xác suất mà 1 bộ LRWC có thể chuyển đổi thành công).
Xác suất tắc nghẽn trong trường hợp này được xét theo các trường hợp sau: - Tắc nghẽn do thiếu bước sóng khả dụng: xảy ra khi một chùm đến nhưng
hết bước sóng khả dụng.
- Tắc nghẽn do thiếu bộ chuyển đổi bước sóng: xảy ra khi chùm đến cần chuyển đổi bước sóng nhưng hết bộ chuyển đổi khả dụng (mặc dù có thể còn bước sóng khả dụng).
- Tắc nghẽn do bộ chuyển đổi bước sóng không chuyển đổi thành công: xảy ra khi chùm đến yêu cầu chuyển đổi bước sóng, vẫn còn bộ chuyển đổi khả dụng nhưng việc chuyển đổi bước sóng không thành công do khả năng chuyển đổi bị giới hạn.
Khi đó, xác suất mất chùm được tính theo công thức sau: ∑ ( 𝜈 ) ∑ ( 𝜈 ) (3.14) 3.2.1.4. Phân tích kết quả
Trên cơ sở xác suất tắc nghẽn đã xác định được ở phương trình (3.8), (3.12),
(3.14), chúng tôi tiến hành mô tả về mặt đồ thị (được viết bằng ngôn ngữ C++) sự biến thiên của xác suất tắc nghẽn phụ thuộc vào lưu lượng tải mạng , số bước sóng ra , số bộ chuyển đổi bước sóng và phạm vị giới hạn vùng chuyển đổi bước sóng . Tương tự các tham số mô phỏng được sử dụng trong [49][72], gọi là hệ số lưu lượng tải mạng so với số bước sóng sử dụng tại mỗi cổng ra, được xét trong khoảng 0.2 đến 0.9 (Erl). Kết quả phân tích cũng sẽ được so sánh với mô phỏng trong một số trường hợp để kiểm chứng.
Đồ thị trong Hình 3.5 thể hiện sự so sánh sự biến thiên của xác suất tắt nghẽn chuyển biến theo số bộ chuyển đổi bước sóng theo mô hình PSPIL (ứng với các công thức (3.8)).
Hình 3.5. Xác suất tắc ngh n trong mô hình PSPIL với trường hợp (ω=16; C=0,4,8,16) vs β
Hình 3.5 chỉ ra rằng xác suất tắc nghẽn chùm sẽ giảm khi số bộ chuyển đổi tăng. Điều này là hiển nhiên vì khi số bộ chuyển đổi tăng, cơ hội một chùm đến tìm thấy một bước sóng ra khả dụng, nhờ vào việc chuyển đổi bước sóng, là cao. Trong trường hợp , xác suất mất chùm trong trường hợp này tương ứng với xác suất mất chùm trong mô hình hàng đợi ứng với công thức Erlang, và khi , nghĩa là không có sự chuyển đổi bước sóng thì xác suất tắc nghẽn sẽ rất lớn.
Hình 3.6. Xác suất tắc ngh n trong mô hình PSPIL với trường hợp (ω=10, 16; C=4) vs β
Khi so sánh cùng số bộ chuyển đổi bước sóng nhưng số bước sóng ra là khác nhau, Hình 3.6 cho thấy rằng xác suất tắc nghẽn sẽ tăng khi số bước sóng tăng. Điều này là rõ ràng bởi vì khi số bộ chuyển đổi là không đổi, tài nguyên bước sóng càng lớn thì xác suất mà một bước sóng được yêu cầu không có khả năng sử dụng bộ chuyển đổi ⁄ sẽ tăng lên do giá trị này tỉ lệ thuận với giá trị . Và do đó, xác suất tắc nghẽn chùm sẽ tăng lên.
Với mô hình LSPIL, khi số tài nguyên bước sóng không đổi, xác suất tắc nghẽn sẽ giảm khi vùng chuyển đổi tăng (Hình 3.7). Điều này là dễ hiểu bởi vì khi đó một chùm đến sẽ có cơ hội tìm được bước sóng ra lớn khi vùng chuyển đổi lớn.
Hình 3.7. Xác suất tắc ngh n trong mô hình LSPIL với trường hợp (ω = 15; r = 3, 7, 11, 15) vs β
Khi so sánh ảnh hưởng của số bước sóng ra đến xác suất tắt nghẽn khi mà vùng chuyển đổi không thay đổi, Hình 3.8 chỉ ra rằng xác suất tắc nghẽn sẽ giảm khi tài nguyên bước sóng tăng. Kết quả trên Hình 3.8 có thể được giải thích như sau:
- Tại trạng thái , khi có một chùm đến yêu cầu sử dụng bước sóng, nếu giá trị không đổi và giá trị tăng lên thì giá trị trung bình của số dãy liên tục các bước sóng bận trong bước sóng sẽ giảm do số trường hợp mà các bước sóng bận ở các vị trí khác nhau tăng lên. Điều này dẫn đến xác suất chuyển đổi thành công của các bộ chuyển đổi sẽ tăng.
- Mặt khác, khi tăng lên, xác suất một chùm đến yêu cầu một bước sóng bận sẽ giảm xuống (hay nói cách khác, cơ hội một chùm đến tìm
thấy bước sóng khả dụng tại cổng ra là tăng). Do vậy, xác suất tắc nghẽn chùm trong trường hợp này sẽ giảm.
Hình 3.8. Xác suất tắc ngh n trong mô hình LSPIL với trường hợp (ω = 15, 31; r = 9) vs β
Khi xét mô hình PSPIL với , mô hình LSPIL với và mô hình PLSPIL với trường hợp (chuyển đổi đầy đủ), kết quả đều tương ứng với xác suất tắc nghẽn trong mô hình hàng đợi ứng với công thức Erlang (Hình 3.9). Kết quả trong trường hợp này cũng được so sánh với kết quả mô phỏng (được xây dựng từ gói chương trình Simpack [78] để mô phỏng chuỗi Markov ) và hoàn toàn trùng khớp. Điều này cho thấy tính đúng đắn của các mô hình ở trên.
Hình 3.9. So sánh xác suất tắc ngh n trong mô hình PSPIL với c = ω, trong m h nh LSPIL với r = ω, trong m h nh PLSPIL và mô phỏng với C = ω, r = ω (ω=15; C = 15;