Sự kết hợp hai phương pháp trung bình và tuyến tính hóa cho ta một công cụ
khá mạnh để nghiên cứu các hệ phức tạp. Trong chương này, tác giả đã trình bày cách áp dụng kỹ thuật phân tích trong luận án để nghiên cứu đáp ứng thứđiều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing chịu đồng thời kích động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên. Với kỹ thuật phân tích được phát triển trong luận án này, theo tác giả, lần đầu tiên đáp
tuần hoàn và ngẫu nhiên dạng phương trình (4.1) được nghiên cứu. Các kết quả tìm
được ởđây còn đơn giản do tác giả bị hạn chế về thời gian nghiên cứu. Dù sao, các kết quả lý thuyết cũng đã được so sánh với các kết quả mô phỏng số. Sai số nhỏ cho thấy ta có thể áp dụng kỹ thuật phân tích dao động được phát triển trong luận án hoàn toàn có thể dùng để phân tích các đáp ứng thứ điều hòa bậc m/n của các hệ dao động phi tuyến.
Theo tác giả, đóng góp của chương này là gợi ra một hướng trong nghiên cứu tính cộng hưởng thứ cấp cho các hệ phi tuyến chịu đồng thời hai loại kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên.
KẾT LUẬN
Trong luận án này, tác giả đã đề xuất một kỹ thuật mới để phân tích dao động trong hệ phi tuyến chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên. Về mặt phương pháp luận, kỹ thuật phân tích dao động được đề xuất trong luận án được xây dựng dựa trên hai phương pháp kinh điển, đó là phương pháp trung bình ngẫu nhiên và phương pháp tuyến tính hóa tương đương, và phương pháp hàm bổ trợ - là sự mở rộng điều kiện thế
năng đã được thừa nhận trong việc giải phương trình Fokker-Planck (Nguyễn Đông Anh, 1986, 1995). Bên cạnh đó, khi phân tích dao động của các hệ cụ thể, tính chính xác của kỹ thuật phân tích cũng được kiểm chứng qua so sánh với kết quả thu được bằng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo, đây là cách làm kinh điển khi cần đánh giá một kỹ thuật/phương pháp phân tích hệ ngẫu nhiên và để kết luận về phạm vi các khoảng tham số.
Áp dụng kỹ thuật đã đề xuất, luận án đã trình bày phân tích dao động của các hệ
Van der Pol (đại diện cho lớp hệ có cản phi tuyến), Duffing (độ cứng phi tuyến), Van der Pol – Duffing (cản và độ cứng phi tuyến), Mathieu – Duffing (hệ kích động thông số phi tuyến) chịu kích động bởi lực tuần hoàn và lực ngẫu nhiên dạng ồn trắng. Các
đặc trưng xác suất của đáp ứng của các hệ đã được chỉ ra, đồng thời, ảnh hưởng của các tham số của hệ lên đáp ứng cũng được khảo sát.
Luận án cũng đã trình bày phân tích ban đầu đáp ứng thứđiều hoà bậc 1/3 của hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn. Dù kết quả phân tích còn đơn giản nhưng là một kết quả mới và cho thấy tiềm năng áp dụng kỹ thuật phân tích trong luận án trong phân tích các hệ dao động phi tuyến.
Các áp dụng vào phân tích các hệ cụ thể cho thấy kỹ thuật phân tích được phát triển trong luận án có khả năng áp dụng cho các hệ phi tuyến khác mà không gặp trở
Đóng góp mới của luận án:
1. Dựa vào phương pháp hàm bổ trợ, luận án đã trình bày cách tìm nghiệm của phương trình Fokker-Planck trong không gian hai chiều với các hệ số dịch chuyển tuyến tính và các hệ số khuếch tán hằng, viết cho hàm mật độ xác suất dừng của hệ tuyến tính chịu kích động ồn trắng Gauss.
2. Trên cơ sở giải được phương trình Fokker-Planck hệ số dịch chuyển tuyến tính, luận án sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên trong giải xấp xỉ phương trình Fokker –Planck có các hệ số dịch chuyển phi tuyến.
3. Luận án đã đề xuất kỹ thuật nghiên cứu đáp ứng của hệ phi tuyến một bậc tự do chịu kích động bởi lực ngẫu nhiên và tuần hoàn gồm các bước chính sau: (i) Áp dụng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong hệ tọa độĐề-các cho
hệđang xét.
(ii) Viết phương trình Fokker-Planck cho hàm mật độ xác suất dừng ứng với các phương trình trung bình.
(iii) Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa để giải xấp xỉ phương trình Fokker-Planck và tìm được hàm mật độ xác suất dừng theo các biến tọa
độĐề-các.
(iv) Tính các đặc trưng xác suất theo các biến pha và phân tích dao động của hệ.
Các vấn đề chưa được xét trong luận án:
- Chưa đánh giá được tính đa nghiệm (nếu có) của hệ phương trình đại số phi tuyến theo các biến là hệ số tuyến tính hoá.
- Chưa xét các trường hợp rẽ nhánh, nhảy, hoặc hỗn độn (nếu có).
Hướng phát triển tiếp theo của luận án:
Ngoài việc tiếp tục nghiên cứu các vấn đề chưa được xét được nêu ở trên, các hướng phát triển tiếp theo của luận án dự kiến là:
1. Áp dụng kỹ thuật phân tích dao động của luận án để nghiên cứu đáp ứng siêu điều hòa của các hệ phi tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên.
2. Sai số tích luỹ qua việc kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên và phương pháp tuyến tính hoá ngẫu nhiên chưa được luận án xét đến. Hướng cải thiện độ chính xác của kỹ thuật phân tích dao động trong luận án có thể
là áp dụng các phương pháp trung bình được cải tiến (Nguyễn Đông Anh, 2010; Nguyễn Đông Anh, 2012) và tuyến tính hóa ngẫu nhiên được cải tiến (Elishakoff và cs., 2008; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012).
3. Phát triển kỹ thuật phân tích dao động trong luận án cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CÔNG
BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. N.D. Anh, V.L. Zakovorotny, D.N. Hao. Response analysis of Van der Pol oscillator subjected to harmonic and random excitations. Probabilistic Engineering
Mechanics, 37 (2014) pp. 51-59.
2. N.D. Anh, V.L. Zakovorotny, D.N. Hao. Van der Pol -Duffing oscillator under combined harmonic and random excitations. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 36, No. 3 (2014) pp. 161–172.
3. N.D. Anh, V.L. Zakovorotny, D.N. Hao. Response’s probabilistic characteristics of a Duffing oscillator under harmonic and random excitations, VNU Journal of Mathematics – Physics, Vol. 30, No. 1 (2014) pp. 37-47.
4. N.D. Anh, V.L. Zakovorotny, D.N. Hao, N.C. Thang. Probabilistic behaviors of Mathieu - Duffing oscillator under external periodic and random excitations.
Proceeding of the 3rd International Conference on Engineering Mechanics and
Automation (ICEMA 3) Hanoi, October 15 (2014) pp. 9-16.
5. N.D. Anh, D.N. Hao, N.N. Hieu. Response of Van der Pol oscillator subjected to combined periodic and random excitations. National conference on Mechanics,
Hanoi, April 9 (2014) pp. 459-464 (Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc-NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ -6.2014).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] Nguyễn Đông Anh (1999), “Một số kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực dao
động ngẫu nhiên thực hiện tại Viện Cơ học”, Một số thành tựu của Viện Cơ
học sau 20 năm thành lập, Trung tâm Khoa học tự nhiên và công nghệ Quốc
gia, tr. 18-23.
[2] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực
học phi tuyến và chuyển động hỗn độn, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu
nhiên, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
Tiếng nước ngoài:
[4] Anh ND (1986), “Two methods of integration of the Kolmogorov-Fokker- Planck equations”, (English). Ukr. Math. J. 38, pp. 331-334; translation from Ukr. Mat. Zh. 1986; 38(3), pp. 381-385.
[5] Anh ND (1995), “Higher order random averaging method of coefficients in Fokker-Planck equation”, In special volume Advance in Non-linear structural dynamics of Sãdhanã, Indian Academy of Science, pp. 373-378.
[6] Anh ND, Di Paola M (1995), “Some extensions of Gaussian equivalent linearization”, In Conference on Nonlinear Stochastic Dynamics, Hanoi,
Vietnam, pp. 5-16.
[7] Anh ND, Schiehlen W (1997), “An extension to the mean square criterion of Gaussian equivalent linearization”, Vietnam J. Math. 25(2), pp. 115-123. [8] Anh ND, Hai NQ (2000), “A technique of closure using a polynomial function
of Gaussian process”, Probabilistic Engineering Mechanics, 15, pp. 191–197 [9] Anh ND (2010), “Duality in the analysis of responses to nonlinear systems.
Vietnam J. Mech. Vast. 32, pp. 263–266
[10] Anh ND (2012), “Dual approach to averaged values of functions: Advanced formulas”, Vietnam J. Mech. Vast, 34 (4), pp. 1–5. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[11] Anh ND, Hieu NN, Linh NN (2012), “A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation”.
Acta Mech., 223, pp. 645–654.
[12] Anh ND, Hieu NN (2012), “The Duffing oscillator under combined periodic and random excitations”, Probabilistic Engineering Mechanics, 30, pp. 27-36.
[13] Arnold L (1974), Stochastic Differential Equations: Theory and Applications, New York: Wiley.
[14] Atalik TS, Utku S (1976), “Stochastic of linearization of multi-degree of freedom nonlinear”, Earth Eng Struct Dynamics, 4, pp. 411-20.
[15] Bogoliubov NN, Mitropolskii YA (1963), A symtotic methods in the theory of
nonlinear oscillations, Moscow: Nauka.
[16] Brucker A, Lin YK (1987), “Application of complex stochastic averaging to nonlinear random vibration problems”, Int. J. Nonlinear Mech. 22, pp. 237-
250.
[17] Cai GQ, Lin YK (1988), “A new approximate solution technique for randomly excited nonlinear oscillators”. Int. J. Nonlinear Mech. 23, pp. 409-420.
[18] Cai GQ, Lin YK (1996), “Exact and approximate solution for randomly excited MDOF nonlinear systems”. Int. J. Nonlinear Mechanics, 31, pp. 647- 655.
[19] Cai GQ, Lin YK (1994), “Nonlinearly damped systems under simultaneous broad-band and harmonic excitations”, Nonlinear Dynamics, 6, pp. 163-177. [20] Casciati F, Faravelli L (1986), “Equivalent linearization in nonliear random
vibration problems”, In Conference on Vibration problems in Eng, Xian,
China, pp. 986-991.
[21] Caughey TK (1959), “Response of a nonlinear string to random loading”,
ASME J. Applied Mechanics, 26, pp.341-4.
[22] Caughey TK (1963), “Equivalent Linearization techniques”, J. the Acoustical
Society of America, 35(11) pp. 1706-1711.
[23] Caughey TK, Ma F (1982), “The exact steady-state solution of a class of nonlinear stochastic systems”, Int. J. Nonlinear Mechanics, 17 pp. 137-142. [24] Caughey TK (1986), “On the response of nonlinear oscillators to stochastic
excitation”, Probab. Eng. Mech. 1, pp. 2-10.
[25] Chambers RP (1967), “Random number generation on digital computers”,
IEEE Spectrum (February), pp. 48-56
[26] Chen LC, Zhu WQ (2009), “Stochastic averaging of strongly nonlinear oscillators with small fractional derivative damping under combined harmonic and white noise excitations”, Nonlinear Dynamics, 56, pp.231-241.
[27] Clarkson BL and Mead DJ (1973), “High Frequency Vibration of Aircraft Structures”, Sound and Vibration, 28, pp. 487-504.
[28] Crandall SH (1963), “Perturbation techniques for random vibration of nonlinear systems”, J. Acoust. Soc. Am. 35, pp. 1700-1705.
[30] Davies HG, Rajan S (1988), “Random superharmonic and subharmonic response: Multiple time scaling of a Duffing oscillator”, Sound and Vibration, 126(2), pp. 195-208.
[31] Dimentberg MF, Iourtchenko DV, Ewijk OV (1998), “Subharmonic response of a quasi-isochronous vibroimpact system to a randomly disordered periodic excitation”, Nonlinear Dynamics, 17, pp. 173-186.
[32] Dimentberg MF (1976), “Response of a non-linearly damped oscillator to combined periodic parametric and random external excitation”, Int. J. Nonlinear Mechanics, 11 pp. 83-87.
[33] Dimentberg MF (1982), “An exact solution to a certain non-linear random vibration problem”, Int. J. Nonlinear Mechanics, 17, pp. 231-236.
[34] Domany E, Gendelman OV (2013), “Dynamic responses and mitigation of limit cycle oscillations in Van der Pol-Duffing oscillator with nonlinear energy sink”, Sound and Vibration, 332, pp. 5489-5507. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[35] Elishakoff I, Andrimasy L, Dolley M (2008), “Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola”, Acta Mech., 204 pp. 89-98. [36] Fuller AT (1969), “Analysis of nonlinear stochastic systems by means of the
Fokker Planck Equation”, Int. J. Control, 9 pp. 603-655.
[37] Francesco B, Daniele Z, Marcello V (2006), “Nonlinear response of SDOF systems under combined deterministic and random excitations”, Nonlinear Dynamics, 46, pp. 375-385.
[38] Haiwu R, Wei X, Guang M, Tong F (2001), “Response of a Duffing oscillator to combined deterministic harmonic and random excitation”, Sound and Vibration, 242(2), pp. 362-368.
[39] Haiwu R, Xiangdong W, Wei X, Tong F (2009), “Subharmonic response of a single-degree-of-freedom nonlinear vibroimpact system to a randomly disordered periodic excitation”, Sound and Vibration, 327, pp.173-182.
[40] Hao DN, Ngoan NT, Van LHM (2013), “Mechanical approach to non- autonomous linear second order stochastic differential equations”, Southeast- Asian J. of Sciences Vol. 2, No. 2(2013) pp. 171-177.
[41] Huang ZL, Zhu WQ, Suzuki Y (2000), “Stochastic averaging of strongly non- linear oscillators under combined harmonic and white noise excitations”,
Sound and Vibration, 238, pp. 233-256.
[42] Iwan WD, Spanos P (1978), “Response envelope statistics for nonlinear oscillators with random excitation”, J. Appl. Mech. 45, pp. 170-174.
[43] Kazakov IE (1954), “An approximate method for the statistical investigation for nonlinear systems”, Trudy VVIA im Prof. N. E. Zhukovskogo, 394, pp. 1-52
[in Russian].
[44] Kelly SG (2012), Mechanical vibrations: Theory and applications, Cengage
Learning.
[45] Khasminskii RZ (1966), “A limit theorem for the solutions of differential equations with random right-hand sides”, Theory Probab. Applic., 11, pp. 390- 405.
[46] Khiem NT (1990), “Spectral analysis of non-linear stochastic systems”, The
12th Int. Conference on Non-linear Oscillation, Cracow 2-7 September 1990,
Abstracts, pp. 51-52.
[47] Khiem NT (1991), “General solution of FPK equation of vibratory systems in amplitude and phase”, Reports of USSR Acad. Sci., V. 293(4), pp. 875-880. [48] Krylov NM, Bogoliubov NN (1937), Introduction to nonlinear mechanics.
Ukraine: Academy of Sciences.
[49] Kumar P, Narayanan S (2006), “ Solution of Fokker–Planck equation by finite element and finite difference methods for nonlinear system”, Sãdhanã, 31(04), pp. 455–73.
[50] Kumar P, Narayanan S (2010), “Response statistics and reliability analysis of a mistuned and frictionally damped bladed disk assembly subjected to white noise excitation”, ASME Gas Turbo Expo; GT-2010-22736.
[51] Li FM, Yao G (2013), “1/3 Subharmonic resonance of a nonlinear composite laminated cylindrical shell in subsonic air flow”, Composite Structures, 100,
pp. 249-256.
[52] Lutes L, Sarkani S (2004), Random vibration: Analysis of Structural and Mechanical Systems, Elsevier Butterworth–Heinemann.
[53] Masud A, Bergman LA (2005), “Application of multi-scale finite element methods to the solution of the Fokker–Planck equations”, J Comput Methods Appl Mech Engrg,194, pp. 1513–26
[54] Manohar CS, Iyengar RN (1991), “Entrainment in Van der Pol's oscillator in the presence of noise”, Int. J. Nonlinear Mechanics, 26(5), pp. 679-686. [55] Manohar CS (1995), “Methods of nonlinear random vibration analysis”,
Sãdhanã, 20, pp. 345-371.
[56] Menh NC (1993), “Response spectra of random multi-degree-of-freedom nonlinear mechanical systems”, Non-linear Vibration Problems, 25, pp. 267-
274.
[57] Mitropolskii YA (1967), “Averaging method in non-linear mechanics”, Non- linear Mechanics. Pergamoa Press Ltd., 2, pp. 69-96. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
of arbitrary order, Kiev: Naukova- Dumka (in Russian).
[59] Mitropolski IA, Dao NV (1997), Applied asymptotic methods in nonlinear oscillations, Springer- Science +Business Media, B.V. Doi 10.1007/978-94-
015-8847-8.
[60] Muscolino G, Riccardi G, Vasta M. (1997), “Stationary and non-stationary probability density function for non-linear oscillator”, Int J Non-Linear Mechanics, 32(6), pp. 1051–64.
[61] Narayanan S, Kumar P (2012), “Numerical solutions of Fokker-Planck equation of nonlinear systems subjected to random and harmonic excitations”,
Probabilistic Engineering Mechanics, 27, pp. 35-46.
[62] Nayfeh AH, Serhan SJ (1990), “Response statistics of nonlinear systems to combined deterministic and random excitations”. Int. J. Nonlinear Mechanics, 25 (5), pp. 493-509.
[63] Nayfeh AH, Mook DT (1995), Nonlinear oscillations, Wiley-Interscience. [64] Oksendal B (2000), Stochastic Differential Equations - An introduction with
Application, Springer.
[65] Ramakrishnan V, Brian FF (2012), “Resonances of a forced Mathieu equation with reference to wind turbine blades”, J. Vib. Acoust., 134(6).
[66] Rayleigh JWS (1877), The Theory of Sound, reprinted by Dover, New York
1945.
[67] Roberts J B (1986), “First passage probabilities for randomly excited systems: Diffusion methods”, Probab. Eng. Mech. 1, pp. 66-81
[68] Roberts JB, Spanos PD (1999), Random Vibration and Statistical Linearization, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.
[69] Roberts JB, Spanos PD (1986), “Stochastic averaging: An approximate method of solving random vibration problems”, Int. J. Nonlinear mechanics;
21(2), pp. 111-134.
[70] Ruby L (1996), “Applications of the Mathieu equation”, Am. J. Phys., Vol. 64, No. 1, pp. 39-44.
[71] Socha L, Soong TT (1991), “Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems”, Appl. Mech. Rev., 44, pp. 399-422.
[72] Socha L (1998), “Probability density equivalent linearization technique for nonlinear oscillator with stochastic excitations”, Z. Angew. Math. Mech., 78,
pp. 1087-1088.
[73] Socha L (2008), Linearization Methods for Stochastic Dynamic System,
Lecture Notes in Physics. Springer, Berlin.
dynamic system to random excitations”, Comput. Struct. 13, pp.371-376. [75] Spanos P, Lutes LD (1987), “A primer of random vibration techniques in
structural Engineering”, Shock Vib. Dig., 19(4), pp. 3-9.
[76] Stratonovich RL(1963), Topics in the Theory of Random Noise. Vol. I, II
(1967), New York: Gordon and Breach.
[77] Von Wagner U, Wedig WV (2000), “On the calculation of stationary solution of multi-dimensional Fokker-Planck equations by orthogonal functions”,
Nonlinear Dynamics, 21, pp. 289-306.
[78] Xie WX, Xu W, Cai L (2006), “Study of the Duffing-Rayleigh oscillator subject to harmonic and stochastic excitations by path integration”, Applied Mathematics and Computation, 172, pp. 1212-1224.
[79] Yu JS, Lin YK (2004), “Numerical path integration of a nonlinear oscillator subject to both sinusoidal and white noise excitations”, Int. J. Non-Linear Mechanics, 37, pp. 1493-1500. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[80] Zhu WQ, Yu JS (1987), “On the response of the Van der Pol Oscillator to white noise excitation”, J. Sound and Vibration, 117(3) 421-431.
[81] Zhu WQ (1988), “Stochastic averaging methods in random vibrations”, Appl. Mech. Rev. 41, pp. 189-199.
[82] Zhu WQ, Huang ZL, Suzuki Y (2001), “Response and stability of strongly non-linear oscillators under wide-band random excitation”, Non-Linear Mechanics, 36, pp. 1235-1250.
[83] Zhu WQ, Wu YJ (2003), “First passage time of Duffing oscillator under combined harmonic and white noise excitations”, Nonlinear Dynamics, 32, pp. 291-305.
Trang web và phần mềm:
[84] John MC (2010), Probability Density Functions , www.mne.psu.edu/me345/ Lectures/Probability_density_functions.pdf .
[85] Laurence CE (2002), An introduction to stochastic differential equations
(version 1.2), Department of Mathematics, UC Berkeley (math.berkeley.edu/ ~evans/SDE.course.pdf).
[86] Jonathan MB, Matthew PS (2011), An Introduction to Modern Mathematical
Computing With Maple™, Springer.
[87] Jaan Kiusalaas (2010), Numerical methods in engineering with Matlab
PHỤ LỤC
Phụ lục A. Xây dựng và giải hệ phương trình phi tuyến cho các hệ
số tuyến tính hoá
Chương trình Maple tính các hệ số tuyến tính hoá theo các mô men của a1 và a2 (để
tránh nhiều chỉ số, trong các chương trình dưới đây luận án dùng ký hiệu b và d thay cho a1 và a2).
---