Chương này đã trình bày áp dụng kỹ thuật phân tích được đề xuất trong luận án cho các hệ dao động phi tuyến Van der Pol (đại diện cho lớp dao động có hệ số cản phi tuyến), Duffing (đại diện cho lớp dao động có độ cứng phi tuyến), Van der Pol- Duffing (đại diện cho lớp dao động có hệ số cản phi tuyến độ cứng phi tuyến) và hệ
Mathieu- Duffing (đại diện cho lớp dao động kích động thông số và có độ cứng phi tuyến). Đối với từng hệ, tại thời điểm t cho trước, ta có thể tính được:
- Xấp xỉ hàm mật độ đồng thời theo các biến dịch chuyển x t( ) và vận tốc
( )
x t& .
- Xác định được hàm mật độ cho đáp ứng tại thời điểm bất kỳ. - Các đặc trưng trung bình và trung bình bình phương của đáp ứng.
Qua đó ta có thể phân tích được ảnh hưởng của các tham số hệ lên đáp ứng. Bên cạnh
đó, kết quả tính trung bình bình phương đáp ứng theo lý thuyết ởđây được so sánh với kết quả mô phỏng số bằng phương pháp Monte-Carlo. Kết quả so sánh cho thấy kỹ
thuật được đề xuất cho dự báo tốt cho trung bình bình phương đáp ứng của hệ dao
động đang xét.
Các kết quả phân tích trong chương này được công bố trong các tạp chí Probabilistic Engineering Mechanics, tạp chí Cơ học Việt Nam, tạp chí Khoa học Đại học quốc gia Hà Nội chuyên san Toán- Vật lý và các Hội nghị chuyên ngành Cơ học.
Để ý, hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn là hệ rất khó phân tích, và nó có ứng xử mà đến nay vẫn cần được nghiên cứu. Do vậy, các phân tích trong chương này có thể không đúng với các tham số đầu vào khác. Bên cạnh đó, với hệ ngẫu nhiên, theo lý thuyết xác suất, ta chỉ có thể xây dựng ước lượng
điểm (thường là ước lượng không chệch) hoặc khoảng tin cậy cho nghiệm tại thời
điểm nào đó. Do đó, cho đến nay, việc nghiên cứu và đưa ra phạm vi áp dụng phương pháp tuyến tính hoá tương đương ngẫu nhiên vẫn chỉ dừng ở kinh nghiệm, đó là phương pháp này chỉ phù hợp cho hệ phi tuyến yếu và chịu kích động yếu.
Vì chủ yếu được dựa trên hai phương pháp kinh điển (trung bình ngẫu nhiên và tuyến tính hoá tương đương ngẫu nhiên) và phương trình FP với các hệ số dịch chuyển phi tuyến được giải xấp xỉ qua phương trình FP có các hệ số dịch chuyển tuyến tính mà không gặp trở ngại gì nên kỹ thuật phân tích được đề xuất trong chương này còn cho thấy có khả năng áp dụng vào các hệ phi tuyến dạng khác. Áp dụng cho phân tích
đáp ứng thứ điều hoà trong chương 4 dưới đây là một thí dụ cho tiềm năng của kỹ
CHƯƠNG 4.
PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨĐIỀU HÒA
TRONG HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG
NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN
4.1. Giới thiệu
Trong chương này, luận án trình bày nghiên cứu đáp ứng thứđiều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing. Đây là hệ được dùng làm mô hình cho rất nhiều hệ cơ học,
đã thu hút rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu và được coi như là một mô hình phi tuyến kinh điển. Từ nhiều năm trước, khi nghiên cứu hệ Duffing chỉ chịu kích động bởi lực tuần hoàn, các nhà khoa học đã phát hiện ra hiện tượng đáp ứng thứđiều hòa và hiện tượng này đã được mô tả trong nhiều sách (Nayfeh và Mook, 1995; Mitropolski và Nguyễn Văn Đạo, 1997; Kelly, 2012; Davies và Rajan, 1988) và các nghiên cứu (Dimentberg và cs., 1998; Haiwu và cs., 2009; Li và Yao, 2013). Chẳng hạn, Haiwu và cs. (2009)đã nghiên cứu ảnh hưởng của các thành phần cản, cường độ
phi tuyến, độ lệch tần và cường độồn trắng lên đáp ứng thứđiều hòa của hệ dao động dạng Duffing chịu kích động của một quá trình ồn trắng bị chặn bằng phép đổi biến Zhuravlev và phương pháp trung bình. Phân tích cho thấy đỉnh biên độ có thể giảm mạnh khi độ lệch tần lớn hoặc độ cứng phi tuyến lớn. Khi cường độ ngẫu nhiên tăng,
đáp ứng ổn định có thể thay đổi từđường tới hạn sang đường tới hạn phân tán, và thậm chí đổi sang hỗn độn.
Khi hệ chịu đồng thời kích động ngoài là lực tuần hoàn và lực ngẫu nhiên, dù
đáp ứng của dao động ngày càng được nhiều nhà khoa học nghiên cứu (chẳng hạn như Huang và cs., 2000; Narayanan và Kumar, 2012), nhưng theo tìm hiểu của tác giả, có khá ít kết quả nghiên cứu về đáp ứng thứ điều hòa của nó. Do đó, trong nghiên cứu này, tác giả dùng kỹ thuật đã được đề xuất trong phần đầu chương 3 để nghiên cứu sơ
tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên. Cũng như các phân tích trong chương 3, các phân tích lý thuyết được kiểm chứng qua kết quả mô phỏng số thu được bằng phương pháp Monte-Carlo.
Luận án trình bày nghiên cứu này trong chương riêng (không gộp vào chương 3, là chương chỉ tập trung phân tích dao động của hệ trong miền cộng hưởng chính) vì khi phân tích đáp ứng thứđiều hoà (ởđây, tần số tự nhiên gần với 1/3 tần số kích động ngoài), các tính toán ban đầu cần có sựđổi biến đểđưa phương trình đang xét về dạng có thể áp dụng được kỹ thuật phân tích dao động mà luận án đề xuất.