2 Mô hình hiệu quả ngẫu nhiên
2.2.1Mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính
Bây giờ chúng ta sẽ xét các hàm hồi quy điều kiện có dạng
E(yit/αi) = αi1zit,1+αi2zit,2+· · ·+αiqzit,q +β1xit,1+β2xit,2 +· · ·+βKxit,K
= zit′αi+x′itβ
2.2. Mô hình hiệu quả hỗn hợp 20 trong đó số hạng z′
itαi, αi = (αi1,· · · , αiq) chứa thành phần hiệu quả ngẫu nhiên; số hạng x′
itβ chứa thành phần hiệu quả cố định.
Định nghĩaZi = (zi1, zi2,· · · , ziTi) là ma trận các biến giải thích mức Ti×q. Khi đó dạng ma trận của phương trình (2.2.1) là
E(yit/αi) = Ziαi+Xiβ. (2.2.2) Giả sử rằng các hiệu quả đặc trưng đối tượng {αi} độc lập với trung bình
Eαi = 0 và ma trận hiệp phương sai (mức q×q) V arαi = D xác định dương. Với giả thiết này thì các hiệu quả ngẫu nhiên có trung bình 0 và ta định nghĩa
V ar(yi/αi) = Ri, ma trận mức Ti×Ti. Các cột của ma trận Zi thường là tập con của ma trậnXi. Với các giả thiết này, chúng ta gọi mô hình (2.2.2) là mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính.
Các giả thiết của mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính R1. E(yit/αi) =Ziαi+Xiβ.
R2. {xit,1,· · · , xit,K} và {zit,1,· · · , zit,q}là các biến không ngẫu nhiên.
R3. V ar(yi/αi) =Ri
R4. {yi} là các biến ngẫu nhiên độc lập đối với điều kiện {α1, α2,· · · , αn}.
R5. {yi} có phân bố chuẩn đối với điều kiện {α1, α2,· · · , αn}.
R6. Eαi = 0, V arαi = D và {α1, α2,· · · , αn} độc lập. R7. {αi} có phân bố chuẩn.
Với các giả thiết R3 - R6, phương sai của mỗi đối tượng có thể được biểu diễn như sau
V aryi =E(V ar(yi/αi)) +V ar(E(yi/αi)) =ZiDZi′+Ri
2.2. Mô hình hiệu quả hỗn hợp 21 trong đó Vi(τ) là ma trận hiệp phương sai của yi, phụ thuộc vào các thành phần phương sai τ.