Trong bài toỏn này giỳp HS một số kết quả khai thỏc từ một bài toỏn để HS hiểu được rừ quỏ trỡnh tạo lập bài toỏn mới từ bài toỏn ban đầu, tỡm được nguồn gốc của bài toỏn và bước đầu làm quen và tập dượt sỏng tạo toỏn học. Trước hết ta hóy xột một bài toỏn hết sức quen thuộc.
A B C E M D D' M' E' F A P' Q' Q M P K F E' M' D' F' K' B C x y
Bài toỏn 20. Cho tam giỏc ABC và điểm I trong tam giỏc đú. Cỏc
đường thẳng AI, BI, CI cắt cỏc cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. CMR: IA ' IB' IC' 1
AA 'BB' CC' (1)
Lời giải. Gọi S1, S2, S3, S là diện tớch cỏc tam giỏc IBC, ICA, IAB và ABC theo thứ tự. Khi đú ta cú cỏc hệ thức về tỉ số diện tớch 1 1 2 3 2 IA ' h S IB' S IC' S ; ; AA ' h S BB' S CC' S . Vậy IA' IB' IC' S1 S2 S3 1
AA' BB' CC' S (đpcm) Từ (1) cú IA IB IC AA ' BB' CC' 3 IA ' IB' IC' 2 AA ' BB' CC' Vậy IA IB IC 2 AA'BB'CC' (2) a) Vận dụng cỏc hệ thức về tỉ số diện tớch và cỏc bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovski dễ chứng minh được lần lượt cỏc kết quả sau:
AA ' BB' CC' 9 IA ' IB' IC' (3) IA IB IC 6 IA ' IB' IC' (4) IA ' IB' IC' 3 IA IB IC 2 (5) Từ (4) và (5) rỳt ra IA IB IC, ,
IA ' IB' IC' khụng lớn hơn 2; khụng cựng nhỏ hơn 2. (6)
AA ' BB' CC' 9
IA IB IC 2 (7) IA IB IC. . 8 IA' IB' IC'
(8)
AA ' BB' CC'
. . 27
IA' IB' IC' (9) AA ' BB' CC'. . 27 IA IB IC 8 (10)
Ngoài cỏc bất đẳng thức từ (1) đến (10) chỳng ta cũn cú cỏc kết quả sau với n là số nguyờn dương.
A B C B' C' I K A' H ha h1
n n IA n IB n IC
3 2
IA ' IB' IC' (11). Dễ dàng chứng minh tiếp cỏc bất đẳng thức cũn lại.
b) Ta cú thể mở rộng bài toỏn nờu trờn sang khụng gian bằng phương phỏp tương tự. Bài toỏn trong khụng gian được chứng minh nhờ ỏp dụng hệ thức tỉ số thể tớch giống như việc ỏp dụng hệ thức tỉ số diện tớch trong hỡnh học phẳng. Cỏch làm này gúp phần rốn luyện kỹ năng chuyển húa cỏc tớnh chất hỡnh học giữa mặt phẳng và khụng gian, từ đú thấy được mối liờn hệ khăng khớt giữa hai loại bài toỏn hỡnh học này.
2.3. Biện phỏp 3: Tăng cƣờng tổ chức cho HS tự học, tự nghiờn cứu, tổ chức cỏc buổi Seminar cho cỏc em HS trong phạm vi một lớp học và tổ chức cỏc buổi hội thảo giữa cỏc HS của cỏc lớp khỏc nhau
2.3.1. Tăng cường tổ chức cho HS tự học, tự nghiờn cứu
“Phương phỏp giỏo dục phải coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiờn cứu, tạo điều kiện cho người học phỏt triển tư duy sỏng tạo, rốn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiờn cứu, thực nghiệm, ứng dụng”. [14]
Như vậy, phương phỏp dạy và học cần thực hiện theo ba định hướng: - Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiờn cứu.
- Tạo điều kiện cho người học phỏt triển tư duy sỏng tạo.
- Rốn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiờn cứu, ứng dụng.
- Trong quỏ trỡnh học tập bao giờ cũng cú tự học, nghĩa là tự mỡnh lao động trớ úc để chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường cú nhiều lỳng tỳng nhưng chớnh những lỳng tỳng đú lại là động lực thỳc đẩy HS tư duy để thoỏt khỏi “lỳng tỳng”, nhờ vậy mà thành thạo lờn, và đó thành thạo thỡ hay đặt những dấu hỏi, phỏt hiện vấn đề và từ đú đi đến cú đề tài nghiờn cứu.
- Việc nghiờn cứu khoa học dĩ nhiờn tỏc động trở lại việc học và cú phỏt triển tự học lờn đến nghiờn cứu khoa học thỡ mới cú thực tiễn để hiểu sõu mối quan hệ giữa tư duy độc lập và tư duy sỏng tạo.
a) Cỏc bước của quỏ trỡnh tự học
- Xỏc định yờu cầu, kế hoạch (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Làm rừ nhiệm vụ và mục đớch của việc tự học: để làm tốt việc này giỳp HS nắm vững nội dung học cỏi gỡ và học để làm gỡ?
+ Xõy dựng kế hoạch tự học: Muốn vậy cần phải xỏc định nội dung trọng tõm kiến thức cần phải học để cú thể xõy dựng kế hoạch học tập mang tớnh khả thi và cú hiệu quả.
- Thu thập tài liệu liờn quan đến nội dung kiến thức
+ Đõy là cụng việc hết sức quan trọng đũi hỏi người GV phải thể hiện rừ trong kế hoạch thực hiện chương trỡnh chi tiết; những nội dung GV trỡnh bày, những nội dung mà HS phải nghiờn cứu, thảo luận và tổ chức Seminar, đồng thời giới thiệu cho HS nắm và tỡm hiểu cỏc tài liệu cú liờn quan.
+ Cỏc hỡnh thức tổ chức thực hiện để đảm bảo nõng cao chất lượng tiếp nhận thụng tin, đồng thời vận dụng thụng tin để giải quyết cỏc vấn đề đặt ra trong mục tiờu mụn học và cú kế hoạch kiểm tra đỏnh giỏ.
- Trỡnh bày, thể hiện kết quả của việc tự học, tự nghiờn cứu
Việc trỡnh bày kết quả tự học, tự nghiờn cứu giỳp HS cú cỏch nhỡn khỏi quỏt về những nội dung, kiến thức đó nghiờn cứu đồng thời rốn luyện khả năng trỡnh bày khoa học, chặt chẽ.
b) Cỏc vớ dụ
- VD 1. Khi dạy xong lý thuyết về tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc. Trong tiết luyện tập, tỏc giả cho HS lớp 8 chuyờn Toỏn rốn luyện năng lực tư duy thụng qua việc khai thỏc cỏc bài toỏn nhằm rốn luyện khả năng phỏt triển tư duy sỏng tạo cho HS, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn. Sau đõy là một số bài toỏn minh họa:
Bài toỏn 21. (bài toỏn gốc). Cho gúc xOy và một điểm I cố định trờn tia phõn giỏc Ot. Đường thẳng d thay đổi luụn đi qua điểm I, cắt cỏc tia Ox, Oy lần lượt tại M, N. CMR: giỏ trị của
biểu thức 1 1
OM ON là hằng số:
Lời giải: Dựng hỡnh thoi ODIE với D, E thuộc Ox, Oy tương ứng. Lỳc đú cỏc điểm D, E cố định và OD = a khụng đổi. O N M I E D d y t x
Ta cú: a a IE ID IN IM 1 OM ON OM ON MN MN 1 1 1 OM ON a (đpcm).
Sau khi nờu cỏch giải này, hầu hết cỏc em HS đều nắm được. Tuy nhiờn, tỏc giả đặt ra cõu hỏi với tất cả HS yờu cầu cỏc em phải tư duy để tỡm lời giải cho bài toỏn khi khỏi quỏt húa lờn với trường hợp xột điểm I nằm trong gúc xOy.
Bài toỏn 22. Cho gúc xOy và một điểm I cố định nằm trong gúc đú. Đường thẳng d thay đổi luụn đi qua điểm I, cắt cỏc tia Ox, Oy lần lượt tại M, N. Lấy điểm D, E trờn cỏc tia Ox, Oy sao cho ID // Oy và IE // Ox. Đặt OD =
a, OE = b. CMR: a b 1. OM ON
Với bài toỏn này thỡ nhiều HS sẽ lỳng tỳng nhưng khi thấy D, E cố định nờn a, b khụng đổi thỡ HS Tạ Hà Nguyờn (lớp 8C của khối THCS, trường THPT chuyờn Hà Nội Amsterdam) đó chứng minh tương tự bài toỏn 21.
Tiếp tục cho điểm I chuyển từ miền trong gúc xOy ra miền ngoài gúc đú ta cú bài toỏn.
Bài toỏn 23. Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại điểm O. Một
điểm I cố định nằm ngoài cỏc gúc xOy, x’Oy’. Đường thẳng d thay đổi luụn đi qua điểm I, cắt cỏc tia Ox, Oy lần lượt tại M, N. Lấy cỏc điểm D, E trờn cỏc đường thẳng x’x, y’y sao cho ID // y’y và IE // x’x. Đặt OD = a, OE = b. Chứng minh rằng a b
OMON luụn là hằng số.
Chứng minh tương tự cỏc bài toỏn trờn, chỳ ý rằng nếu điểm I nằm trong gúc x’Oy thỡ a b OM ON= -1, cũn nếu điểm I nằm trong gúc y’Ox thỡ a b OM ON= 1. O N E I D x x' y y' d M
Một cỏch biến đổi bài toỏn là xột mệnh đề đảo của cỏc bài toỏn 22 và 23. Để làm giảm mức độ phức tạp của giả thiết cú thể chuyển việc xột biểu thức chứa hai tham số a, b về biểu thức chứa một tham số k = b
a như sau.
Bài toỏn 24. Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau tại điểm O. Đường thẳng d thay đổi cỏt cỏc tia Ox, Oy lần lượt tại M, N. Nếu tồn tại số k sao cho 1 k
OM ON luụn bằng một hằng số khỏc 0 thỡ đường thẳng d luụn đi qua một điểm cố định.
Lời giải: Giả sử 1 k 1 OM ON a
- TH1: Xột trường hợp k > 0, lỳc đú a > 0. Dựng điểm D trờn tia Ox sao cho OD = a thỡ OD < OM. Kẻ DI // Oy và cắt đoạn thẳng MN tại I. Lấy điểm E trờn tia Oy sao cho OE = ID thỡ ODIE là hỡnh bỡnh hành. Chứng minh tương tự cỏc bài toỏn 21, 22 ta cú OD OE 1 1 OE 1
OM ON OM OD.ON OD. Từ đú và giả thiết suy ra OE k OE k.OD k.a 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
OD . Vậy D, E đều là điểm cố định nờn I là điểm cố định nằm trong gúc xOy.
- TH2: Với trường hợp k < 0. Cần xột a > 0 hoặc a < 0. HS dễ dàng chứng minh được.
- TH3: Với k = 0 thỡ M là điểm cố định cần tỡm. Chỳ ý rằng khi 1 k 0
OMON thỡ ON k
OM nờn cỏc đường thẳng d song song với nhau.
Ta lại cú thể thay đổi giả thiết bằng cỏch xột một điểm cố định nằm trong ba gúc trong của một tam giỏc.
Bài toỏn 25. Cho tam giỏc ABC với I là tõm đường trũn nội tiếp. Đường thẳng d thay đổi luụn đi qua điểm I, cắt cỏc cạnh AB, AC và tia CB lần lượt tại M, N và P. CMR: giỏ trị biểu thức AB AC BC
AM.BM AN.CNBP.CP là khụng đổi.
A B C I K E S G F NR P M
Lời giải: Dựng cỏc hỡnh thoi AGIK, BEIF, CRIS do BMP FMIMBIIBEBIFFIM BPM
BP BM
Đặt AG = m, BE = p, CR = n. Theo bài toỏn 22, 23 ta cú:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, ,
AM AN m CN CP n BM BP p
Cộng cỏc hệ thức này theo từng vế rồi biến đổi ta cú đpcm. Đặc biệt húa bài toỏn 25 ta cú bài toỏn 26.
Bài toỏn 26. Với giả thiết của bài toỏn 5, trong tam giỏc ABC đều,
cạnh bằng a, CMR: a) 1 1 1 92
AM.BM AN.CN BP.CP a
b) 12 12 12 182
IM IN IP a
Bài toỏn này dễ dàng chứng minh. Tiếp tục khai thỏc thờm cỏc bài toỏn mới.
- VD 2. Kết quả này được thực hiện với đội dự tuyển HS giỏi (khối THCS của trường THPH Chuyờn Hà Nội Amsterdam). Tỏc giả đó chia lớp làm 2 nhúm:
Nhúm 1 gồm cỏc em: Tạ Hà Nguyờn, Hoàng Minh Tuệ, Cao Hải Nam. Nhúm 2 gồm cỏc em: Đỗ Hoàng Long, Tụn Hiền Anh, Nguyễn Thỏi Lõm. Tỏc giả đó giao nhiệm vụ cho 2 nhúm tỡm cỏc lời giải cho cỏc bài toỏn trong cỏc kỡ thi HS giỏi cấp quận và thành phố, HMO, IMO.
Bài toỏn cho nhúm 1 (bài toỏn 27): Cho tam giỏc ABC và điểm J là tõm đường trũn bàng tiếp trong gúc A của tam giỏc. Đường trũn này tiếp xỳc với AB, AC, BC tại K, L, M theo thứ tự. LM cắt BJ tại F, KM cắt CJ tại G. Gọi S, T lần lượt là giao điểm của AF, AG với BC. CMR: M là trung điểm của đoạn ST.
Sau 1 tuần nghiờn cứu, cỏc nhúm đó trỡnh bày cỏc kết quả của nhúm mỡnh trước lớp. Mỗi nhúm đó rất nghiờm tỳc nghiờn cứu, tự đọc để tỡm cỏc lời giải khỏc nhau cho bài toỏn của nhúm mỡnh.
Kết quả cụ thể của nhúm 1: Nhúm 1 đó trỡnh bày được 4 lời giải:
Lời giải 1: (Lời giải của mọi HS trong nhúm bằng cỏch chứng minh trực tiếp). Ta cú CJ ML nờn 0 0 0 BAC BAC JFL 90 BJC 90 90 2 2 ,
Suy ra JFL JAL. Từ đú AFJL là tứ giỏc nội tiếp, mà JL AL nờn JF (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
AF.
Tam giỏc SBA cú BF là đường phõn giỏc đồng thời là đường cao (vỡ JF AF) nờn tam giỏc SBA cõn tại B. Suy ra BA = BS.
Tương tự, tam giỏc ATC cõn tại đỉnh C. Suy ra CA = CS.
Mặt khỏc, ta cú AK = KL, BK = BM, CL = CM (tớnh chất tiếp tuyến) nờn AB + BK = AC + CL, suy ra AB + BM = AC + CM.
Do đú SM = SB + BM = AB + BM = AC + CM = CT + CM = MT.
Tức M là trung điểm của đoạn ST.
Lời giải 2: (lời giải của em Hoàng Minh Tuệ)
Phõn tớch: Do JM ST nờn để chứng minh M là trung điểm ST ta cần chứng minh tam giỏc JST cõn ở J.
Chứng minh tứ giỏc AFJL nội tiếp như lời giải 1, mà JL AL nờn JF
AF. J M K L F G A S T B C
Từ đú 0
SFJ SMJ 90 , nờn tứ giỏc SFMJ nội tiếp, suy ra BAC
MSJ JFM JAL 2
. Tương tự ta cú MTJ JAK BAC 2
Vậy MSJ MTJ, mà JM ST nờn tam giỏc JST cõn tại S. Suy ra M là trung điểm của đoạn ST.
Lời giải 3: (Lời giải của em Tạ Hà Nguyờn)
Phõn tớch: Để chứng minh M là trung điểm của ST ta chứng minh MG
là đường trung bỡnh của tam giỏc TAS. Ta vẫn cú BAC
JGK JAK 2
,
nờn tứ giỏc AKJG nội tiếp mà JK AK JG AG.
Xột tam giỏc TCA cú CG là đường phõn giỏc đồng thời là đường cao nờn tam giỏc TCA cõn tại đỉnh C. Từ đú cú GA = GT.
Tương tự ta cú tứ giỏc AFJL nội tiếp, mà JL AL JF = AF. Mặt khỏc, dễ thấy JF GM nờn AF // GM.
Xột tam giỏc AST cú GA = GT, AF // GM. Suy ra MS = MT (đpcm).
Lời giải 4 (Lời giải của em Cao Hải Nam)
Phõn tớch: Dựa vào tớnh chất tiếp tuyến của đường trũn và định lý
Menelaus.
Ta cú JF GM và JG FL, suy ra tam giỏc JFG nhận M là trực tõm nờn JM FG. J M K L F G A S T B C
Mặt khỏc, đường trũn tõm J tiếp xỳc với cạnh BC tại M nờn JM BC, do đú FG // BC. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo định lớ Thales ta cú AG AF
GT FS (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giỏc ABT với cỏt tuyến GMK và tam giỏc ASC với cỏt tuyến FML ta cú:
AG TM BK . . 1 GT BM AK ; AF SM CL. . 1 FS CM AL (2) Từ (1) và (2) và BM = BK, CM = CL, AK = AL ta suy ra TM SM AK AL. Mà AK = AL nờn TM = SM. Vậy M là trung điểm của đoạn ST.
Kết quả cụ thể của nhúm 2: Nhúm 2 đó tỡm và nờu được 3 lời giải:
Bài toỏn cho nhúm 2 (bài toỏn 28). Gọi (O;r) là đường trũn nội tiếp tam
giỏc ABC, M là trung điểm BC. MO cắt đường cao AH của tam giỏc ABC tại I. CMR: AI = r.
Lời giải 1: (Lời giải của em Đỗ Hoàng Long)
Giả sử đường trũn tõm O tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, AB, AC lần lượt tại K, T, V và KE là đường kớnh. Đường thẳng qua E và song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại P và Q thỡ PQ là tiếp tuyến của đường trũn. Tia AE cắt