Một số khỏi niệm và giả thiết ban đầu của thuật toỏn

a) Qui ước về cỏch biểu diễn vật thể

Một vật thể được mụ hỡnh húa trong khụng gian ba chiều thụng thường được biểu diễn bởi cỏc bề mặt đa giỏc là tam giỏc, điều này khụng làm giảm tớnh tổng quỏt bởi vỡ, một đa giỏc bất kỳ đều cú thể chia được thành cỏc tam giỏc nhỏ hơn, núi cỏch khỏc, một đa giỏc luụn là 1 tập của

nhiều tam giỏc. Với qui ước này, từ đõy, khi chỳng ta đề cập đến một mặt đa giỏc đơn lẻ nào đú trong mụ hỡnh biểu diễn thỡ hiểu rằng đú là mặt tam giỏc.

Khỏi niệm vật thể trong khụng gian ba chiều ở đõy do yếu tố cần phải thể hiện được lờn màn hỡnh thực tại ảo nờn mục tiờu biểu diễn vật thể chớnh là việc biểu diễn cỏc bề mặt của vật thể này. Như vậy, chỳng ta cựng qui ước rằng khi núi đến một vật thể cũng đồng nghĩa là núi đến một mặt của đa diện biểu diễn chỳng.

Trong một số trường hợp đặc biệt, trong mụ hỡnh biểu diễn cú thể cú cỏc đỉnh hoặc cạnh khụng thuộc một tam giỏc nào cả, cú một số thuật giải đó được phỏt triển để xử lý và loại bỏ những yếu tố như vậy, thuật toỏn mà ta sẽ trỡnh bày sau đõy coi như vật thể đầu vào chỉ gồm những tam giỏc.

Với cỏc giả thiết nờu trờn, trong thuật toỏn QEM chỳng ta định nghĩa: một đa diện trong khụng gian ba chiều bao gồm cỏc mặt tam giỏc cũn được biểu thị bằng một cặp danh sỏch M = (V,F) trong đú:

V = (vl,v2,v3, .. ,vr): là danh sỏch gồm một dóy thứ tự cỏc đỉnh, mỗi một đỉnh là một vectơ cột vi = [xi, yi, zi]T; (i=1,2,3) trong khụng gian R3 .

F = (f1, f2, f3, .. , fn) : là danh sỏch dóy cú thứ tự cỏc mặt tam giỏc, mỗi

một tam giỏc fi= (i,k,l) là một bộ ba đỉnh cú thứ tự (vi,vk ,vl).

b) Cỏc yờu cầu về giữ nguyờn hỡnh dạng hỡnh học của vật thể (topology preservation)

Xột về mặt hỡnh dạng hỡnh học, cú hai quan niệm trong việc thiết kế cỏc thuật toỏn giảm thiểu đa diện. Quan niệm thứ nhất chỳ trọng tới việc giữ nguyờn hỡnh dạng hỡnh học của vật thể (topology preservation), hai phần rời nhau của vật thể sẽ khụng được chập làm một trong quỏ trỡnh biến đổi cho dự mức độ giảm thớểu rất nhiều. Quan niệm thứ hai, cho phộp cú

sự vi phạm này, nếu hai phần của vật thể gần nhau với một mức độ nào đú, chỳng cú thể chập vào nhau trong quỏ trỡnh thực hiện biến đổi. Thuật giải

QEM thuộc loại thứ hai. Để minh hoạ chỳng ta xem xột vớ dụ ở hỡnh 2.4.

Ta cú 1 vật thể gồm nhiều khối lập phương nhỏ nằm kề sỏt nhau, nếu theo quan niệm thứ nhất, kết quả của quỏ trỡnh biến đổi khụng cho phộp

cỏc khối nhỏ chập vào nhau, kết quả là cỏc khối lập phương nhỏ sẽ bị suy giảm một cỏch độc lập, chỳng sẽ nhỏ đi và tỏch xa nhau ra như hỡnh vẽ. Nếu theo quan niệm thứ hai, chỉ sau vài bước lặp, cỏc khối lập phương sẽ chập và nhau thành một khối hộp duy nhất và chỳng ta cú một kết quả tốt hơn nhiều. Tuy nhiờn, quan niệm thứ nhất cũng thật cần thiết trong một số ứng dụng nhất định đũi hỏi sự chớnh xỏc cao.

a) Vật thể ban đầu b) Giảm thiểu đa diện theo quan niệm thứ nhất

c) Giảm thiểu đa diện theo quan niệm thứ hai

Hỡnh 2.4: Một vật thể gồm nhiều khối hộp đặt sỏt nhau được giảm thiểu theo 2 cỏch

Với quan niệm đú, thuật toỏn QEM cho phộp chập cỏc cỏc phần tỏch rời của vật thể với nhau nếu thoả món một số điều kiện nào đú, và đú chớnh là lý do một cặp đỉnh bị loại bỏ cú thể khụng phải là cạnh của đa diện biểu diễn.

c) Phương phỏp đỏnh giỏ độ xấp xỉ

Như đó trỡnh bày, mục tiờu của những thuật toỏn giảm thiểu đa diện là biến đổi những vật thể ban đầu thành những vật thể đơn giản hơn nhưng

vẫn giữ được hỡnh dạng tương tự như ban đầu. Để đỏnh giỏ được độ tương tự này chỳng ta cần phải cú một đại lượng đo. Giả sử vật thể ban đầu là M và vật thể được biến đổi là M’ ta cần phải xõy dựng một ỏnh xạ :

E : M x M’  R, trong đú E(M,M’) chỉ ra mức độ tương tự giữa M và M’, giỏ trị này càng nhỏ thỡ ta núi M’ càng giống M.

Đại lượng này phải hoàn toàn dựa trờn sự khỏc biệt về hỡnh ảnh của hai vật thể và độc lập với cỏc ứng dụng sử dụng nú. Cú 2 hướng nghiờn cứu đó được phỏt triển.

 Hướng thứ nhất dựa trờn sự khỏc biệt về hỡnh ảnh 2 chiều (image- based metric) được kết xuất ra của hai vật thể, nú dựa trờn sự khỏc biệt trung bỡnh giữa cỏc điểm ảnh của hai ảnh hai chiều.

 Hướng nghiờn cứu thứ hai dựa vào sự tớnh toỏn trờn mụ hỡnh hỡnh học của hai vật thể (shap-based metric); hướng này phổ biến hơn. Chỳng ta cú thể nhận thấy hầu hết cỏc thuật toỏn đều tớnh toỏn sự khỏc biệt giữa cỏc mụ hỡnh dựa trờn cỏc đặc điểm hỡnh học của chỳng.

Chỳng ta sẽ điểm qua cỏc nột chớnh của hai phương phỏp dưới đõy.

c.1) Dựa vào ảnh kết xuất ra

Những hệ thống kết xuất hỡnh ảnh (rendering system) là những hệ thống tớnh toỏn cho ta những hỡnh ảnh 2 chiều cuối cựng của vật thể dựa trờn cỏc mụ hỡnh hỡnh học của vật thể đú. Đõy là một trong những ứng dụng chớnh của đồ hoạ ba chiều. Bởi vỡ, sau tất cả cỏc quỏ trỡnh thiết kế, mụ hỡnh hoỏ vật thể, tụ màu v.v.. cuối cựng chỳng ta vẫn cần cú cỏc hỡnh ảnh để quan sỏt những gỡ đó thiết kế. Nếu coi những hỡnh ảnh 2 chiều đú là đối tượng chớnh để đỏnh giỏ chất lượng của cỏc mụ hỡnh thỡ việc đỏnh giỏ độ xấp xỉ cũng cú thể dựa trờn sự đỏnh giỏ hai ảnh 2 chiều đú. Đõy là ý tưởng chớnh của hướng nghiờn cứu này.

Giả sử hỡnh ảnh của vật thể M dưới gúc quan sỏt ξ được biểu thị bằng một ảnh hai chiều I1ξ mà hệ thống kết xuất ra, chỳng ta coi hai vật thể Ml,

M2 là giống nhau nếu dưới cựng một gúc quan sỏt thỡ hai ảnh I1ξ , I2ξgiống hệt nhau. Nếu giả thiết I1ξ , I2ξlà hai ma trận m x m mà mỗi phần tử của ma trận là giỏ trị màu (R,G,B) của điểm ảnh, khi đú ta cú thể định nghĩa sự khỏc biệt giữa chỳng là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Trong đú:

||I1(u,v)-I2(u,v)|| là độ dài hiệu của hai vectơ RGB: I1(u,v) và I2 (u,v).

Thực chất cú nhiều giải thuật so sỏnh và tớnh khoảng cỏch giữa hai ảnh rất tinh vi và phức tạp. Tuy nhiờn, chỳng ta cú thể thấy cỏch này đơn giản và khỏ phự hợp với cỏc thuật toỏn giảm thiểu đa diện mà chỳng ta sẽ nghiờn cứu ở đõy. Nếu M2 là một xấp xỉ tốt của M1 thỡ giỏ trị phải rất nhỏ và để xỏc định được chớnh xỏc sự khỏc biệt giữa hai mụ hỡnh M1,M2 thỡ ta phảỉ kết hợp nhiều gúc nhỡn ξ .

Hướng tiếp cận này cú một vài ưu điểm nhỏ. Khi chỳng ta biết trước được số lượng hữu hạn cỏc gúc nhỡn ξ sẽ sử dụng, ta cú thể biết trước được cỏc phần thừa, bị che khuất trong cả quỏ trỡnh. Như vậy, cú thể loại bỏ ra khỏi mụ hỡnh vật thể và khụng cần tớnh toỏn cỏc phần này. Chẳng hạn, khi mụ hỡnh hoỏ một chiếc mỏy bay, nếu chỉ quan sỏt từ bờn ngoài thỡ chỳng ta cú thể loại bỏ tất cả cỏc chi tiết phức tạp bờn trong mỏy bay ra khỏi quỏ trỡnh tớnh toỏn.

Tuy nhiờn, cú nhiều nhược điểm xuất hiện khi đi theo cỏch nghiờn cứu này. Trước hết là cú rất ớt ứng dụng cho phộp chỳng ta biết trước được số lượng cỏc gúc nhỡn ξ, nhất là trong cỏc ứng đụng tương tỏc với người sử

dụng. Hơn nữa, hệ thống cũn phải đợi quỏ trỡnh kết xuất ra hỡnh ảnh kết thỳc rồi mới tiến hành so sỏnh được, điều này làm chậm đỏng kể thời gian thực hiện.

|| I1- I2 || =   || I1(u,v) - I2(u,v) || 2 (2.1) m2

1

c.2) Dựa vào độ xấp xỉ hỡnh học

Đõy là một phương phỏp phổ biến nhiều hơn, được sử dụng trong cỏc thuật toỏn giảm thiểu đa diện, nú tiến hành tớnh toỏn độ xấp xỉ đựa trờn mụ hỡnh hỡnh học của hai vật thể.

Bài toỏn này đó được nghiờn cứu từ lõu trong toỏn học, chỳng ta sẽ trỡnh bày qua ở đõy để làm cơ sở cho cỏc tớnh toỏn trờn cỏc mụ hỡnh hỡnh học về sau.

Cú hai dạng đo xấp xỉ sẽ được trỡnh bày ở đõy, đú là dạng L2 và dạng L∞.

Giả sử ta cú hàm số thực f(t) và một hàm xấp xỉ của nú là g(t) trong một khoảng đúng [a, b] nào đú. Ta định nghĩa L∞ đo bởi giỏ trị khỏc nhau lớn nhất giữa hai hàm trong đoạn [a,b]

|| f - g|| ∞ = max| f(t) - g(t)| (2.2)

Trong khi đú L2đo bởi giỏ trị khỏc biệt trung bỡnh giữa hai hàm trong đoạn [a,b] :

Độ đo L∞ được xem như chặt hơn, nú đảm bảo được sự chớnh xỏc giữa hai hàm và đặc biệt được dựng trong cỏc ứng dụng cú đũi hỏi về cỏc giỏ trị biờn. Tuy nhiờn, sẽ là dễ bị nhầm trong những trường hợp cú nhiễu. Trong khi đú L2 bớt chặt hơn vỡ nú sử dụng giỏ trị sai số trung bỡnh, nú cho kết

quả tốt nếu nhỡn trờn toàn cục của đoạn [a,b]. Nhưng khi mà sự sai khỏc chỉ là cục bộ thỡ nú khụng phỏt hiện được.

Cú thể tớnh toỏn độ xấp xỉ (về khoảng cỏch) giữa hai mặt hỡnh học dựa trờn cỏc ý tưởng về hàm xấp xỉ ở trờn. Chỳng ta cú định nghĩa sau :

b  a dt t g t f() ()) . ( 2 || f - g||2 = (2.3)

Gọi p(M) là tập cỏc điểm của mặt M, khi đú khoảng cỏch từ một điểm

v tới mặt M được định nghĩa là giỏ trị nhỏ nhất từ v tới cỏc điểm thuộc

p(M):

Khi đú, ta cú một định nghĩa về khoảng cỏch giữa hai mặt rất giống với L∞ là:

Một định nghĩa về độ đo khỏc tương tự như L2là

Trong thực tế, số lượng điểm trong một mặt là vụ hạn nờn khụng thể tớnh toỏn được hai đại lượng theo cụng thức trờn. Tuy nhiờn, dường như là cỏc mặt trong khụng gian cũng được mụ hỡnh hoỏ thụng qua một số điểm đặc trưng nào đú. Vớ dụ cỏc đỉnh của một mặt được mụ hỡnh hoỏ bởi cỏc tam giỏc. Khi đú hai cụng thức trờn trở thành :

và

Trong đú, X1 và X2 là tập cỏc điểm đặc trưng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

(2.4) dv (M) = min || v - w ||

wP (M)

Emax = max(max dv (M2), max dv (M1)

wP (M1) wP (M2)

(2.5)

(2.6)

(2.7)