Phương pháp B-reps chung nhất thường dùng để biểu diễn các đối tượng ba chiều là dùng một tập hợp các mặt đa giác xác định bề mặt của đối tượng. Rất nhiều hệ thống đồ họa lưu trữ các đối tượng như là một tập hợp các mặt đa giác. Với cách biểu diễn này ta có thể đơn giản hóa việc biểu diễn và tăng tốc độ hiển thị các đối tượng bởi vì tất cả các bề mặt đều được mô tả bởi các phương trình tuyến tính. Vì lí do này, mô tả các đối tượng thông qua các mặt đa giác thường được dùng cho các đối tượng đồ họa cơ sở.
Trong một số trường hợp, ta chỉ có một khả năng chọn lựa là sử dụng biểu diễn đa giác. Tuy nhiên, một số hệ thống đồ họa còn cho phép các khả năng biểu diễn khác ví dụ như bằng các mặt cong spline.
Biểu diễn bằng mặt đa giác của các đa diện cho chúng ta một định nghĩa chính xác về các đặc tính của các đối tượng này. Nhưng đối với những đối tượng khác ta chỉ nhận được một biểu diễn gần đúng. Hình 1.13 cho chúng ta biểu diễn một hình trụ như là một tập hợp các mặt đa giác. Biểu diễn dạng wireframe cho phép chúng ta hiển thị đối tượng rất nhanh. Khi cần thể hiện đối tượng thực hơn, ta có thể dùng kĩ thuật tạo bóng nội suy (interpolating shading).
Biểu diễn bằng bảng đa giác
Ta biểu diễn một mặt đa giác bằng một tập hợp các đỉnh và các thuộc tính kèm theo. Khi thông tin của mỗi mặt đa giác được nhập, dữ liệu sẽ được điền vào trong các bảng sẽ được dùng cho các xử lí tiếp theo, hiển thị và biến đổi. Các bảng dữ liệu mô tả mặt đa giác có thể tổ chức thành hai nhóm: các bảng hình học và các bảng thuộc tính. Các bảng lưu trữ dữ liệu hình học chứa tọa độ của các đỉnh và các tham số cho biết về định hướng trong không gian của mặt đa giác. Thông tin về thuộc tính của các đối tượng chứa các tham số mô tả độ trong suốt, tính phản xạ và các thuộc tính texture của đối tượng.
Một cách tổ chức thuận tiện để lưu trữ các dữ liệu hình học là tạo ra ba danh sách: một bảng lưu đỉnh, một bảng lưu cạnh và một bảng lưu đa giác. Các giá trị tọa độ cho mỗi đỉnh trong đối tượng được chứa trong bảng lưu đỉnh. Bảng cạnh chứa các con trỏ trỏ đến bảng đỉnh cho biết đỉnh nào được nối với một cạnh của đa giác. Và cuối cùng, bảng lưu đa giác chứa các con trỏ trỏ tới bảng lưu cạnh cho biết những cạnh nào tạo nên đa giác.
Ngoài ra, ta cũng có thể thêm một số thông tin bổ sung vào các bảng trên để xử lí nhanh hơn khi cần truy xuất thông tin. Ví dụ, ta có thể thêm một con trỏ từ một cạnh đến các đa giác chứa nó. Tương tự, ta có thể thêm thông tin trong bảng lưu đỉnh để biết những cạnh nào kề với một đỉnh cho trước ….
Vì các bảng lưu thông tin về đối tượng có thể rất phức tạp nên việc kiểm tra tính đúng đắn và đầy đủ của dữ liệu là rất quan trọng.
Phương trình mặt phẳng
Để thực hiện việc hiển thị một đối tượng ba chiều, ta phải xử lí dữ liệu nhập thông qua một quy trình gồm nhiều bước. Trong một số bước này, đôi khi ta cần thông tin về định hướng của đối tượng và cả thông tin về định hướng của từng mặt của đối tượng trong không gian. Những thông tin này có thể lấy được thông qua tọa độ của các đỉnh và phương trình mô tả các mặt đa giác của đối tượng.
Phương trình biểu diễn mặt phẳng có dạng:
0
Ax By Cz D (1.1)
trong đó ( , , )x y z là một điểm bất kì của mặt phẳng và A, B, C, D là các hằng số diễn tả thông tin không gian của mặt phẳng. Như đã biết, để xác định phương trình mặt phẳng, ta chỉ cần biết ba điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng này. Như vậy, để xác định phương trình mặt phẳng qua một đa giác, ta sẽ sử dụng tọa độ của ba đỉnh đầu tiên ( ,x y1 1), (x y2, 2), ( ,x y3 3) trong đa giác này. Từ (1.1) ta có:
0
k k k
Ax By Cz D , k 0,1, 2,3 (1.2)
Dùng quy tắc Cramer, ta có thể xác định A, B, C, D theo công thức:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 , 1 1 1 1 1 , 1 y z x z A y z B x z y z x z x y x y z C x y D x y z x y x y z (1.3)
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A y z z y z z y z z B z x x z x x z x x C x y y x y y x y y D x y z y z x y z y z x y z y z (1.4)
Hướng của mặt phẳng thường được xác định thông qua vector pháp tuyến của nó. Vector pháp tuyến n ( , , )A B C , trong đó A, B, C là các hệ số của phương trình mặt phẳng ta vừa tính trong (1.4).
1.14 Vector pháp tuyến của mặt phẳng
Vì ta thường làm việc với các mặt bao quanh đối tượng nên ta cần phân biệt hai mặt của mặt phẳng. Mặt tiếp giáp với phần bên trong của đối tượng ta gọi là mặt trong, mặt kia là mặt ngoài. Nếu các cạnh của đa giác được mô tả theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, vector pháp tuyến của mặt phẳng sẽ hướng từ trong ra ngoài (giả sử hệ tọa độ biểu diễn đối tượng là hệ tọa độ bàn tay phải). Ví dụ, trong hình 1.15, vector pháp tuyến của mặt phải của khối lập phương đơn vị (mặt được tô) có phương trình mặt phẳng là x-1=0 và có vector pháp tuyến tương ứng là (1,0,0);
Phương trình mặt phẳng còn có thể dùng để xác định vị trí tương đối giữa một điểm trong không gian với mặt phẳng. Nếu điểm P(x,y,z) không nằm trên mặt phẳng, lúc đó ta có:
Ax + By + Cz + D <> 0
Ta có thể xác định P nằm ở phía trong hay nằm phía ngoài của mặt phẳng nhờ vào dấu của biểu thức Ax + By + Cz + D:
Nếu Ax + By + Cz + D < 0, điểm P(x,y,z) nằm trong.
Nếu Ax + By + Cz + D > 0, điểm P(x,y,z) nằm ngoài.
Dấu hiệu kiểm tra trên đúng cho hệ tọa độ bàn tay phải và phương trình mặt phẳng được tính từ tọa độ các đỉnh đa giác cho theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Đôi khi, sẽ rất hữu ích nếu ta khảo sát các đường và mặt thông qua phương trình tham số của nó.
Phương trình tham số của một mặt là một phương trình có hai tham số u, v. Một điểm bất kì trên mặt sẽ có tọa độ được biểu diễn dưới dạng vector tham số : p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Với mỗi cặp giá trị (u, v) ta sẽ có một bộ các tọa độ (x, y, z) biểu diễn một điểm trên bề mặt đã cho. Các mặt sẽ được phân biệt với nhau bằng các bộ hàm x(), y(), z() khác nhau.
Để giới hạn không gian của các mặt, thông thường người ta định lại các tọa độ biên sao cho u, v tương ứng biến đổi trong đoạn 0,1 . Ví dụ, một mặt cầu với bán kính r, tâm tại gốc tọa độ có thể biểu diễn bằng các phương trình sau :
x(u, v) = r sin(p u) cos(2p v) y(u, v) = r sin(p u) sin(2p v) z(u, v) = r cos(p u)
Trong đó u, v thay đổi trong đoạn 0,1 .
Một mặt phẳng có thể được xác định bằng một điểm với vector vị trí c và hai vector a, b không cùng phương (xem hình 1.16).
1.16 Minh họa cách xác định mặt phẳng
Nhận xét rằng bất kì điểm nào trên mặt phẳng cũng có thể được biểu diễn bằng một vector tổng sau : p(u, v) = c + au + bv. Đây chính là phương trình tham số của mặt phẳng.
Trong phương trình trên u, v có thể biến đổi trong khoảng ( , ), do đó mặt phẳng sẽ trải dài đến vô tận. Tuy nhiên trong các trường hợp cụ thể ta chỉ muốn dùng một phần của mặt phẳng, một hình bình hành thôi chẳng hạn. Các phần như vậy được gọi là planar patch, lúc đó ta có thể tưởng tượng mặt phẳng như là sự ghép nối của các planar patch này.
Một planar patch được xác định bằng cách giới hạn khoảng biến đổi của các tham số u, v trong phương trình trên. Ví dụ nếu cho u, v biến đổi trong đoạn [0, 1] ta sẽ có một patch như hình vẽ 1.17.
Trong hình vẽ này u, v được biến đổi trong một khoảng không gian gọi là không gian tham số (parametric space), việc ánh xạ tương ứng các giá trị u, v đã được giới hạn trên sẽ tạo ra một patch trong không gian tương ứng gọi là không gian đối tượng.
1.17 Cách tạo ra một patch
Lưới đa giác (polygon meshes)
Một số hệ đồ họa cung cấp một số hàm cho phép mô hình hóa các đối tượng. Một mặt phẳng có thể được diễn tả thông qua một hàm như fillArea. Nhưng khi ta cần lợp nhiều planar patch liên tiếp, dùng các hàm lưới (mesh function) sẽ thuận tiện hơn. Một dạng thông dụng của lưới đa giác là dãy các tam giác (triagle strip). Hàm này vẽ n-2 tam giác kề nhau khi biết n đỉnh. Dạng này của lưới đa giác dùng trong hầu hết các thư viện đồ họa chuẩn hiện nay như OpenGL hay DirectX. Một dạng hàm tương tự là lưới các tứ giác (quardrilateral mesh). Hàm này vẽ một lưới (n-1)x(m-1) tứ giác lồi từ dãy nxm đỉnh.
Khi đa giác được mô tả bởi nhiều hơn ba đỉnh, các đỉnh của nó có thể không đồng phẳng. Điều này có thể dẫn đến các lỗi tính toán. Một phương pháp đơn giản là phân đa giác này thành các tam giác.