4
sin 2 .sin .sin 3
V = R j j a
Lời giải trờn đõy chỉ mới xột đến trường hợp tõm O của hỡnh cầu nằm trong hỡnh chúp và nếu ta chỳ ý rằng OH là một khoảng cỏch nờn OH = -Rcos 2j >0
0 45 j
ị > thỡ đỏp số trờn đõy chỉ đỳng cho trường hợp gúc j>450 mà thụi. Do đú ta phải xột thờm 2 trường hợp khỏc nữa:
+ Khi j =450ị ºO H (tõm hỡnh cầu trựng với chõn đường cao) OH =0 + Khi tõm hỡnh cầu nằm ngoài hỡnh chúp
Trong trường hợp này, ta tớnh được OH =Rcos 2j (ứng với trường hợp 0
45
j< ) và đường cao SH lỳc đú : SH=SO OH- = -R Rcos 2j=2 sinR 2j
Như chương 1 đó phõn tớch, một quỏ trỡnh tư duy diễn ra qua 5 giai đoạn (xem sơ đồ Hỡnh 1.1). Ở mỗi giai đoạn học sinh đều cú thể mắc sai lầm, đặc biệt là trong giai đoạn hỡnh thành giả thuyết. Tư duy trong học tập núi chung, trong giải bài tập Toỏn núi riờng, học sinh mắc sai lầm là một hiện tượng khỏ phổ biến. Khi đó hỡnh thành giả thuyểt, học sinh phải kiểm tra lại giả thuyết để phỏt hiện ra sai lầm và sửa chữa sai lầm. Biết tự phỏt hiện và sửa chữa sai lầm, kiến thức của học sinh vững chắc hơn, từ đú cú khả năng thẩm định, đỏnh giỏ những gỡ mỡnh hoặc người khỏc đó đặt ra. Vỡ vậy, rốn luyện kĩ năng phỏt hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải là một biện phỏp rất quan trọng để nõng cao năng lực phỏt hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh.
Chỳng ta cú thể thấy rằng biện phỏp này gúp phần phỏt triển NLTT 3, NLTT 6 trong năng lực phỏt hiện và giải quyết vấn đề của học sinh đó nờu ở chương 1.
2.3. Thực hành một số nội dung trong dạy học Hỡnh học nhằm gúp phần bồi dưỡng năng lực phỏt hiện và giải quyết vấn đề. phần bồi dưỡng năng lực phỏt hiện và giải quyết vấn đề.
2.3.1. Dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề kết hợp dạy học theo nhúm
Quỏ trỡnh nghiờn cứu lý luận và khảo sỏt thực tiễn dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề ở trường phổ thụng, chỳng tụi nhận thức một số khú khăn chủ yếu sau đõy:
- Khú khăn trong việc thu hỳt đầy đủ học sinh cả lớp vào việc tự mỡnh độc lập giải quyết vấn đề. Khú khăn này trước hết là do giỏo viờn chưa tạo được tỡnh huống thu hỳt mọi học sinh vào hoạt động nhận thức nhằm giải quyết một nhiệm vụ cú tớnh vấn đề. Điều đú phụ thuộc năng lực sư phạm của người giỏo viờn, họ chưa quan tõm đỳng mức việc tạo ra vấn đề từ kiến thức trong nội dung mụn Toỏn và vấn đề được chọn lọc từ nhu cầu thực tiễn.
- Khú khăn bộc lộ ở chỗ học sinh chưa được chuẩn bị tốt cho việc độc lập giải quyết vấn đề, trỡnh độ nhận thức của học sinh trong lớp khỏc nhau, số học sinh cú thể tự giỏc, tớch cực, độc lập giải quyết vấn đề chỉ ở mức độ thiểu số.
- Việc đặt ra giải phỏp khắc phục khú khăn núi trờn, và để phỏt triển tư duy phờ phỏn cho học sinh, huy động tối đa tiềm lực của tập thể học sinh là yờu cầu cấp bỏch và đũi hỏi sự nỗ lực cao của mỗi giỏo viờn.
Hơn nữa, trong dạy học ở trường phổ thụng hiện nay, bờn cạnh ỏp dụng cỏc phương phỏp dạy học tớch cực nhằm nõng cao hiệu quả dạy học, xu hướng kết hợp giữa cỏc phương phỏp trong dạy học là một trong những biện phỏp hữu hiệu đang được thực thi và bước đầu cú những hiệu quả đỏng kớch lệ.
Dạy học theo nhúm là một trong những hướng tớch cực nhằm hướng tới mục tiờu giỳp người học tham gia vào quỏ trỡnh học tập một cỏch tớch cực, trỏnh tớnh thụ động, chờ đợi vào sự hướng dẫn của giỏo viờn. Với hướng dạy học này, người học được làm việc cựng nhau theo cỏc nhúm nhỏ, mỗi thành viờn trong nhúm đều cú cơ hội tham gia vào nhiệm vụ học tập được phõn cụng.
Hơn nữa, với phương phỏp dạy học này, người học được thực hiện nhiệm vụ học tập mà khụng cần sự giỏm sỏt trực tiếp của giỏo viờn.
Dạy học theo nhúm là phương phỏp dạy học, trong đú học sinh được tổ chức thành cỏc nhúm một cỏch thớch hợp, được giao nhiệm vụ và được khuyến khớch thảo luận, hướng dẫn hợp tỏc làm việc với nhau giữa cỏc thành viờn để cựng đạt kết quả chung là hoàn thành nhiệm vụ của cả nhúm.
Dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề là dạy học trong đú giỏo viờn tổ chức tạo ra tỡnh huống cú chứa đựng vấn đề (Toỏn học). Trong quỏ trỡnh hoạt động, học sinh sẽ phỏt hiện ra vấn đề, cú nguyện vọng giải quyết vấn đề và giải quyết được vấn đề đú bằng sự cố gắng trớ lực, nhờ đú nõng cao một bước trỡnh độ kiến thức, kĩ năng và tư duy.
- Trong dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề, thầy giỏo đó tổ chức tỡnh huống sư phạm, học sinh hoạt động, phỏt hiện ra vấn đề.
- Vấn đề mà học sinh thấy cần giải quyết, mong muốn giải quyết nú nhưng khụng thể giải quyết ngay được, để giải quyết được vấn đề, học sinh phải vượt khú khăn hàm chứa trong vấn đề đú bằng sự cố gắng trớ lực. Với sự cố gắng của mỡnh, học sinh sẽ giải quyết được vấn đề đặt ra.
- Khi giải quyết vấn đề, học sinh đạt được những tri thức và kĩ năng mới. Học tập theo phương phỏp này, thời gian làm việc độc lập (cỏ nhõn) luụn luõn phiờn với thời gian làm việc trong nhúm cú sự giỳp đỡ của giỏo viờn.
Việc tổ chức dạy học theo nhúm cú thể được thực hiện bất cứ khõu nào trong quy trỡnh dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề đó trỡnh bày ở phần trước: khi phỏt hiện vấn đề, giải quyết vấn đề hoặc nghiờn cứu sõu vấn đề.
Phối hợp hai phương phỏp, nếu hợp tỏc ở bước thứ 2, ta cú thể thực hiện cụ thể như sau:
Bước 1. Làm việc theo lớp:
- Phỏt hiện vấn đề, - Chia nhúm,
Trong bước này học sinh tiếp cận với tỡnh huống gợi vấn đề, chuẩn bị cỏc hoạt động và nguồn lực cần thiết.
Bước 2. Làm việc theo nhúm để giải quyết vấn đề.
Trong bước này, học viờn bắt đầu nhúm họp theo cỏc nhúm nhỏ cú hoặc khụng sự trợ giỳp của giỏo viờn nhằm phõn tớch nhiệm vụ, đưa ra cỏc cõu hỏi và giả thiết đầu tiờn, phõn chia nhiệm vụ cho cỏc thành viờn nhúm.
Tiếp theo đú cỏc thành viờn làm việc độc lập theo nhiệm vụ đó được phõn chia. Từng cỏ nhõn sẽ giới thiệu thành quả làm việc trong nhúm. Cuối cựng mỗi cỏ nhõn tự viết một bản bỏo cỏo.
Bước 3. Làm việc chung cả lớp.
Trong bước này học sinh thảo luận toàn lớp để cú được giải phỏp mong đợi hoặc trỡnh bày kết quả. Từ đú tổng kết và cú được nội dung bài học.
Cú thể kết thỳc quỏ trỡnh tại giai đoạn này hoặc tiếp tục quỏ trỡnh nếu một vấn đề mới được nờu ra.
Việc thảo luận trong nhúm khụng những giỳp học sinh phỏt triển được khả năng giao tiếp và cỏc kỹ năng xó hội mà cũn phỏt triển được quỏ trỡnh nhận thức (đọc hiểu, phõn tớch, đỏnh giỏ,…), qua đú học sinh tự giải quyết vấn đề.
Việc phối hợp hai hướng dạy học này cũng cú thể theo một quy trỡnh, mà sự tham gia của dạy học theo nhúm cú thể được tổ chức chỉ ở khõu giải quyết vấn đề hoặc củng cố, nghiờn cứu sõu vấn đề.
Chẳng hạn, với những định lớ được thừa nhận, khụng phải chứng minh thỡ cú thể tiến hành thể hiện sự phối hợp hai phương phỏp trờn như sau:
Bước 1. Làm việc chung cả lớp: tiếp cận vấn đề
- Chia nhúm,
- Phõn cụng, giao nhiệm vụ cho nhúm: Mỗi nhúm thực hiện nhiệm vụ được trỡnh bày trờn phiếu học tập.
Bước 2. Làm việc theo nhúm để phỏt hiện và giải quyết vấn đề.
Nhiệm vụ của nhúm: đưa ra phỏn đoỏn và chứng minh.
Bước 3. Làm việc chung cả lớp:
Vớ dụ 2.44. Dạy học định lý: “Thể tớch của khối lăng trụ bằng tớch số của diện tớch mặt đỏy và chiều cao của khối lăng trụ đú” [100, tr. 27].
* Cỏch tiến hành:
Bước 1. Làm việc theo lớp:
GV: + Hóy vẽ khối lăng trụ tam giỏc ABCA B C' ' '
+ Cỏc em hóy tớnh thể tớch của khối lăng trụ đú dựa vào thể tớch của khối tứ diện
Bước 2. Làm việc theo nhúm để giải quyết vấn đề.
1. Chia khối lăng trụ ABCA B C' ' ' thành cỏc khối tứ diện bởi 2 mặt phẳng ( 'A BC') và ( 'A BC)
2. Thể tớch của cỏc khối tứ diện đú cú bằng nhau khụng?
Cỏc nhúm tớnh thể tớch khối lăng trụ qua thể tớch của cỏc khối tứ diện. 3. Từ đú tớnh được thể tớch của khối lăng trụ ABCA B C' ' ' là: V = Sđỏy.h
( h: khoảng cỏch giữa 2 mặt phẳng chứa 2 đỏy) 4. Khối lăng trụ tam giỏc thỡ V = Sđỏy.h.
Liệu rằng cụng thức đú cũn đỳng đối với khối lăng trụ cú đỏy là một đa giỏc bất kỡ khụng?
* Cỏch tiến hành:
+ Chia lớp theo cỏc nhúm : Mỗi nhúm hóy tớnh thể tớch của một khối lăng trụ cú đỏy là một tứ giỏc, ngũ giỏc và lục giỏc dựa trờn thể tớch của khối lăng trụ tam giỏc và khối tứ giỏc.
+ Cỏc nhúm làm và suy ra: V = Sđỏy.h
Vỡ tất cả cỏc khối lăng trụ cú đỏy bất kỡ đều chia được thành cỏc khối lăng trụ tam giỏc.
C C’ B’ A A’ B Hỡnh 2.39
ị Đối với khối lăng trụ cú đỏy là một đa giỏc bất kỡ thỡ thể tớch vẫn được tớnh theo cụng thức: V = Sđỏy.h
Bước 3. Làm việc theo lớp để tổng kết quỏ trỡnh giải quyết vấn đề, đi đến nội dung bài học.
- Cỏc nhúm trỡnh bày kết quả,
- GV: Cõu trả lời trờn là nội dung định lý sau:
“Thể tớch của khối lăng trụ bằng tớch của diện tớch đỏy và chiều cao của khối lăng trụ”.
Vớ dụ 2.45. Dạy học Định lớ Sin [96, tr.55]
“Trong tam giỏc ABC bất kỡ với BC = a, CA = b, AB = c và R là bỏn kớnh
đường trũn ngoại tiếp, ta cú: 2
sin sin sin
a b c
R A= B = C = ”.
* Cỏch tiến hành:
Bước 1. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A với BC =a, CA=b, AB c= và R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp, ta cú: 2
sin sin sin
a b c R
A= B = C = (*). Đẳng thức (*) cũn đỳng trong trường hợp tam giỏc ABC đều khụng? Đẳng thức (*) cũn đỳng trong trường hợp tam giỏc ABC bất kỳ khụng? Hóy chứng minh điều vừa nhận xột.
- Chia nhúm,
- Phõn cụng, giao nhiệm vụ cho nhúm: Mỗi nhúm thực hiện nhiệm vụ được trỡnh bày trờn phiếu học tập.
Bước 2. Làm việc theo nhúm để giải quyết vấn đề.
Nhiệm vụ của nhúm: đưa ra phỏn đoỏn và chứng minh. Để chứng minh định lớ phải phõn chia cỏc trường hợp về độ lớn của gúc.
Bước 3. Làm việc chung cả lớp: Cỏc nhúm trỡnh bày kết quả.
Như vậy, ta cú thể phối hợp dạy học giải quyết vấn đề với dạy học hợp tỏc theo nhúm. Dạy học theo nhúm được vận dụng vào khõu nào của dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề là tựy thuộc vào nội dung dạy học, mục đớch dạy học mà ta hướng đến, chứ khụng nhất thiết phải luụn ở khõu nào. Nếu giỏo viờn vận dụng linh loạt và phối hợp thành thạo, thỡ dạy học sẽ đạt hiệu quả cao.
2.3.2. Một số vớ dụ khỏc
Vớ dụ 2.46. Dạy học cụng thức tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh trụ theo R l,
HS quan sỏt hỡnh vẽ với cỏc gúc độ khỏc nhau.
Đưa việc tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh trụ về việc tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật trong mặt phẳng.
HS: + Trải hỡnh trụ ra thành hỡnh chữ nhật cú một cạnh bằng chu vi đỏy và cạnh cũn lại bằng đường sinh (hỡnh 2.40 ).
+ Tớnh diện tớch của hỡnh chữ nhật trong mặt phẳng.
+ Dự đoỏn cụng thức tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh trụ.
+ Phỏt hiện được diện tớch đối tượng khụng thay đổi và dự đoỏn cụng thức tớnh diện tớch xung quanh hỡnh trụ: Sxq = 2pRl.
l h l R O O' Vớ dụ 2.47.
Dạy học định lý "Ba đường vuụng gúc":
"Từ điểm C thuộc mặt phẳng (ABA'B') dựng CD vuụng gúc với mặt phẳng (ABA'B'), trong mặt phẳng (ABA'B') dựng CE ^ CD, qua E dựng MN vuụng gúc với mặt phẳng (DEC). Nhận xột cỏc cặp đường thẳng (CD, MN) và (DE, MN) như thế nào với nhau khi C thay đổi “.
HS:
+ CD^MN và DE^MN
+ Trong mặt phẳng (CDE), cho đường thẳng DE thay đổi, nhận xột cặp đường thẳng (CD MN, ) và (DE MN, ) như thế nào với nhau? (Hỡnh 2.41).
+ CD^MN và DE^MN.
B ' B A A ' C D E M N GV:
- MN cú vuụng gúc với CF khụng nếu MN vuụng gúc DE? - MN cú vuụng gúc với DE khụng nếu MN vuụng gúc CF? - Cú thể phỏt biểu nội dung tổng quỏt khụng ?
Kết quả là, HS phỏt biểu được định lớ 3 đường vuụng gúc.[98,tr.100]
Vớ dụ 2.48.
Dạy học định lý "Qua điểm nằm ngoài mặt cầu S (O, R) cú vụ số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài cỏc đoạn thẳng để từ A tới cỏc tiếp điểm đều bằng nhau".
GV: Đặt vấn đề.
Trong mặt phẳng, cho đường trũn C O R( , ) và một điểm A nằm ngoài đường trũn. Hỏi qua
A cú thể kẻ được mấy tiếp tuyến đối với đường trũn đú?
Dựa vào kiến thức đó học, HS dễ dàng trả lời được ngay là cú thể được hai tiếp tuyến đối với đường trũn C O R( , ) qua M.
GV nờu cõu hỏi và để HS quan sỏt hỡnh vẽ. "Cho mặt cầu S (O, R) và một điểm A nằm ngoài (S), dựng mặt phẳng (P) bất kỡ chứa AO cắt (S) bởi (C). Trong mặt phẳng (P) dựng tiếp tuyến
B O A C D Hỡnh 2.41 Hỡnh 2.43 M A Hỡnh 2.42
AM với (C). Tỡm quỹ tớch điểm M khi mặt phẳng (P) quay xung quanh AO”.
Từ đú HS phỏt biểu được nội dung định lớ [100, tr.43].
Vớ dụ 2.49. Dạy học bài toỏn xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng theo phương phỏp phỏt hiện và giải quyết vấn đề cú sử dụng phần mềm Geometer's Sketchpad
Đõy là phần kiến thức học sinh được học ở bài 1 "Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng" trong chương trỡnh hỡnh học khụng gian lớp 11, sau khi học sinh đó được học tiết 1, 2 về cỏc tiờn đề và cỏc định lý đầu tiờn của hỡnh học khụng gian [99]. Để học sinh nắm bắt được phương phỏp giải quyết vấn đề về giao tuyến của hai mặt phẳng phõn biệt, ta cú thể khai thỏc cỏc hoạt động từ một số bài toỏn cụ thể (trỡnh bày dưới đõy).
Tạo tỡnh huống gợi vấn đề phỏt hiện qui trỡnh xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng
GV:
- Giao tuyến của hai mặt phẳng là gỡ?
- Hóy nờu định lớ về điều kiện để đường thẳng nằm trong mặt phẳng?
- Hóy cho một cỏch tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng phõn biệt?
- Làm thế nào để tỡm cỏc điểm chung đú?
- Chỳng ta hóy xột vớ dụ dưới đõy
Cõu trả lời mong đợi:
- Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng chung của hai mặt phẳng đú.
- Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phõn biệt của một mặt phẳng thỡ mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đú (hay đường thẳng đú nằm trờn mặt phẳng).
Bài toỏn. Trong mp mp P( ), cho tam giỏc BCD. Điểm A nằm ngoài mp P( ). Trờn hai cạnh AB và AC lấy hai điểm tương ứng M N, sao cho: AM =MB và
2
AN = NC. Hóy xỏc định giao tuyến của cỏc cặp mp. a. mp DMN( ) và mp ABD( )
b. mp DMN( ) và mp BCD( )
Giải
. Gv sử dụng phần mềm Geo's để vẽ hỡnh:
. GV cú thể tỏch hỡnh theo thứ tự từng bước để giỳp HS dễ theo dừi và dễ hỡnh dung trong quỏ trỡnh phỏt hiện và giải quyết vấn đề. Bài toỏn trờn cú thể hướng dẫn HS giải như sau:
a. Tỡm giao tuyến của hai mp (DMN) và mp (ABD)