Ch÷ìng 3 Ùng döng
3.1 B i to¡n vîi mët r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc Chomv²ctìai∈Rn
++, i = 1, . . . , m v α ∈ Rn + sao cho αj > 0 ∀j = 1, . . . , n; n X j=1 αj = 1. (3.1) X²t b i to¡n t¼m c¡c v²ctì x ∈ Rn + v p ∈ Rn +, thäa m¢n h» c¡c ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc sau: x = m X i=1 θiai, θi ≥ 0 i = 1,2, . . . , m, m X i=1 θi = 1, (3.2) pj ≥0 j = 1,2, . . . , n, pTai ≤ 1 i = 1,2, . . . , m, (3.3) pjxj = αj j = 1,2, . . . , n. (3.4) B i to¡n n y câ thº g°p trong vi»c lªp k¸ ho¤ch ho¤t ëng cõa mët cæng ty câ m nh m¡y º s£n xu§t n h ng ho¡ kh¡c nhau. º s£n xu§t c¡c h ng ho¡ n y, mët nguçn lüc nh§t ành câ têng b¬ng 1 ÷ñc ph¥n bè cho c¡c nh m¡y. Gi£ sû ai,minj=1,...,naij > 0l v²ctì °c tr÷ng cho n«ng lüc cõa nh m¡y thùi, ngh¾a l nh m¡y thù i ch¤y h¸t cæng su§t câ thº s£n xu§t ÷ñc aij ìn và h ng hâa thù j, j = 1, . . . , n. Sè pj biºu thà ph¦n nguçn lüc ÷ñc ph¥n bè cho vi»c s£n xu§t mët ìn và h ng hâa thù j v xj l têng l÷ñng h ng hâa thù j c¦n s£n xu§t bði c£ cæng ty. Khi â, pjxj l têng nguçn lüc ÷ñc ph¥n bè cho vi»c s£n xu§t h ng hâa thù j, tùc l gi¡ vèn s£n xu§t l÷ñng h ng hâa thù j. º £m b£o kh£ n«ng c¤nh tranh tr¶n thà tr÷íng, c¦n thi¸t r¬ng pjxj = αj, j = 1, . . . , n, trong â α1, . . . , αn l c¡c sè cho tr÷îc. B i to¡n °t ra l t¼m mët ph÷ìng ¡n ho¤t ëng kh£ thi, tùc l t¼m mët v²ctì (x, p) ∈ Rn +×Rn +, thäa m¢n h» (3.2)-(3.4). V²ctì α ÷ñc gåi l v²ctì ph¥n bè nguçn lüc. Kþ hi»u X l tªp c¡c v²ctì x ∈ Rn +, thäa m¢n (3.2) v P l tªp c¡c v²ctì p ∈ Rn
+, thäa m¢n (3.3). D¹ th§y c£ X v P l c¡c mi·n lçi a di»n. Nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4) l c¡c v²ctì (x, p) ∈ X ×P, thäa m¢n
c¡c ¯ng thùc (3.4). V¼ (3.4) l c¡c ¯ng thùc phi tuy¸n, n¶n (3.2)-(3.4) l h» phi tuy¸n. i·u n y d¨n ¸n vi»c gi£i h» n y l khæng ìn gi£n. Sau ¥y, ta s³ ch¿ ra r¬ng h» (3.2)-(3.4) t÷ìng ÷ìng vîi mët b i to¡n tèi ÷u lçi. Ngo i ra, ta cán ch¿ ra r¬ng h» n y câ mët líi gi£i duy nh§t
(x, p) ∈ X ×P.
Bê · 3.1.1. Chóng ta câ
P = {p ≥0| pTx ≤ 1 ∀x ∈ X}, (3.5) X− = {x ≥ 0| pTx ≤1 ∀p ∈ P}, (3.6) trong â X− := {y : ∃ x ∈ X, x ≥ y ≥0}.
Chùng minh. V¼ X l bao lçi cõa {ai| i = 1,2, . . . , m} n¶n ta câ (3.5). º chùng minh (3.6), ta chó þ r¬ng
pTy ≤ pTx ≤ 1 ∀p ∈ P ∀x ∈ X ∀y : x ≥ y ≥0.
Do â, X− ⊂ {x ≥ 0| pTx ≤ 1 ∀p ∈ P}. M°t kh¡c, n¸u x ≥ 0 v x /∈ X− th¼ theo ành lþ t¡ch, tçn t¤i v²ctì p ≥ 0 sao cho
pTx > 1,
pTx ≤ 1 ∀x ∈ X.
i·u n y d¨n ¸n p ∈ P. Bði vªy, X− ⊃ {x ≥0| pTx ≤ 1 ∀p ∈ P}. Bê · ÷ñc chùng minh. °t f(x) = n Y j=1 xαj j , g(p) = n Y j=1 pαj j . (3.7)
D¹ th§yf v g l c¡c h m li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng, khæng ¥m tr¶n Rn+ v f(x) > 0 ∀x > 0. Hìn núa, v¼ Pn
i=1αi = 1, αi > 0 i = 1,2, ..., n, n¶n f(x) v g(p) l c¡c h m thu¦n nh§t d÷ìng tr¶n Rn+.
Bê · 3.1.2. Vîi måi x ≥ 0 v p ≥0 ta câ g(p) = Qn j=1ααj j sup{f(x)| pTx ≤1, x ≥ 0} , f(x) = Qn j=1ααj j sup{g(p)| pTx ≤1, p ≥0}.
Chùng minh. Theo M»nh · 1.2.7, vîi p≥ 0 b§t ký ta câ f\(p) = n Y j=1 (pj αj) αj = Qn j=1pαj j Qn j=1ααj j . Suy ra g(p) = Qn j=1ααj j sup{f(x)| pTx≤ 1, x ≥ 0}. Công theo M»nh · 1.2.7 th¼ vîi måi x ≥ 0 ta câ
f(x) = 1 sup{f\(p) : pTx ≤ 1, p ≥ 0} = Qn j=1ααj j sup{g(p)| pTx ≤ 1, p ≥ 0}. X²t c¡c b i to¡n max{f(x) : x ∈ X}, (3.8) max{g(p) : p∈ P}. (3.9)
V¼ X, P l c¡c tªp lçi a di»n chùa c¡c v²ctì d÷ìng v f, g l c¡c h m li¶n töc, n¶n hai b i to¡n (3.8) v (3.9 ) câ nghi»m v gi¡ trà tèi ÷u cõa chóng l c¡c gi¡ trà d÷ìng.
X²t b i to¡n
Gi£ sû x∗ l mët nghi»m tèi ÷u cõa (3.8). Theo ành ngh¾a cõa X−, vîi méi y ∈ X− tçn t¤i x ∈ X sao cho y ≤ x. i·u n y còng vîi gi£ thi¸t f ìn i»u t«ng tr¶n Rn+ suy ra f(y) ≤ f(x) ≤ f(x∗) ∀y ∈ X−. Nh÷ vªy, ta kh¯ng ành r¬ng måi nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (3.8) ·u l nghi»m tèi ÷u cõa (3.10).
Theo Bê · 3.1.3 ta câ g(p) = f\(p)Qn j=1ααj
j . i·u n y suy ra b i to¡n (3.9) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n
max{f\(p) : p ∈ P}. (3.11) Vîi x > 0 v p > 0, °t ˜ ∇f(x) = 1 ∇f(x)Tx∇f(x), ˜ ∇g(p) = 1 ∇g(p)Tp∇g(p),
trong â ∇f(x) l gradient cõa f t¤i x, ∇g(p) l gradient cõa g t¤i p. Düa v o (3.7) ta d¹ d ng ch¿ ra r¬ng vîi måi x > 0, p > 0 th¼
˜ ∇f(x) = α1 x1 , α2 x2 , . . . , αn xn , ˜ ∇g(p) = α1 p1 , α2 p2 , . . . , αn pn . (3.12)
ành lþ sau cho th§y r¬ng c¡c b i to¡n (3.8) v (3.9 ) l èi ng¨u cõa nhau.
ành lþ 3.1.3. N¸u x l nghi»m cõa b i to¡n (3.8), th¼ ∇f˜ (x) l nghi»m cõa (3.9). £o l¤i, n¸u p l nghi»m cõa (3.9), th¼ ∇g˜ (p) l nghi»m cõa b i to¡n (3.8).
Chùng minh. Gi£ sû x l nghi»m tèi ÷u cõa (3.8). Ta câ x > 0, f(x) > 0
v ∇f˜ (x) 6= 0. Theo M»nh · 1.3.7, ta câ
˜
V¼ x công l nghi»m tèi ÷u cõa (3.10) v f thu¦n nh§t, n¶n theo H» qu£ 2.1.11 ta câ ∇f˜ (x) l nghi»m cõa (3.11). Do vªy, ∇f˜ (x) l nghi»m cõa (3.9).
Gi£ sû p l nghi»m tèi ÷u cõa (3.9), b¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü, ta công ch¿ ra ÷ñc ∇g˜ (p) l nghi»m cõa (3.10). Hìn núa, dof(x)l h m tüa lãm ch°t n¶n ∇g˜ (p) l nghi»m duy nh§t cõa (3.10). Tø i·u n y ta câ ∇g˜ (p) ∈ X. N¸u ng÷ñc l¤i th¼ tçn t¤i xb∈ X, xb6= ˜∇g(p),∇g˜ (p) ≤ xb sao choxbcông l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (3.10). i·u n y m¥u thu¨n vîi t½nh tçn t¤i nghi»m duy nh§t cõa (3.10). Vªy, ∇g˜ (p) công l nghi»m cõa (3.8).
ành lþ 3.1.4. N¸u (x, p) l nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4), th¼ x l nghi»m cõa (3.8) v p l nghi»m cõa (3.9). £o l¤i, n¸u x l nghi»m cõa (3.8), th¼ (x, p) vîi p = ˜∇f(x) l nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4); n¸u p l nghi»m cõa (3.9), th¼ (x, p) vîi x = ˜∇g(p) l nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4).
Chùng minh. Cho (x, p) l nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4). Tø (3.4) v (3.12) suy ra x > 0, f(x) > 0 v p= ˜∇f(x). Theo M»nh · 1.3.7, ta câ
p ∈ ∂\f(x).
i·u n y còng vîi H» qu£ 2.1.11 v ành lþ 3.1.3 d¨n ¸n x l nghi»m cõa (3.8) v p l nghi»m cõa (3.9).
£o l¤i, n¸u x l nghi»m cõa (3.8) v p = ˜∇f(x), th¼ p thäa m¢n (3.4) v l nghi»m tèi ÷u cõa (3.9). Do â, (x, p) l nghi»m cõa h» (3.2)- (3.4). T÷ìng tü, n¸u p l nghi»m cõa (3.9) v x = ˜∇g(p), th¼ x thäa m¢n (3.4) v l nghi»m tèi ÷u cõa (3.8). Do â, (x, p) l nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4).
b i to¡n cüc ¤i h m lãm sau:
max{ln(f(x)) : x ∈ X}, (3.13)
max{ln(g(p)) : p ∈ P}. (3.14) C¡c h m ln(f(x)) v ln(g(p)) l lãm ch°t tr¶n Rn++, n¶n nghi»m cõa c¡c b i to¡n (3.8) v (3.9 ) l tçn t¤i duy nh§t. Do â, tø ành lþ 3.1.4 chóng ta kh¯ng ành nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4) l tçn t¤i v duy nh§t, çng thíi nghi»m n y câ ÷ñc b¬ng c¡ch gi£i b i to¡n (3.13) ho°c (3.14). Chó þ r¬ng c¡c b i to¡n (3.13) v (3.14) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c b i to¡n tèi ÷u lçi, n¶n vi»c gi£i c¡c b i to¡n n y ìn gi£n hìn vi»c gi£i h» phi tuy¸n (3.2)-(3.4).