Trong lþ thuy¸t tèi ÷u lçi, c¡c i·u ki»n tèi ÷u th÷íng ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng nguy¶n lþ Fermat mð rëng hay i·u ki»n KKT qua kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n ([3], [23], [31]). Trong ph¦n n y, º x¥y düng i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u khæng lçi, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi gradient v chùng minh mët sè t½nh ch§t phöc vö cho vi»c thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ trong c¡c ch÷ìng sau.
X²tf l h m lçi ch½nh th÷íng b§t ký tr¶nRn. Chóng ta bi¸t r¬ng v²ctì p∈ Rn l d÷îi gradient cõaf t¤ixn¸upT(x−x) ≤ f(x)−f(x) ∀x ∈ Rn. i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi f∗(p) ≤ pTx−f(x), trong â f∗ l h m li¶n hñp Fenchel cõa f, x¡c ành bði: f∗(p) = supx∈Rn{pTx − f(x)} ([15]). Nh÷ vªy, chóng ta th§y r¬ng d÷îi gradient cõa h m lçi câ thº ÷ñc ành ngh¾a qua h m li¶n hñp Fenchel. B¬ng c¡ch t÷ìng tü nh÷ tr¶n, chóng ta ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi gradient cõa f qua h m tüa li¶n hñp f\ nh÷ sau.
ành ngh¾a 1.3.1. V²ctì p ∈ Rn
+ ÷ñc gåi l tüa d÷îi gradient cõa f t¤i x n¸u
pTx = 1 v f(x)f\(p) ≥ 1.
Theo M»nh · 1.2.2, p l tüa d÷îi gradient cõa f t¤i x n¸u pTx = 1 v f(x)f\(p) = 1.
Tªp gçm c¡c tüa d÷îi gradient cõa f t¤i x ÷ñc gåi l tüa d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, kþ hi»u bði ∂\f(x). N¸u ∂\f(x) kh¡c réng, th¼ f ÷ñc gåi l câ tüa d÷îi vi ph¥n t¤i x.
V½ dö 1.3.2. Cho f(x) = cTx ∀x ∈ Rn +, c = (c1, c2, ..., cn) > 0. Theo M»nh · 1.2.5, f\(p) = min{pi ci : i = 1,2, ...n} ∀p ∈ Rn +. Suy ra f\(p) = 0 ∀p∈ Rn +\Rn ++. Vîi x ∈ Rn +\ {0}, ta °t I = {i ∈ {1,2, ..., n}| xi = 0}. Khi â, ta câ
∂\f(x) = {p > 0| f(x) = 1 f\(p), p T x = 1} = {p > 0| cTx = max{ci pi : i = 1,2, ...n}, pTx = 1} = {p > 0| pi ≥ 1 cTxci ∀i = 1,2, ...n, pTx = 1} = {p > 0| pi = 1 cTxci ∀i /∈ I, pi ≥ 1 cTxci ∀i ∈ I}.
D¹ th§y ∂\f(0) = ∅. Vªy, ∂\f(x) = {p > 0| pi = ci cTx ∀i /∈ I, pi ≥ ci cTx ∀i ∈ I} n¸u x ∈ Rn +\ {0}; ∅ n¸u x = 0.
ành lþ sau cho ta mët i·u ki»n º h m f l câ tüa d÷îi vi ph¥n t¤i x.
ành lþ 1.3.3. Cho f li¶n töc, tüa lãm v ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+. Khi â, ∂\f(x) l tªp lçi kh¡c réng t¤i måi x > 0. Ngo i ra,
p∈ ∂\f(x) ⇔ x ∈ ∂\f\(p).
Chùng minh. V¼ f li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, Ff(x) l tªp èi chu©n tc, lçi v âng trong Rn+. Gi£ sû tçn t¤i h¼nh c¦u mð B t¥m t¤i x sao cho B ⊂ Ff(x). Khi â, tçn t¤i xˆ ∈ B sao cho x < xˆ , v do â f(ˆx) < f(x) (f ìn i»u t«ng ch°t). i·u n y m¥u thu¨n vîi xˆ ∈ Ff(x). Nh÷ vªy, x l iºm bi¶n cõa tªp lçi Ff(x). i·u n y d¨n ¸n tçn t¤i v²ctì q 6= 0 v sè thüc α sao cho
qTz ≥ α ∀z ∈ Ff(x), (1.21)
qTx = α. (1.22)
B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh ành lþ 1.2.6, (1.21) cho ta q ≥ 0 (do Ff(x) l tªp èi chu©n tc). Tø (1.22), ta câ α > 0. °t p= α1q , chóng ta câ p≥ 0 v pTz ≥1 ∀z ∈ Ff(x), (1.23) pTx = 1. (1.24) V¼ f(x) > 0, tø (1.23) v (1.14) suy rap ∈ F∗1 f(x) hay f\(p)f(x) ≥1. i·u n y còng vîi (1.24) d¨n ¸n p ∈ ∂\f(x).
Gi£ sû p ∈ ∂\f(x). Theo ành lþ 1.2.10, ta câ (f\)\ = f. Do â, x ∈ ∂\f\(p). ành lþ ÷ñc chùng minh.
M»nh · 1.3.4. N¸u f l h m li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+, th¼ i·u ki»n õ º p ∈ ∂\f(x) l pTx = 1 v pTz ≥1 ∀z ∈ Ff(x). Chùng minh. N¸u f(x) = 0 th¼ Ff(x) = F0 = Rn+. i·u n y còng vîi gi£ thi¸t pTz ≥ 1 ∀z ∈ Ff(x) suy ra pT0 = 0 ≥ 1 (væ lþ). Vªy, f(x) > 0. Theo (1.14), ta câ p ∈ F∗1
f(x). Suy ra f\(p) ≥ 1
f(x) hayf\(p)f(x) ≥1. i·u n y còng vîi gi£ thi¸t pTx = 1 d¨n ¸n p∈ ∂\f(x).
M»nh · sau cho ta mèi li¶n h» giúa kh¡i ni»m d÷îi gradient cõa h m lçi vîi kh¡i ni»m tüa d÷îi gradient.
M»nh · 1.3.5. Cho f l h m li¶n töc, tüa lãm v ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+. Khi â, vîi måi x > 0 chóng ta câ
−p ∈ ∂(−f)(x)\ {0} ⇒ 1
pTxp∈ ∂\f(x), trong â ∂(−f)(x) l tªp d÷îi vi ph¥n cõa −f t¤i x.
Chùng minh. Cho −p∈ ∂(−f)(x)\ {0}. Khi â, vîi måi x ta câ pT(x−x) ≥ f(x)−f(x).
Suy ra
pTx ≥pTx ∀x∈ Ff(x). (1.25) V¼ f l ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, n¶n ta câ Ff(x) l tªp èi chu©n tc trong Rn+. B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành lþ 1.2.10, tø (1.25) suy ra p ≥0. Do â, (1.25) t÷ìng ÷ìng vîi
1
pTxp
Tx ≥ 1 ∀x ∈ Ff(x). Theo M»nh · 1.3.4, ta câ 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhªn x²t 1.3.6. Cho f(x) l h m lãm húu h¤n tr¶n Rn v x ≥ 0 l iºm cüc trà cõa f. Khi â, ta câ 0 ∈ ∂(−f)(x) nh÷ng 0 ∈/ ∂\f(x). i·u n y cho ta th§y tüa d÷îi gradient m chóng ta ÷a ra khæng ph£i l kh¡i ni»m mð rëng cõa kh¡i ni»m d÷îi gradient.
¤o h m theo h÷îng d ∈ Rn cõa f t¤i x l f0(x, d) = lim
t→0+
f(x+td)−f(x)
t ,
n¸u giîi h¤n v¸ ph£i tçn t¤i. N¸u f l h m kh£ vi t¤i x th¼f câ ¤o h m theo måi h÷îng d ∈ Rn t¤i x v
f0(x, d) =∇f(x)Td ∀d ∈ Rn, d 6= 0.
M»nh · 1.3.7. Cho f l h m li¶n töc, tüa lãm v ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+. N¸u f kh£ vi t¤i x > 0 thäa m¢n ∇f(x) 6= 0, th¼
1
∇f(x)Tx∇f(x) ∈ ∂\f(x), trong â ∇f(x) l gradient cõa f t¤i x.
Chùng minh. L§y d ∈ Rn+ b§t ký. Khi â, ta câ x+td≥ x ∀t ≥ 0. V¼ f ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, f(x+td)−f(x) ≥ 0 ∀t ≥ 0. Do â, f0(x, d) = lim t→0+ f(x+td)−f(x) t ≥ 0. V¼ f kh£ vi t¤i x, ta câ ∇f(x)Td = f0(x, d) ≥ 0 ∀d ∈ Rn + \ {0}. Vªy, ∇f(x) ≥ 0. L§y b§t ký x ∈ Ff(x). V¼ f tüa lãm tr¶n Rn+, n¶n vîi måi t∈ (0,1) ta câ
f(x+t(x−x))−f(x) = f(tx+ (1−t)x)−f(x)
≥ min{f(x); f(x)} −f(x) = f(x)−f(x)
Tø ¥y suy ra ∇f(x)T(x−x) = lim t→0+ f(x+t(x−x))−f(x) t ≥ 0. Do l§y x ∈ Ff(x) l b§t ký, n¶n ta câ ∇f(x)Tx ≥ ∇f(x)Tx ∀x ∈ Ff(x) hay 1 ∇f(x)Tx∇f(x)Tx ≥1 ∀x ∈ Ff(x). p döng M»nh · 1.3.4, ta câ 1 ∇f(x)Tx∇f(x) ∈ ∂\f(x). M»nh · ÷ñc chùng minh. K¸t luªn cõa Ch÷ìng 1
C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng n y bao gçm:
- i·u ki»n õ cho t½nh ph£n x¤ cõa ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp f\ trong ành lþ 1.2.6 v ành lþ 1.2.10.
- i·u ki»n õ º h m f câ tüa d÷îi vi ph¥n v mèi li¶n h» vîi d÷îi vi ph¥n Fenchel trong ành lþ 1.3.3, M»nh · 1.3.4 v M»nh · 1.3.5.