èi ng¨u li¶n hñp cho c¡c b i to¡n tèi ÷u
2.2èi ng¨u li¶n hñp cho b i to¡n tèi ÷ ua möc ti¶u
ti¶u
Ph¦n n y, chóng tæi mð rëng sì ç èi ng¨u li¶n hñp ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong Möc 2.1 cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u:
max(f1(x), f2(x), ..., fk(x)) (2.20) x ∈ X.
ành ngh¾a 2.2.1. (xem [17]) x ∈ X ÷ñc gåi l nghi»m húu hi»u Pareto cõa b i to¡n (2.20) n¸u khæng tçn t¤i x ∈ X sao cho fi(x) ≤ fi(x) ∀i ∈ {1,2, ..., k} v tçn t¤i i ∈ {1,2, ..., k} sao cho fi(x) < fi(x). ành ngh¾a 2.2.2. (xem [17]) x ∈ X ÷ñc gåi l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa b i to¡n (2.20) n¸u khæng tçn t¤i x ∈ X sao cho
fi(x) < fi(x) ∀i ∈ {1,2, ..., k}.
Chóng ta nhc l¤i mët sè i·u ki»n húu hi»u cì b£n ¢ bi¸t cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u.
ành lþ 2.2.3. (xem [17]) Cho v²ctì λ = (λ1, λ2, ..., λk) ∈ Rk sao cho λi > 0, ∀i = 1,2, ..., k. Khi â, måi nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng max{ k X i=1 λifi(x) : x ∈ X}
·u l nghi»m húu hi»u Pareto cõa b i to¡n (2.20). Tø ành lþ tr¶n ta thu ÷ñc h» qu£ sau.
H» qu£ 2.2.4. (xem [17]) N¸u X l tªp compc v c¡c h m fi l nûa li¶n töc tr¶n vîi måi i = 1,2, ..., k, th¼ b i to¡n (2.20) câ nghi»m húu hi»u.
ành lþ 2.2.5. (xem [17]) Cho v²ctì λ = (λ1, λ2, ..., λk) ∈ Rk
+\ {0}. Khi â, måi nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng
max{
k
X
i=1
λifi(x) : x ∈ X}
ành lþ 2.2.6. (xem [35]) Cho fi l h m lãm ch°t tr¶n tªp lçi X vîi måi i = 1,2, ..., k. Khi â, måi nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng max{ k X i=1 λifi(x) : x ∈ X} vîi λ = (λ1, λ2, ..., λk) ∈ Rk
+\ {0} ·u l nghi»m húu hi»u Pareto cõa b i to¡n (2.20).
ành lþ 2.2.7. (xem [17]) Cho fi l h m lãm tr¶n tªp lçi X vîi måi i = 1,2, ..., k. Khi â, måi nghi»m húu hi»u Pareto x cõa b i to¡n (2.20) ·u tçn t¤i v²ctì λ = (λ1, λ2, ..., λk) ∈ Rk
+\ {0} sao cho x l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng
max{
k
X
i=1
λifi(x) : x ∈ X}.
Gi£ sû Rn l t½ch · c¡c cõa c¡c khæng gian Rni, i = 1,2, ..., k (k ≥ 1)
Rn = k Y i=1 Rni, trong â n = Pk i=1ni v ni ≥ 1 i = 1,2, ..., k. °t x = (x1, x2, ..., xk), trong â xi ∈ Rni
+ vîi måi i = 1,2, ..., k. Tø ¥y cho ¸n h¸t ch÷ìng, chóng ta luæn x²t b i to¡n (2.20) vîi gi£ thi¸t fi(x) = fi(xi), fi l h m húu h¤n tr¶n Rn+i thäa m¢n t½nh li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng, thu¦n nh§t v fi(xi) > 0 ∀xi ∈ Rni
++, i = 1,2, ..., k; X l tªp chu©n tc, lçi, compc câ ph¦n trong kh¡c réng trong Rn+. V¼ fi li¶n töc ð tr¶n Rn+i vîi måi i = 1,2, ..., k v X l tªp compc n¶n b i to¡n (2.20) câ nghi»m húu hi»u.
Chó þ r¬ng: n¸u fi thu¦n nh§t d÷ìng, ìn i»u t«ng, khæng ¥m tr¶n Rn+i v fi(xi) > 0 ∀xi ∈ Rni
++, th¼ fi l ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+i. Thüc vªy, gi£ sû 0 ≤ xi < yi. N¸u f(xi) = 0, th¼ f(xi) < f(yi) l hiºn nhi¶n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V¼ xi < yi, n¶n tçn t¤i xi = kxi, k > 1 sao cho xi ≤ yi. Do â, n¸u f(xi) > 0 th¼ f(xi) < kf(xi) = f(kxi) = f(xi) ≤f(yi).
B i to¡n èi ng¨u cõa (2.20) ÷ñc ành ngh¾a bði
max(f1\(p1), f2\(p2), ..., fk\(pk)) (2.21) p = (p1, p2, ..., pk) ∈ P, pi ∈ Rni
+, i = 1,2, ..., k,
trong â fi\ l h m tüa li¶n hñp cõa fi tr¶n R+ni vîi måi i = 1,2, ..., k v P l li¶n hñp d÷îi cõa X. B i to¡n èi ng¨u l gi£i ÷ñc v¼ fi\ nûa li¶n töc tr¶n ð tr¶n Rn+i vîi måi i = 1,2, ..., k v P compc. Do X công l li¶n hñp d÷îi cõa P v fi ph£n x¤ vîi måi i = 1,2, ..., k, n¶n sì ç èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u l èi xùng.
Trong tr÷íng hñp k = 1, c¡c b i to¡n (2.20) v (2.21) tròng vîi c¡c b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong ph¦n tr÷îc.
V½ dö 2.2.8. X²t b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u
max(f1(x1), f2(x2), ..., fk(xk)) (2.22) x = (x1, x2, ..., xk) ∈ X,
trong â fi l h m lãm a di»n, thu¦n nh§t v ìn i»u t«ng tr¶nRni vîi måi i = 1,2, ..., k; X l tªp lçi a di»n ÷ñc x¡c ành bði (2.13). Theo ành lþ 1.2.6, h m tüa li¶n hñp fi\ cõa fi tr¶n Rn
i
+ công l h m lãm a di»n, thu¦n nh§t v ìn i»u t«ng tr¶n Rni vîi måi i = 1,2, ..., k. Do â, ta câ b i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n (2.22):
max(f1\(p1), f2\(p2), ..., fk\(pk))
p = (p1, p2, ..., pk) ∈ P,
P l li¶n hñp d÷îi cõa X v ÷ñc x¡c ành nh÷ trong V½ dö 2.1.6. V½ dö 2.2.9. Cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u
max(f1(x1), f2(x2), ..., fk(xk)) (2.23) x = (x1, x2, ..., xk) ∈ X,
trong â fi(xi) = Qni
j=1(xij)αji, i = 1,2, ..., k, Pni
j=1αij = 1, αij > 0 j = 1,2, ..., ni; X l tªp lçi a di»n ÷ñc x¡c ành bði (2.13). Theo M»nh · 1.2.7, b i to¡n èi ng¨u cõa cõa b i to¡n (2.23) l :
max(f1\(p1), f2\(p2), ..., fk\(pk)) p = (p1, p2, ..., pk) ∈ P, trong â fi\(pi) = Qni j=1(p i j αi j
)αij i = 1,2, ..., k, P l li¶n hñp d÷îi cõa X v ÷ñc x¡c ành nh÷ trong V½ dö 2.1.6.
ành lþ sau ÷ñc xem l ành lþ èi ng¨u y¸u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u gèc v èi ng¨u.
ành lþ 2.2.10. Vîi måi x ∈ X v p∈ P, chóng ta câ
k
X
i=1
fi(xi)fi\(pi) ≤ 1. (2.24) Chùng minh. Vîi méi i ∈ {1,2, ..., k} ta câ fi(xi)fi\(pi) ≤ αi vîi måi xi ∈ Rni
+ v pi ∈ Rni
+ sao cho (pi)Txi ≤ αi, trong â αi ≥ 0. Thüc vªy, n¸uαi = 0 v fi(xi) = 0 th¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l hiºn nhi¶n. N¸u αi = 0 v fi(xi) > 0, ta câ (pi)T(mxi) = 0 ∀m ∈ N v f(mxi) =
mf(xi) → +∞ (do fi thu¦n nh§t d÷ìng tr¶n Rn+i) khi m → +∞. Do â, fi\(pi) = 1 sup{fi(yi) : (pi)Tyi ≤1, yi ≥ 0} = 1 +∞ = 0. V¼ vªy, fi(xi)fi\(pi) = 0 ≤ αi. N¸u αi > 0, th¼ (pi)Txi ≤ αi t÷ìng ÷ìng vîi 1 αi(pi)Txi ≤ 1. Theo M»nh · 1.2.2, ta câ fi(α1 ixi)fi\(pi) ≤1 v do â, fi(xi)fi\(pi) ≤αi. V¼ P l li¶n hñp d÷îi cõa X, ta câ
k (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
X
i=1
Vîi méi i = 1,2, ..., k, ta °t αi = (pi)Txi. Suy ra αi ≥ 0 ∀i = 1,2, ..., k v Pk i=1αi ≤ 1. Do vªy, k X i=1 fi(xi)fi\(pi) ≤ k X i=1 αi ≤ 1. ành lþ ÷ñc chùng minh.
M»nh · 2.2.11. Cho x ∈ X v p ∈ P. N¸u c°p (x, p) thäa m¢n ¯ng thùc
k
X
i=1
fi(xi)fi\(pi) = 1, (2.25) th¼ x l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.20) v p l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.21).
Chùng minh. V¼ x ∈ X v p ∈ P thäa m¢n ¯ng thùc (2.25), n¶n tçn t¤i i ∈ {1,2, ..., k} sao cho fi\(p) > 0. Theo ành lþ 2.2.10, ta câ
k X i=1 fi\(pi)fi(xi) ≤ k X i=1 fi\(pi)fi(xi) ∀x ∈ X.
i·u n y câ ngh¾a l x l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng:
max{
k
X
i=1
fi\(pi)fi(xi) : x ∈ X}.
Theo ành lþ 2.2.5, x l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.20).
B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü ð tr¶n, ta câ p l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa b i to¡n èi ng¨u (2.21).
M»nh · 2.2.12. Cho x ∈ X v p ∈ P sao cho (x, p) thäa m¢n ¯ng thùc (2.25). N¸u fi\(pi) > 0 vîi måi i = 1,2, ..., k, th¼ x l nghi»m húu hi»u Pareto cõa (2.20). N¸u fi(xi) > 0 vîi måi i = 1,2, ..., k, th¼ p l nghi»m húu hi»u Pareto cõa (2.21).
Chùng minh. Gi£ sûx ∈ X, p∈ P thäa m¢n ¯ng thùc (2.25) v fi\(p) >
0 vîi måi i = 1,2, ..., k. Theo ành lþ 2.2.10, ta câ
k X i=1 fi\(pi)fi(xi) ≤ k X i=1 fi\(pi)fi(xi) ∀x ∈ X.
i·u n y câ ngh¾a l x l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng:
max{
k
X
i=1
fi\(pi)fi(xi) : x ∈ X}.
Theo ành lþ 2.2.3, x l nghi»m húu hi»u Pareto cõa (2.20).
B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü ð tr¶n, ta câ p l nghi»m húu hi»u Pareto cõa b i to¡n èi ng¨u (2.21). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V½ dö 2.2.13. X²t b i to¡n
max (f1(x1), f2(x2))
x = (x1, x2) ∈ X,
vîi f1(x1) = x1, f2(x2) = 2x2 v X = {(x1, x2) ≥ 0 : 12x1 + 13x2 ≤
1, 13x1+12x2 ≤ 1}. Theo M»nh · (1.2.5), ta câf1\(p1) =p1, f2\(p2) = 12p2. Do â, ta câ b i to¡n èi ng¨u:
max (p1,1 2p2) p1 ≤ 1 2y1 + 1 3y2, p2 ≤ 1 3y1 + 1 2y2, y1 +y2 = 1, p1 ≥ 0, p2 ≥0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
L§y x = (65,65), p = (65,65), d¹ d ng kiºm tra ÷ñc x l mët ph÷ìng ¡n cõa b i to¡n gèc v p l mët ph÷ìng ¡n cõa b i to¡n èi ng¨u ùng vîi y = (12, 12). Hìn núa, ta câ f1(x1)f\(p1) +f2(x2)f\(p2) = 6 5 5 12 + 2 6 5 5 24 = 1.
Theo M»nh · 2.2.11, ta câ x v p l¦n l÷ñt l c¡c nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa b i to¡n gèc v èi ng¨u ð tr¶n. Do
f1(x1) = 6 5, f2(x2) = 12 5 , f \ (p1) = 5 12, f \ (p2) = 5 24
n¶n theo M»nh · 2.2.12 ta câ x v p l¦n l÷ñt công l c¡c nghi»m húu hi»u Pareto cõa b i to¡n gèc v èi ng¨u.
Ti¸p theo, chóng ta chùng minh ành lþ èi ng¨u m¤nh cho c¡c b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u.
ành lþ 2.2.14. N¸u x l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.20), th¼ tçn t¤i v²ctì p ∈ P sao cho (x, p) thäa m¢n ¯ng thùc (2.25). T÷ìng tü, n¸u p l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.21), th¼ tçn t¤i v²ctì x ∈ X sao cho (x, p) thäa m¢n ¯ng thùc (2.25).
Chùng minh. Gi£ sû x l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.20). °t
Ωx = {z ∈ Rn+ : fi(zi) ≥ fi(xi), i = 1,2, ..., k},
ta câΩxl tªp èi chu©n tc, lçi, âng trongRn+. Gi£ sûintΩx∩intX 6= ∅, khi â, tçn t¤i h¼nh c¦u mð B t¥m z¯ n¬m trong Ωx ∩ X. V¼ z¯ ∈ Ωx, fi(¯zi) ≥ fi(xi) vîi måi i ∈ {1,2, ..., k}. Chån zˆ ∈ B sao cho z >ˆ z¯. Khi â, ta câ fi(ˆzi) > fi(¯zi) ≥ fi(xi) ∀i ∈ {1,2, ..., k} (do fi ìn i»u t«ng ch°t). i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸tx l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.20). Vªy, intΩx∩intX = ∅. Theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, tçn t¤i v²ctì u ∈ Rn \ {0} v sè thüc α ∈ R sao cho
uTz ≤α ∀z ∈ X, (2.26)
uTz ≥α ∀z ∈ Ωx. (2.27)
V¼ Ωx l tªp èi chu©n tc trong Rn+, n¶n tø (2.27) suy ra u ≥ 0 (chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh ành lþ 1.2.6). Tø (2.26) suy ra
α > 0 (v¼ X câ ph¦n trong kh¡c réng). °t p = α1u, khi â (2.26) v (2.27) t÷ìng ùng t÷ìng ÷ìng vîi pTz ≤ 1 ∀z ∈ X, (2.28) pTz ≥ 1 ∀z ∈ Ωx. (2.29) Tø (2.28) d¨n ¸n p ∈ P. Tø (2.28) v (2.29), ta câ ¯ng thùc pTx = 1 v min{pTz : z ∈ Ωx} = k X i=1 min{(pi)Tzi : zi ∈ Rni +, fi(zi) ≥fi(xi)} = pTx = 1. (2.30) Vîi méi i ∈ {1,2, ..., k}, ta °t αi = min{(pi)Tzi :zi ∈ Rni +, fi(zi) ≥ fi(xi)}. Khi â, tø (2.30) suy ra
αi = min{(pi)Tzi : zi ∈ Rni
+, fi(zi) ≥ fi(xi)} = (pi)Txi. (2.31) °t I = {i ∈ {1,2, ..., k}: fi(xi) > 0, αi > 0}. Ta kh¯ng ành
fi(xi)fi\(pi) =αi = 0 ∀i ∈ {1,2, ..., k} \I. (2.32) Thªt vªy, n¸u fi(xi) = 0 th¼ tø (2.31) suy ra
αi = min{(pi)Tzi : zi ∈ Rni
+, fi(zi) ≥ 0}= (pi)T0 = 0 (dofi(0) = 0). N¸u αi = 0 v fi(xi) > 0 th¼ (pi)T(mxi) = 0 ∀m ∈ N v f(mxi) =
mf(xi) → +∞ (do fi thu¦n nh§t d÷ìng tr¶n Rn+i) khi m → +∞. Do â,
fi\(pi) = 1
sup{fi(xi) : piTxi ≤ 1, xi ≥ 0} =
1
Do â, fi(xi)fi\(pi) = αi = 0 ∀i ∈ {1,2, ..., k} \I.
Vîi i ∈ I, ta câ fi(xi) > 0 v αi > 0. Tø (2.31) suy ra (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(pi)Tzi ≥αi ∀zi ∈ {zi ∈ Rni + : fi(zi) ≥ fi(xi)} hay 1 αi(p i)Tzi ≥ 1 ∀zi ∈ Ff i(xi). Theo M»nh · 1.3.4, ta câ 1 αi pi ∈ ∂\fi(xi) ∀i ∈ I. Suy ra fi(xi)fi\(pi) = αi ∀i ∈ I. (2.33) Nh÷ vªy, tø (2.32) v (2.33), ta câ k X i=1 fi(xi)fi\(pi) = k X i=1 αi = 1.
Ti¸p theo, chóng ta gi£ sû p l nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa b i to¡n (2.21). V¼ sì ç èi ng¨u l èi xùng, n¶n b¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ ð tr¶n ta câ thº ch¿ ra r¬ng tçn t¤i v²ctì x ∈ X sao cho ¯ng thùc (2.25) óng t¤i (x, p). ành lþ ÷ñc chùng minh.
Nhªn x²t 2.2.15. Trong tr÷íng hñp fi l h m lãm a di»n, thu¦n nh§t v ìn i»u t«ng tr¶n Rni vîi måi i = 1,2, ..., k, th¼ ành lþ 2.2.14 câ thº ÷ñc chùng minh ch¿ düa tr¶n c¡c cæng cö cõa Gi£i t½ch lçi. Chùng minh â ¢ ÷ñc ÷a ra ð b i b¡o [28]. Sau ¥y l chi ti¸t cõa chùng minh.
°t
b
Ωx = {z ∈ Rn : fi(zi) > fi(xi), i = 1,2, ..., k}.
Tø gi£ thi¸t lçi v ìn i»u t«ng cõa fi vîi måi i = 1,2, ..., k, ta câ Ωbx l tªp lçi mð v Rn+ n¬m trong nân lòi xa cõa Ωbx. Theo ành lþ t¡ch, tçn
t¤i v²ctì u ∈ Rn\ {0} v sè thüc α sao cho
uTz ≤α ∀z ∈ X, (2.34)
uTz > α ∀z ∈ Ωbx. (2.35) Ta kh¯ng ành r¬ng u≥ 0. Thªt vªy, gi£ sû u= (u1, u2, ..., un) v tçn t¤i ui < 0. Khi â, vîix0 ∈ Ωbx ta câ xm = (x01, ..., x0i +m, ..., x0n) ∈ Ωbx ∀m ∈ N (do Rn+ n¬m trong nân lòi xa cõa Ωxb ) v uTxm → −∞ khi m →+∞. i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.35). Tø (2.34) suy ra α > 0 (v¼ X câ ph¦n trong kh¡c réng). °t q = α1u. Khi â, (2.34) v (2.35) t÷ìng ùng t÷ìng ÷ìng vîi
pTz ≤ 1 ∀z ∈ X, (2.36)
pTz > 1 ∀z ∈ Ωbx (2.37) Tø (2.36) suy ra p ∈ P. Theo Bê · Farkas-Minskowski mð rëng (xem [31]), tø (2.37) suy ra tçn t¤i µ ∈ Rk + \ {0} sao cho qTz−1 + k X i=1 µi(fi(xi)−fi(zi)) ≥ 0 ∀z ∈ Rn (2.38) hay qTz− k X i=1 µifi(zi) ≥ qTx− k X i=1 µifi(xi) ∀z ∈ Rn.
i·u n y câ ngh¾ax l iºm cüc tiºu cõa h m g(z) =qTz−Pk
i=1µifi(zi)
tr¶n Rn. Theo M»nh · (2.1.1), ta câ 0 ∈ ∂g(x). Do â, tçn t¤i v²ctì q ∈ Rn sao cho p= k M i=1 µiqi, (2.39) −qi ∈ ∂(−fi)(xi) i = 1,2, ..., k, (2.40) trong â L
kþ hi»u l têng trüc ti¸p, ∂(−fi)(xi) l tªp d÷îi vi ph¥n cõa −fi t¤i xi vîi måi i = 1,2, ..., k. Tø (2.40) ta câ
fi(0) ≤fi(xi)−(qi)Txi, fi(2xi) ≤ fi(xi) + (qi)Txi.
Do â,
(qi)Txi ≤ fi(xi), fi(xi) ≤(qi)Txi. H» qu£ l fi(xi) = (qi)Txi. Ngo i ra, ta câ
fi(xi)−f(xi) ≥ (qi)Txi−(qi)Txi ∀xi ∈ Rni hay fi(xi)−(qi)Txi + (qi)Txi ≥ fi(xi) ∀xi ∈ Rni. Do â fi(xi) = max{fi(xi)−(qi)Txi+ (qi)Txi, ∀xi ∈ Rni} = max{fi(xi)−(qi)Txi+ (qi)Txi, xi ≥0} = max{fi(xi) : (qi)Txi ≤ (qi)Txi, xi ≥ 0} = max{fi(xi) : (qi)Txi ≤ f(xi), xi ≥ 0}. °t I = {i ∈ {1,2, ..., k} : fi(xi) > 0}. Vîi i ∈ I ta câ sup{fi(xi) : (qi)Txi ≤1, xi ≥ 0} = sup{fi(xi) : (qi)T(fi(xi)xi) ≤fi(xi), xi ≥ 0} = sup{fi( 1 fi(xi)x i ) : (qi)Txi ≤ fi(xi), xi ≥ 0} = 1 fi(xi) sup{fi(xi) : (qi)Txi ≤ fi(xi), xi ≥ 0} = 1.
i·u n y suy ra fi\(qi) = 1 ∀x ∈ I. Do vªy,
M°t kh¡c, thay z = 0 v o (2.38) ta ÷ñc 1 ≤ k X i=1 µifi(xi). Do â, 1 ≤X i∈I fi(xi)fi\(pi) = k X i=1 fi(xi)fi\(pi). K¸t hñp i·u n y vîi (2.24) ta câ
k
X
i=1
fi(xi)fi\(pi) = 1.
Kh¯ng ành thù hai cõa ành lþ ÷ñc chùng minh t÷ìng tü.
K¸t qu£ cõa ành lþ 2.2.14 v M»nh · 2.2.11 ch¿ ra r¬ng (2.25) l ¯ng thùc èi ng¨u gióp °c tr÷ng cho c°p nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cho c¡c b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u (2.20) v (2.21). Do â, ành lþ 2.2.14 ÷ñc xem l ành lþ èi ng¨u m¤nh cõa c¡c b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u n y.
K¸t luªn cõa Ch÷ìng 2
C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng n y bao gçm: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- i·u ki»n c¦n v õ tèi ÷u d÷îi d¤ng mð rëng cõa nguy¶n lþ Fermat trong ành lþ 2.1.2.
- Sì ç èi ng¨u m¤nh, èi xùng cho b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng khæng lçi trong ành lþ 2.1.8, ành lþ 2.1.9 v H» qu£ 2.1.11.
- Sì ç èi ng¨u m¤nh v èi xùng cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u khæng lçi v ÷a ra ¯ng thùc èi ng¨u gióp °c tr÷ng cho c°p nghi»m
húu hi»u y¸u Pareto cõa b i to¡n gèc v èi ng¨u trong ành lþ 2.2.10, M»nh · 2.2.11 v ành lþ 2.2.14.