bậc hai
Trước hết, ta khảo sát phương trình đại số với hệ số thực dạng m
x+γ =x, m6= 0. (2.31)
Phương trình (2.31) tương đương với phương trình bậc 2
Phương trình (2.32) có nghiệm thực khi và chỉ khi ∆ :=γ2+ 4m≥0. (i) Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2.32) có nghiệm kép x0 =−γ
2·
(ii) Nếu ∆>0 thì phương trình (2.32) có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2 =−γ
2 ∓ √
∆ 2 ·
Trong trường hợp khi ∆< 0 thì phương trình (2.32) có 2 nghiệm phức liên hợp z1,2 =−γ 2 ∓ i √ −∆ 2 ·
Tiếp theo, ta chỉ ra cách đặt ẩn số phụ để đưa phương trình đại số tổng quát sinh bởi hàm phân tuyến tính ω(x) dạng
αx+β x+γ =x, αγ−β 6= 0 (2.33) về phương trình dạng (2.31). Ta sử dụng các đồng nhất thức sau αx+β x+γ =α+ β−αγ x+γ và viết phương trình dạng (2.33) dưới dạng
α+β−αγ x+γ =x⇔α+ β−αγ (x−α) + (γ+α) = (x−α) +α, hay β−αγ t+ (γ+α) =t, (2.34) trong đó t=x−α. Rõ ràng phương trình (2.34) có dạng (2.31).
Trường hợp đặc biệt khi γ+α= 0 thì phương trình (2.34) có dạng đơn giản β+α2
t =t (2.35)
và hàm phân tuyến tính tương ứng
ω(x) = αx+β x+γ có tính chất đặc biệt
tức hàm ω(x) là phép biến đổi đối hợp. Tiếp theo, xét
ω(x) = αx+β
γx+δ,(αδ−βγ6= 0) (2.36) (bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho α, β, γ, δ cho ±p|αδ−βγ|) ta có thể đưa (2.36) về dạng sau:
ω(x) = ax+b
cx+d,(ad−bc=±1) Khi đó, ta có kết quả sau (xem[1])
Bổ đề 2.1. Giả sử
ω(x) = ax+b
cx+d (ad−bc=±1).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để hàm phân tuyến tính ω(x)có tính đối hợp bậc n là
|a+d|=±2 cosmπ
n , m= 1,2, . . . , n−1 (2.37)