Trong phần này, ta xét lớp các phương trình hàm sinh bởi hàm bậc nhất dạng f(αx+β) =af(x) +b trong đó α, β, γ, a, b là các hằng số thực, a 6= 0, αγ −β 6= 0. Ta minh họa cách giải ứng với các trường hợp thông qua các bài toán cụ thể sau đây.
Bài toán 2.1. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+ 2) =f(x)−3, ∀x∈R. (2.1)
Giải. Ta để ý rằng −3 =−3
2(x+ 2) + 3 2x. Vì vậy, ta có thể viết (2.1) dưới dạng
f(x+ 2) + 3 2(x+ 2) =f(x) + 3 2x, hay g(x+ 2) =g(x),vớig(x) =f(x) + 3 2x, ∀x∈R. Vậy f(x) =g(x) + 3 2x,
với g(x) là hàm số tùy ý sao cho g(x+ 2) =g(x), ∀x∈R. Kết luận:
f(x) = g(x) + 3
Bài toán 2.2. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+ 2) = 3f(x), ∀x∈R. (2.2) Giải. Đặt f(x) = 3x2.g(x). Thế vào (2.2) ta được
3x+22 .g(x+ 2) = 3.3x2.g(x)
⇔g(x+ 2) =g(x), ∀x∈R
Kết luận:
f(x) = 3x2.g(x),trong đóg(x)là hàm tuần hoàn chu kì 2 là tùy ý.
Bài toán 2.3. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+ 2) =−3f(x), ∀x∈R. (2.3) Giải. Đặt f(x) = 3x2.g(x). Thế vào (2.3), ta được
3x+22 .g(x+ 2) =−3.3x2.g(x). ⇔g(x+ 2) =−g(x), ∀x∈R. ⇔ g(x+ 2) =−g(x), ∀x∈R, g(x+ 4) =g(x)∀x∈R. (2.4) ⇔ ( g(x) = 1 2 g(x)−g(x+ 2)], g(x+ 4) =g(x), ∀x∈R. (2.5) Ta chứng minh mọi nghiệm của (2.5) có dạng
g(x) = 1 2
h(x)−h(x+ 2)]trong đó h(x+ 4) =h(x),∀x∈R. (2.6)
Điều kiện đủ: Mọi hàm xác định bởi (2.6) đều là nghiệm của (2.4). Thật vậy g(x+ 2) = 1
2[h(x+ 2)−h(x+ 4)] = 1
2[h(x+ 2)−h(x)] =−1
2[h(x)−h(x+ 2)] =−g(x)
Điều kiện cần: Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (2.4) đều có dạng (2.6). Điều này hiển nhiên vì, (2.4) ⇔ (2.5) mà (2.5) lại có dạng (2.6).
Kết luận:
Bài toán 2.4. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện: f(x+ 2) =−3f(x) + 5, ∀x∈R. (2.7) Giải. Đặt f(x) = 5 4 +g(x), ∀x∈R. Thế vào (2.7) ta được 5 4 +g(x+ 2) =−3 5 4 +g(x) + 5 ⇔g(x+ 2) =−3g(x), ∀x∈R. Áp dụng bài toán (2.3) ở trên ta có
Kết luận:
f(x) = 3x2.g(x)+5
4, trong đóg(x) = 1 2
h(x)−h(x+2)] vàhlà hàm tuần hoàn chu kì 4.
Bài toán 2.5. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(2−x) = 3f(x)−1, ∀x∈R. (2.8) Giải. Đặt f(x) = 1 2 +g(x). Thế vào (2.8) ta được 1 2+g(2−x) = 3 1 2 +g(x) −1 ⇔g(2−x) = 3g(x), ∀x∈R. (2.9) Đặt x= 1 +t, thì 2−x= 1−t. Thế vào (2.9) ta được h(−t) = 3h(t), ∀t∈R, (2.10) trong đó h(t) =g(t+ 1). Thay t bởi −t trong (2.10) ta được :
h(t) = 3h(−t), ∀t∈R. (2.11) Từ (2.10) và (2.11) ta suy ra h(t) = 0, ∀t ∈R, hay
g(t)≡0, ∀t∈R.
Kết luận:
Vậyf(x) = 1
Bài toán 2.6. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(2x) = 3f(x)−4, ∀x∈R+. (2.12) Giải. Đặt f(x) = 2 +g(x). Thế vào (2.12), ta được
2 +g(2x) = 3(2 +g(x))−4,
⇔g(2x) = 3g(x), ∀x∈R+. (2.13) Đặt g(x) = x log23h(x). Thế vào (2.13), ta được:
(2x) log23 h(2x) = 3.x log23 .h(x) ⇔h(2x) =h(x), ∀x∈R+. (2.14) Do x >0 nên đặt x= 2t thì (2.14) có dạng h(2t+1) =h(2t), hayϕ(t+ 1) =ϕ(t)∀t∈R,
trong đó ϕ(t) = h(2t). Điều này chứng tỏ hàm ϕlà hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 1.
Kết luận: Vậy f(x) = 2 +x log23ϕ( log2x), trong đó ϕ(t) là hàm số tuần hoàn chu kì 1 tùy ý.
Bài toán 2.7. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện:
f(3x−1) = 2f(x)−3, ∀x∈R. (2.15) Giải. Đặt f(x) = 3 +g(x). Thế vào (2.15) ta được
3 +g(3x−1) = 2.(3 +g(x))−3 ⇔g(3x−1) = 2g(x), ∀x∈R. (2.16) Đặt x= 1 2 +t ⇒3x−1 = 1 2 + 3t. Thế vào (2.16) ta được g(1 2+ 3t) = 2g( 1 2+t), ∀t∈R. hay h(3t) = 2h(t), trong đóh(t) = g(1 2 +t). (2.17) Nếu t = 0⇒h(0) = 0⇒f(x) = 3
Nếut6= 0. Đặth(t) =|t| log32ϕ(t). Khi đó (2.17) được viết dưới dạngϕ(3t) =ϕ(t) Kết luận:
f(x) = (
3 +|x− 12| log32ϕ(x−12) nếux6= 12,
3 nếux= 12,
Bài toán 2.8. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(−3x−1) = 2f(x)−3, ∀x∈R. (2.18)
Giải. Đặt f(x) =g(x) + 3. Khi đó (2.18) được viết dưới dạng g(−3x−1) + 3 = 2[g(x) + 3]−3, ∀x∈R,
hay
g(−3x−1) = 2g(x), ∀x∈R. (2.19) Đặt x=−14 +t, ta có (2.19) được viết dưới dạng
g(−3t− 1
4) = 2g(t−1
4), ∀t∈R. (2.20) Đặt g(t− 14) = h(t). Khi đó (2.20) được viết dưới dạng
h(−3t) = 2h(t), ∀t ∈R. (2.21)
Với t= 0⇒h(0) = 0⇒f(x) = 3
Với t6= 0. Đặt h(t) =|t| log32ϕ(t). Khi đó (2.21) được viết dưới dạng
| −3t| log32ϕ(−3t) = 2|t| log32ϕ(t), ∀t∈R ⇔ϕ(−3t) = ϕ(t), ∀t∈R Kết luận: f(x) = ( |x+ 14| log32ϕ(x+ 14) + 3 vớix6=−14, 3 vớix=−14,
trong đóϕlà một hàm số xác định sao cho:ϕ(−3t) = ϕ(t), ∀t ∈R.
Bài toán 2.9. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(3x−1) = −2f(x)−3, ∀x∈R. (2.22)
Giải. Đặt f(x) =g(x) + 1. Khi đó (2.22) được viết dưới dạng
g(3x−1) =−2g(x), ∀x∈R. (2.23)
Đặt x= 12 +t. Khi đó (2.23) được viết thành g(3t+ 1
2) = −2g(t+1
Đặt h(t) =g(t+12). Khi đó (2.24) được viết dưới dạng
h(3t) = −2h(t), ∀t ∈R. (2.25)
Đặt h(t) =|t| log32ϕ(t), thế vào (2.25) ta được ϕ(3t) =−ϕ(t), ∀t ∈R. Kết luận:
f(x) = (
|x− 12| log32ϕ(x− 12) + 1 vớix6= 12,
1 vớix= 12,
trong đóϕlà một hàm số phản tuần hoàn nhân tính chu kì 3 trên R.
Bài toán 2.10. Hãy xác định hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện
f(x)f(3−x) = 1, ∀x∈R. (2.26)
Giải. Từ (2.26) suy ra f(x) 6= 0, ∀x ∈ R. Do f(x) liên tục trên R nên hoặc f(x)>0, ∀x∈R hoặc f(x)<0, ∀x∈R.
Trường hợp 1: f(x)>0, ∀x∈R.
Lấy lôgarit cơ số e hai vế của (2.26) ta được: lnf(x) + lnf(3−x) = 0 Suy ra
g(x) +g(3−x) = 0, ∀x∈R. (2.27) trong đóg(x) = lnf(x), g(x)là hàm liên tục (dof(x)) là liên tục vàf(x)>0, ∀x∈
R.)
Vì g(x) +g(3−x) = 0, ∀x∈R, nên suy ra
g(x) = 1
2[g(x)−g(3−x)], ∀x∈R. (2.28) Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (2.27) đều có dạng
g(x) = 1
2[h(x)−h(3−x)], ∀x∈R. (2.29) trong đó h là hàm tùy ý liên tục trên R.
Điều kiện cần:
- Ta chứng minh mọi nghiệm của (2.27) đều có dạng (2.29). Điều này là hiển nhiên vì (2.27) ⇔ (2.28) mà (2.28) có dạng (2.29).
-Ta chứng minh (2.29) là nghiệm của (2.28). Thật vậy: Có g(3−x) = 1
2[h(3−x)−h(3−(3−x))] = 1
2[h(3−x)−h(x)] =−g(x). Suy ra, g(3−x) +g(x) = 0 tức là (2.29) là nghiệm của (2.26).
Từ đó ta có
f(x) = eg(x) = e12[h(x)−h(3−x)]
trong đó h(x) là hàm bất kì liên tục trên R.
Hiển nhiên hàm f(x) xác định như trên thỏa mãn (2.26) .
Trường hợp 2: f(x)<0, ∀x∈R.
Xét hàm g(x) = −f(x), ∀x ∈ R, thì g(x) > 0, ∀x ∈ R và g(x) cũng liên tục trên R. Thế vào (2.26) ta có
g(x)g(3−x) = 1, ∀x∈R. (2.30) Làm tương tự như trường hợp 1 nghiệm của phương trình (2.30) có dạng
g(x) = e12[h(x)−h(3−x)],
trong đóh(x)là hàm bất kì liên tục trên R. Suy ra
f(x) = −e12[h(x)−h(3−x)] trong đóh(x)là hàm bất kì liên tục trên R
Kết luận:
"
f(x) = e12[h(x)−h(3−x)], f(x) = −e12[h(x)−h(3−x)], trong đó h(x) là hàm bất kì liên tục trên R.
2.2. Phương trình hàm dạng f αx+β x+γ = af(x) + b