Bài toán 3.10 (THTT-T4/2008). Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực P(x)
thỏa mãn điều kiện
P(P(x) +x) = P(x)P(x+ 1), với∀x∈R. (3.24) Giải. Giả sử bậc của đa thức P(x) là degP(x) =n.
Nhận xét rằng hai vế của (3.23) đều là các đa thức. So sánh bậc lũy thừa hai vế của (3.24), ta thu được
n2 = 2n ⇔ n= 0 n= 2.
i) Khi n = 0, ta được đa thức hằng P(x) ≡ C. Thế vào (3.23), thu được phương trình
c=c2 ⇔ c= 0 c= 1.
Vậy P(x)≡0 và P(x)≡1 là các đa thức hằng thỏa mãn bài ra. ii) Xét n= 2. Giả sử P(x) =ax2+bx+c, a6= 0.
So sánh hệ số cao nhất trong (3.24) ta thu được a3 =a2⇔a = 1.
VậyP(x) = x2+bx+c, vớib, c∈R. (3.25) Ta chứng minh mọi đa thức P(x) có dạng (3.25) đều thỏa mãn bài ra.
Thật vậy, ta có P(x).P(x+ 1) =P(x)(x2+bx+c+ 2x+b+ 1) =P(x)(P(x) + 2x+b+ 1) = (P(x))2+ 2xP(x) +bP(x) +P(x) = (P(x) +x)2+b(P(x) +x) +P(x)−(x2+bx) = (P(x) +x)2+b(P(x) +x) +c=P(P(x) +x), với ∀x∈R.
Vậy các đa thức cần tìm là P(x)≡0, P(x)≡1 và P(x) = x2+bx+c với b, c∈R.
Bài toán 3.11 (Olympic 30-4). Tồn tại hay không các đa thức P(x) và Q(x)
thỏa hệ thức P(x) Q(x) = p x2+ 2002, ∀x∈R. Giải.
Giả sử tồn tạiP(x)vàQ(x)thỏa;P(x) Q(x) =
p
x2+ 2002 (3.26) Suy ra, P2(x) = Q2(x)(x2+ 2002) ⇒ deg(P(x)) = deg(Q(x)) + 1.
Mặt khác từ (3.26) suy ra P(x)
Q(x) xác định ∀x ∈ R. Suy ra, Q(x) không đổi dấu trên R.
Suy ra, Q(x) có bậc là số tự nhiên chẵn.
Suy ra, P(x) có bậc là số tự nhiên lẻ ⇒ ∃x0 ∈R:P(x0) = 0. Điều này vô lí vì √x2+ 2002>√2002>0, ∀x∈R.
Bài toán 3.12. Tìm tất cả các đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện
xf(x−1) = (x−3)f(x). (3.27) Giải. Trong (3.27) cho x= 0 suy ra,f(0) = 0
Trong (3.27) cho x= 1 suy ra, f(1) = 0 Trong (3.27) cho x= 2 suy ra,f(2) = 0
Từ đó, ta suy ra f(x) đồng thời chia hết cho x, x−1, x−2. Nên f(x) =x(x−1)(x−2).Q(x), trong đó Q(x) là đa thức. Thay vào (3.27), ta được
x(x−1)(x−2)(x−3).Q(x−1) =x(x−1)(x−2)(x−3), Q(x) hay
Q(x) = Q(x−1)
Suy ra, Q(x) là hàm tuần hoàn, nên Q(x) = C (C là hằng số). Vậy f(x) = Cx(x−1)(x−2) với C là hằng số tùy ý.
Bài toán 3.13. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa
degP(x)>1, (x+ 1)(x2−3).P00(x)−(x2+x).P0(x) + 3P(x) = 0,∀x∈R, P(1) = 6. (3.28) Giải. Ta có P(x) =a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an (a06= 0) P0(x) = a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+· · ·+ 2an−2x+an−1 P00(x) = a0n(n−1)xn−2+a1(n−1)(n−2)xn−3+· · ·+ 2an−1
Khi đó (3.28) tương đương
[n(n−1)a0−na0].xn+1+Q(x) = 0, ∀x∈R, trong đó Q(x) là một đa thức có degQ(x)6n.
Suy ra
n(n−1)a0−na0= 0 ⇔n2−2n = 0⇔n = 2.
Vậy P(x) =ax2+bx+c(a = 0)6 , P0(x) = 2ax+b, P00(x) = 2a. Thay vào (3.28) ta được (3a−b)x2+ (−6a+ 2b)x−6a+ 3c= 0, ∀x∈R.
⇔ 3a−b= 0 −6a+ 2b = 0 −6a+ 3c= 0. ⇔ b= 3a c= 2a Suy ra,P(x) = ax2+ 3ax+ 2a,mà P(1) = 6⇒a= 1. Vậy P(x) = x2+ 3x+ 2 là đa thức cần tìm.
Bài toán 3.14. Tìm tất cả các đa thức f(x) thỏa mãn
2f(x) +f(1−x) = mx2 (m ∈R)vàf(1) = 2.
Giải. Vì các biểu thức dưới dấu f là bậc nhất: x; x−1, vế phải là biểu thức có bậc không quá 2 nên f(x) là bậc không quá 2.
Vậy f(x) có dạng: f(x) =ax2+bx+c Khi đó 2f(x) +f(1−x) =mx2⇔3ax2+ (b−2a)x+a+b+ 3c=mx2. Đồng nhất hai vế ta được hệ ⇔ 3a=m b−2a= 0 a+b+ 3c= 0 ⇔ a= m3 b = 23m c=−m3 Vậy f(x) = 13(mx2+ 2mx−m). Vì f(1) = 2⇔ 13.2m = 2⇔m= 3. Do đó f(x) =x2+ 2x−1.
Thử lại, ta thấy f(x) =x2+ 2x−1. thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đảo lại, giả sử có một đa thức g(x) không đồng nhất với f(x) thỏa yêu cầu bài toán khi đó ∃x0 sao cho f(x0)6=g(x0).
Ta có
2g(x0) +g(1−x0) =x20
2g(1−x0) +g(x0) = (1−x0)2 ⇒g(x0) = x20+ 2x0−1 =f(x0) .Mâu thuẫn.
Vậy đa thức f(x) =x2+ 2x−1. là đa thức duy nhất cần tìm.
Bài toán 3.15 (THTT-T11/2008). Xác định tất cả các đa thức với hệ số thực
P(x), Q(x) và R(x) thỏa mãn điều kiện p
P(x)−pQ(x) = R(x), ∀x∈R.
Giải. Ta viết điều kiện bài ra dưới dạng p P(x) = pQ(x) +R(x) ⇔ P(x)>0, Q(x)>0, pQ(x) +R(x)>0, ∀x∈R P(x) =Q(x) + (R(x))2+ 2R(x)pQ(x), ∀x∈R.
Từ đó R(x).pQ(x) là một hàm đa thức. Vậy hoặcR(x)≡0 hoặc Q(x)≡(M(x))2 với M(x) là một đa thức.
Trường hợp R(x) ≡0, từ điều kiện p
P(x) =pQ(x) +R(x), suy ra P(x)≡Q(x), ta thu được
(P(x), Q(x), R(x)) = (0, T(x), T(x))vớiT(x)là đa thức tùy ý, là nghiệm của bài toán.
Trường hợp Q(x) ≡ (M(x))2. Thế vào điều kiện pP(x) = pQ(x) +R(x) ta thu được
p
P(x) = M(x) +R(x), hay P(x) = (M(x) +R(x))2, ∀x∈R.
Vậy P(x)≡(N(x))2 trong đó N(x) là một đa thức.
Từ các điều kiện Q(x)≡(M(x))2 và P(x)≡(N(x))2, ta thu được R(x) =N(x)−
M(x), tức là
(P(x), Q(x), R(x)) = (N(x)2, M(x)2, N(x)−M(x)) với M(x), N(x) là các đa thức tùy ý thỏa mãn điều kiện bài ra.
KẾT LUẬN
Dưới sự hướng dẫn khoa học của NGND. GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu cùng với sự nỗ lực học tập và nghiêm túc nghiên cứu của bản thân, các kết quả chính của luận văn "Một số phương pháp giải phương trình hàm một biến" đã được trình bày theo hệ thống sau đây:
1- Trình bày về một số phương pháp giải phương trình hàm một biến. Trong mỗi phương pháp, tác giả đã cố gắng chọn lọc, sưu tầm các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, khu vực, quốc tế và các bài toán trong tạp chí toán học tuổi trẻ cũng như sáng tạo một số bài toán để minh họa cho từng phương pháp giải. Thông qua đó, giúp cho học sinh phổ thông dễ nắm bắt được từng phương pháp, vận dụng thực hành để ứng dụng trong việc giải phương trình hàm một biến.
2- Nghiên cứu một số dạng phương trình hàm một biến.
Tác giả đã phân loại phương trình hàm một biến dựa vào phép biến đổi đối số, xây dựng được mối liên hệ giữa hàm phân tuyến tính và phương trình bậc hai và đưa ra điều kiện để hàm phân tuyến tính ω(x) có tính đối hợp bậc n.
3- Nghiên cứu một số dạng phương trình hàm trong lớp đa thức đã có sơ đồ lời giải.
Mặc dù, tác giả đã hết sức cố gắng và nghiêm túc trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, nhưng do thời gian và khả năng có hạn, chắc chắn luận văn này còn có những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Phương trình hàm, NXBGD.
[2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến, 2009, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXBGD.
[3] Nguyễn Trọng Tuấn, 2005, Bài toán hàm số qua các kì thi Olympic, NXBGD.
[4] Các bài thi Olympic toán trung học phổ thông Việt nam (1990-2006),
NXBGD, 2007.
[5] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXBGD, 2000, 2006, 2008 và 2010.
[6] Một số chuyên đề toán học hệ chuyên THPT, Kỷ yếu hội nghị khoa học,
2007.
[7] Venkatachala B.J, 2003, Functional Equations- A Problem Solving Ap-
proach, Prism Books PVT LTD, Bangalore, India.
[8] Christopher G.Small, 2007, Functional Equations and How to Solve Them, Springer Sicience + Business Media, LLC, NewYork.