Các tính chất của lôgic vị từ cấp

• Nếu G là T theo I, ta nói I là model của G

• G là valid (tautology-hằng đúng) nếu với mọi diễn giải I, G đều là T, ngược lại G là non-valid

• G là inconsistent (contradiction) nếu với mọi diễn giải, G đều là F, ngược lại G là consistent.

• Ví dụ: G1 = (∀X)(P(X) ∨ ¬Q(X)) là consistent vì với I1: D={1}, P(1)=T, Q(1)=T, thì G là T; nhưng G là non-valid vì với I2: D={1}, P(1)=F, Q(1)=T, thì G là F

Các tính chất của lôgic vị từ cấp 1

• Tính quyết định được và tính nửa quyết định được:

– Không tìm được 1 thuật toán tổng quát để quyết định xem với 1 số hữu hạn các phép toán có thể xác định 1 công thức bất kỳ là valid hay không. Như vậy, lôgic vị từ cấp 1 là indecidability.

– Có thể xây dựng các thuật toán tổng quát để xác định validability của một họ các CTC. Vì vậy, lôgic vị từ cấp 1 được gọi là half-decidability.

Các tính chất của lôgic vị từ cấp 1

• Hai công thức G và H là tương đương nếu và chỉ nếu nó có cùng giá trị theo mọi diễn giải, viết ∀I:

I(G)=I(H). Ví dụ: – GH = ¬G∨H – G↔H = (GH) ∧ (HG) – ¬(¬G) = G – Luật De Morgan: • ¬(G ∧ H) = ¬G ∨ ¬H • ¬(G ∨ H) = ¬G ∧ ¬H

– Luật phân phối:

• G ∧ (H ∨ K) = (G ∧ H) ∨ (G ∧ K)• G ∨ (H ∧ K) = (G ∨ H) ∧ (G ∨ K) • G ∨ (H ∧ K) = (G ∨ H) ∧ (G ∨ K)

Các tính chất của lôgic vị từ cấp 1

• Luật giao hoán:

– G ∧ H = H ∧ G

– G ∨ H = H ∨ G

• Luật kết hợp cho phép bỏ dấu ngoặc:

– G ∧ (H ∧ K) = (G ∧ H) ∧ K

– G ∨ (H ∨ K) = (G ∨ H) ∨ K

• Luật đối vị: GH = ¬H  ¬G

• Luật thay tên biến:

– (∀X)G(X) tương đương (∀Y)G(Y)

– (∃X)G(X) tương đương (∃Y)G(Y)

• ¬((∀X)G(X)) = (∃X)(¬G(X))

• ¬((∃X)G(X)) = (∀X)(¬G(X))

• (∀X)(G(X)∧H(X)) = ((∀X)G(X))∧((∀X)H(X))