Nhƣ ta đó thấy trong phần trƣớc, quỏ tỡnh tỡm kiếm tỉ mỉ về PSD tối ƣu dẫn đến vấn đề khú khăn trong tớnh toỏn. Lý do đƣợc liệt kờ ra sau đõy. Ràng buộc về cụng suất tổng trờn mỗi đƣờng dõy làm cho bài toỏn phõn bố cụng suất đƣợc ghộp với tần số. Do vậy ta phải tỡm kiếm PSD trờn tất cả cỏc õm tần. Điều này dẫn đến một bài toỏn khú với độ phức tạp theo hàm mũ củaK.[10]
Để khắc phục khú khăn này ta thay việc tối ƣu hoỏ với cụng suất ràng buộc (4.11), bằng tối ƣu hoỏ cụng suất gỏn khụng ràng buộc theo hàm Lagrange (4.17). Trong hàm Lagrange tổng ràng buộc cụng suất đƣợc tớnh thụng qua cỏc hệ số Lagrange 1 và 2 tạo thành một phần của hàm cost (hao phớ). Khi 1 và 2 đƣợc chọn chớnh xỏc, cực đại hàm Lagrange sẽ thoả món cỏc ràng buộc cụng suất. Nhƣ vậy ràng buộc cụng suất khụng cần thể hiện cụ thể và vấn đề cú thể tỏch riờng ra khỏi tần số.
Khi vấn đề đƣợc tỏch riờng ra ta cú thể giải quyết tối ƣu bằng cỏch cực đại hàm Lagrange một cỏch độc lập với mỗi õm tần. Điều này dẫn đến sự phức tạp tớnh toỏn là tuyến tớnh chứ khụng phải theo hàm mũ củaK. Đõy chớnh là bƣớc đột phỏ chớnh của phƣơng phỏp quản lý phổ tối ƣu.
Ta bắt đầu trong phần 4.3.1.6 bằng cỏch thay thế bài toỏn tối ƣu hoỏ ban đầu (4.11), bằng tối ƣu hoỏ tổng tốc độ cú trọng số cực đại (4.15). Chọn trọng số wchớnh xỏc,
cực đại (4.15) tức là đó ràng buộc tốc độ đớch lờn ngƣời dựng 1. Trọng số w bản thõn nú cú dạng cỏc hệ số nhõn Lagrange.
Trong phần 4.3.1.7 ta thờm hệ số nhõn Lagrange vào tổng tốc độ cú trọng số để tạo nờn hàm Lagrange. Ta sẽ thấy là cực đại hàm Lagrange là tƣơng đƣơng với giải bài toỏn tối ƣu ban đầu (4.11), và hàm Lagrange cú thể tỏch riờng và cực đại độc lập trờn mỗi õm tần.
Dựng hàm Lagrange để giải quyết gỏn tối ƣu cú ràng buộc theo cỏch khụng bị ràng buộc là cỏch dựng thụng thƣờng trong lý thuyết tối ƣu lồi và đƣợc hiểu nhƣ là phƣơng phỏp phõn tớch đối ngẫu (kộp). Phõn tớch đối ngẫu đó đƣợc ỏp dụng trong cỏc vấn đề truyền thụng với hàm hao phớ lồi nhƣ định tuyến liờn kết, phõn phối tài nguyờn và phõn phối cụng suất trong kờnh đa truy cập vector. Trong phần này ta thấy rằng phƣơng phỏp phõn tớch đối ngẫu cú thể đƣợc ỏp dụng cho tối ƣu hoỏ khụng lồi.