2.2.3.1. Định nghĩa:
Đồ thị bao đóng là đồ thị mà bậc của các nút giảm theo hàm mũ.
P(k)~ck−γ
26
Hình 11. Đồ thị bao đóng
Đồ thị bao đóng là đồ thị ER với bậc của các đỉnh trong đồ thị biến thiên theo hàm đa thức. Đặc điểm dễ phân biệt ở đồ thị bao đóng so với đồ thị ngẫu nhiên là đồ thị bao đóng có một số ít các nút có bậc rất cao, trong khi phần lớn các nút còn lại có bậc trung bình.
27
Có thể kể đến một số ví dụ về đồ thị bao đóng, nhƣ đồ thị nhƣ mạng các tuyến đƣờng trong một quốc gia, mạng các tuyến máy bay, đồ thị World Wide Web, hay đồ thị mạng Internet.
2.2.3.2. Tính chất
Đồ thị bao đóng là một dạng đặc biệt của đồ thị ngẫu nhiên, nó cũng có tính chất tƣơng tự nhƣ đồ thị ngẫu nhiên. Khi số cạnh đủ lớn thì đồ thị là cũng đồ thị liên thông. Ngoài ra đồ thị bao đóng cũng có một số đặc điểm riêng sau.
a) Đƣờng kính đồ thị nhỏ
Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng so sánh với đồ thị ngẫu nhiên có cùng cỡ và cùng số đỉnh thì mặc dù chƣa có công thức tổng quát tính độ dài trung bình về đƣờng kính đồ thị nhƣng các kết quả tính toán thực tế cho thấy độ dài này nhỏ hơn một chút so với độ dài đồ thị ngẫu nhiên. Điều này là do sự tồn tại của một vài nút với bậc rất cao đóng vai trò “chìa khóa” trong việc mang các node khác nhau trong mạng đến gần nhau hơn. Thực tế với mạng các router của mạng Internet với 150 nghìn nút thì đƣờng kính của mạng cũng chỉ ~ 12 nút trung gian[11].
b) Độ phân cụm cao
Do có một số nút có bậc cao, các nút này làm tăng xác suất nếu hai nút có cạnh đến một nút thứ ba thì cũng có cạnh đến nhau. Vì vậy tính phân cụm của đồ thị bao đóng cao hơn so với đồ thị ngẫu nhiên.
c) Phù hợp với các mô hình thực tế
Đối với đồ thị ngẫu nhiên, các cạnh phân phối đều đến các nút với xác suất không thay đổi, tuy nhiên điều này không đúng trong thực tế. Chẳng hạn đối với mạng World Wide Web, hay mạng lƣới giao thông, ta có thể thấy có một số nút mạng có rất nhiều liên kết, trong khi số còn lại có ít liên kết và có nhiều khả năng có nhiều liên kết hơn nữa, điều này gọi là hiện tƣợng “rich get richer”.
2.2.3.3. Xây dựng đồ thị bao đóng
Barabasi-Albert (BA) đƣa ra cách xây dựng một mạng mang cấu trúc của mạng bao đóng [11] đó là việc phát triển thêm nút và chiến lực ƣu tiên gắn thêm cạnh.
28
Phƣơng pháp này đã đƣợc chứng minh bằng thực tế bởi hầu hết các mạng tiếp tục phát triển bằng cách thêm các nút mạng mới và các nút mới đƣợc ƣu tiên gắn với các nút đã tồn tại với một số lớn các kết nối (hiện tƣợng “rich-get-richer”).
Tiến trình tạo ra một mô hình BA đƣợc tiến hành theo thuật toán:
1. Khởi tạo: Bắt đầu với một lượng nhỏ mo các node
Lặp lại quá trình tạo thêm các nút mạng: một nút mới được thêm vào nó được liên kết với m ≤ mo các nút đã tồn tại.
2. Sự gắn thêm ưu tiên:
Xác suất ∏i mà một nút mới với nút i (một trong số các nút đang tồn tại) phụ thuộc vào cấp ki của nút i hay ∏i=ki/∑jkj
Hình 13. Xây dựng đồ thị bao đóng
Sau t lần các bƣớc, kết quả của thuật toán này trong một mạng với N= t+ mo nút và mt cung. Phát triển theo 2 luật này, mạng phát triển thành trạng thái scale-invariant (rộng bất biến). Độ phân cụm tƣơng ứng đƣợc thể hiện bởi hàm lũy thừa với số mũ 3, đó là xác suất tìm một node có k cung là có tỉ lệ với k-3.
29
2.2.4.Mạng thế giới nhỏ
Lịch sử hình thành:
Năm 1967, Milgram và các đồng nghiệp đã làm một thí nhiệm đánh giá khoảng cách trung bình của mạng xã hội những công dân Mỹ. Ông chuẩn bị những lá thƣ để gửi đến cho một ngƣời bạn, và yêu cầu ngẫu nhiên một số ngƣời ở Kansas và Nebraska chuyển giúp. Thông tin chuyển thƣ chỉ bao gồm: Tên ngƣời nhận, nghề nghiệp (stock broker) và thành phố nơi ngƣời nhận sống (Boston). Ngƣời chuyển sẽ chuyển thƣ bằng cách chuyển cho ngƣời mà họ nghĩ là “gần” hơn so với ngƣời nhận. Kết quả thu đƣợc là thông thƣờng các bức thƣ có thể chuyển đến nơi mà không cần quá nhiều lần chuyển trung gian ~ 6 bƣớc chuyển. Kết quả này khá thú vị, nó mở dự đoán trong đồ thị mạng xã hội, thì khoảng đƣờng kính của đồ thị ~6 với số nút không hạn chế.
Mặc dù có thử nhiệm thú vị trên về đồ thị mạng xã hội, nhƣng vẫn không có phƣơng pháp để tạo ra dạng đồ thị có tính chất đƣờng kính đồ thị ~ 6 nhƣ trên. Năm 1998, Watts và Strogatz và sau đó năm 2000, Kleinberg đã đƣa ra những cách định nghĩa xây dựng mô hình đồ thị cho mạng thế giới nhỏ.
2.2.4.1. Mô tả mạng thế giới nhỏ.
a) Mô hình mạng thế giới nhỏ của Watts và Strogatz
Watts và Strogatz bắt đầu với một mạng dạng lƣới hình tròn các nút mạng đƣợc đánh số từ 1 đến n theo vòng tròn và mỗi nút mạng có cạnh nối đến k nút kế tiếp theo chiều kim đồng hồ. Duyệt qua mọi đỉnh trong mạng, với mỗi đỉnh thay thế một số cạnh bằng các cạnh mới đến một nút mạng ngẫu nhiên chƣa có kết nối đến đỉnh đó. Mạng xây dựng theo cách này đƣợc gọi là mạng thế giới nhỏ.
Hình bên dƣới mô tả cách xây dựng mạng thế giới nhỏ theo Watts và Strogatz. Có thể thấy mạng thế giới nhỏ là mạng trung gian giữa một mạng dạng lƣới thông thƣờng, và mạng ngẫu nhiên.
30
Hình 14. Mạng thông thường, mạng thế giới nhỏ, mạng ngẫu nhiên
b) Mô hình mạng thế giới nhỏ của Kleinberg
Cách xây dựng
Đƣa các đỉnh của đồ thị vào một lƣới r chiều. Với mỗi đỉnh của đồ thị xây dựng các cạnh theo quy tắc sau:
Thiết lập ngẫu nhiên p cạnh với các nút ở gần (short link)
Thiết lập ngẫu nhiên q cạnh với các nút ở xa (long link)
Với mỗi hàng xóm u, thì xác suất để nó có cạnh tới v là d(u,v)-r. với r là số chiều của lƣới.
31
Hình 15. Xây dựng đồ thị thế giới nhỏ theo Kleinberg trong lưới hai chiều
2.2.4.2. Tính chất của mạng thế giới nhỏ
a) Tính phân cụm cao
Hình 16. Tính phân cụm của đồ thị thế giới nhỏ
Với mạng Watts và Strogatz, do đồ thị dạng lƣới là đồ thị có tính chất, các đỉnh là hàng xóm lẫn nhau cao, tức là xác suất nếu B và C là hàng xóm của A, thì B và C cũng là hàng xóm của nhau là cao, nên khi thay thế ngẫu nhiên các cạnh của đồ thị dạng lƣới với số lƣợng cạnh vừa phải, toàn đồ thị sẽ chia thành nhiều nhóm cụm riêng rẽ, và tính phân cụm của đồ thị vẫn đƣợc bảo toàn.
32
Tƣơng tự với mạng Kleinberg đƣa ra, xác suất các nút ở gần nhau trên lƣới r chiều cơ bản xây dựng đồ thị là hàng xóm của nhau là cao, do vậy độ phân cụm của mạng cũng cao.
Tóm lại mạng thế giới nhỏ là mạng có độ phân cụm cao. b) Đƣờng kính mạng nhỏ
Một mạng dạng lƣới bình thƣờng có đƣờng kính mạng lớn, mạng ngẫu nhiên có đƣờng kính mạng trung bình, nhƣng mạng trung gian giữa mạng ngẫu nhiên, và mạng dạng lƣới có đƣờng kính nhỏ. Ngƣời ta đã chứng minh rằng nếu một mạng, có tính xác vừa có tính ngẫu nhiên, vừa có độ phân cụm cao thì độ dài đƣờng dẫn trung bình giảm mạnh. Đây là một kết quả nghiên cứu thực nghiệm trong tự nhiên. Từ đó yếu tố cơ bản để xây dựng mạng thế giới nhỏ là vừa tạo liên kết ngẫu nhiên để giảm đƣờng kính mạng. Mặt khác, duy trì các kết nối đến các nút ở gần để tạo các cụm địa phƣơng của mạng. Thực tế đƣa ra với mạng thế giới nhỏ đƣợc xây dựng khéo thì đƣờng kính của mạng ~6 không phụ thuộc vào số lƣợng nút mạng.
c) Đặc điểm về tỉ lệ hàng xóm gần, hàng xóm xa
Phần này trình bày đặc tính nhằm phân loại các topology của các mạng phủ cho các mạng ngang hàng phân tán phi cấu trúc. Một trong những đặc tính chính nhằm phân loại là tỉ lệ alpha giữa số lƣợng cạnh liên kết “ngắn” trên tổng số cạnh trong mạng. Các cạnh ngắn đƣợc lựa chọn theo một tiêu chí xác định nhƣ độ trễ hay khoảng cách giữa các nút mạng. Trong khi các đƣờng liên kết “dài” là kết quả của phép lựa chọn ngẫu nhiên hoặc từ các nút mạng ở xa.
Hệ số alpha=0 tƣơng đƣơng với mạng bao toàn bộ các cạnh là các cạnh xa, alpha=1 tƣơng đƣơng với mạng bao gồm toàn bộ các cạnh là các cạnh gần. Trong các mạng toàn các cạnh xa, tất cả các hàng xóm đều đƣợc chọn một cách ngẫu nhiên tạo thành một đồ thị ngẫu nhiên. Hệ số gần alpha càng tăng thì tính ngẫu nhiên của đồ thị càng giảm và số lƣợng liên kết ngắn tăng hay độ phân cụm của mạng cao tức là, nếu A và B liên kết gần với C, thì xác suất A và B liên kết “gần” của nhau là cao. Với hệ số alpha từ 0,5 đến 1,0 thì mạng có cả đặc tính ngẫu nhiên lẫn kết cụm, chúng ta gọi là mạng phủ “giống thế giới nhỏ”. Topology của mạng phủ “giống thế giới nhỏ” bao gồm nhiều cụm, kết nối với nhau bằng các liên kết ngắn, nhƣng giữa các cụm có một số
33
lƣợng ngẫu nhiên các kết nối dài giúp cho mạng liên thông đồng thời duy trì đƣợc đặc tính đƣờng kính ngắn của mạng ngẫu nhiên.
Ngẫu nhiên Nhiều liên kết dài Nhiều liên kết ngắn (thế giới nhỏ) Tât cả liên kết ngắn Đƣờng kính Nhỏ Nhỏ Nhỏ Cao
Tính kết nối Liên thông Liên thông Liên thông Không liên
thông
Không gian tìm kiếm
Rộng Rộng Rộng Nhỏ
Tính hiệu dụng Kém Kém Tốt Tốt
Độ “nhận biết” * Bằng 0 Bằng 0 Lớn hơn 0 Lớn hơn 0
2.3. Ứng dụng mạng thế giới nhỏ 2.3.1.Đánh giá về các lớp mạng phủ
Ba yêu cầu chính đối với mạng ngang hàng là có cấu trúc, đáng tin tƣởng và có tính mở rộng cao. Ba yêu cầu trên là ba yêu cầu cơ bản đối với kiến trúc mạng để giúp xây dựng các ứng dụng ngang hàng. Cả ba dạng lớp mạng phủ cơ bản đều giải quyết đƣợc vấn đề đảm bảo đƣa đƣợc lớp mạng phủ giúp tất cả các nút mạng tham gia có thể kết nối với nhau, tuy nhiên chúng vẫn có những yếu điểm nhất định. Ta sẽ đi sâu phân tích về tính cấu trúc phân nhóm và đƣờng kính của mạng để thấy các ƣu, nhƣợc điểm của lớp mạng phủ thế giới nhỏ so với các lớp mạng phủ khác.
a) Mạng ngẫu nhiên và mạng thế giới nhỏ
Dễ thấy ƣu điểm nổi bật của mạng ngẫu nhiên là đơn giản, dễ cài đặt tuy nhiên mạng ngẫu nhiên có tính phân nhóm không cao. Các nút mạng liên kết với nhau hoàn toàn ngẫu nhiên, theo đó tính cấu trúc của mạng không cao dẫn đến khó khăn trong việc phát triển các thuật toán đẩy mạnh khả năng tìm kiếm và chia sẻ thông tin. Ngƣợc
34
lại mạng thế giới nhỏ, các nút mạng có tính phân cụm cao. Việc phân cụm của các nút mạng lệ thuộc vào tiêu chí đánh giá khoảng cách các nút mạng với nhau. Theo đó mặc dù việc chia nhóm có tính ngẫu nhiên nhất định nhƣng các nút trong nhóm thì luôn đƣợc phân chia theo đặc trƣng ngƣời xây dựng mạng thiết kế. Đó là điểm quan trọng để làm tăng hiệu suất của mạng.
b) Mạng bao đóng và mạng thế giới nhỏ
Mạng bao đóng và mạng thế giới nhỏ đều có tính phân nhóm và có đƣờng kính mạng nhỏ, tuy nhiên mạng bao đóng có một tỉ lệ nút mạng nhất định có bậc cao hơn hẳn so với các mạng khác. Điều đó gây nên vấn đề mất cân bằng đối với các nút tham gia mạng. Hơn nữa, khi kích thƣớc mạng tăng, mạng bao đóng cũng yêu cầu có một số nút có bậc rất cao, điều này có thể gây quá tải cho các nút đó. Do vậy lớp mạng phủ bao đóng, để mở rộng, thì cần phải xây dựng theo mô hình mạng ngang hàng lai ghép, không thể xây dựng theo mạng ngang hàng thuần túy đƣợc. Đối với mạng thế giới nhỏ, các nút mạng đều có bậc xấp xỉ bằng nhau, do đó có thể thấy ở tầng lớp mạng phủ thì các nút có đóng gớp nhƣ nhau cho việc duy trì dịch vụ của mạng.
Mạng ngẫu nhiên Mạng bao đóng Mạng thế giới nhỏ
Tính cấu trúc Kém Trung bình Trung bình
Tính phân nhóm Phân nhóm yếu Phân nhóm cao Phân nhóm cao
Đƣờng kính mạng Trung bình Nhỏ Nhỏ
Kích thƣớc mạng Lớn Lớn Trung bình
Bảng 1 Bảng so sánh các lớp mạng phủ