Ta sử dụng các ký hiệu sau đây:
G = (V, E, ω)là một đồ thị không định hướng với tập đỉnh V = {v1, v2, v3,…, vn } và tập cạnh E = {e1, e2, e3,…, en},ω : E -->R+là hàm trọng lượng. Đồ thị biểu diễn một tập cạnh E = {e1, e2, e3,…, en},ω : E -->R+là hàm trọng lượng. Đồ thị biểu diễn một mạng vật lý. Tập V tương ứng với các nút, tập E tương ứng các kết nối hai chiều và hàm ω tương ứng với chi phí các kết nối (chiều dài vật lý).
∆ = {e1, e2, e3,…, en} là tập M các SLD, trong đó δi = (si, di, ni, αi, ωi)biểu diễn yêu cầu thứ i; si, di ∈ V là nút nguồn và nút đích, ni là số lightpath được yêu cầu; αi, ωi
là thời gian bắt đầu thiết lập và kết thúc kết nối. Bài toán RWA được biểu diễn bằng một tổ hợp (G, ∆).
N = V , L = E , Kmax là số các đỉnh và cạnh trong Gvà số các đường đi lớn nhất có thể thay thế luân phiên nhau cho mỗi yêu cầu (chẳng hạn như Kmax đường đi có thể thay thế luân phiên nhau cho mỗi yêu cầu (chẳng hạn như Kmax đường đi ngắn nhất được tính toán bằng giải thuật Eppstein).
Pk,i, 1 ≤k ≤Kmax, 1 ≤i≤M
Biểu diễn đường đi thứ k trong G từ siđến di.
Được gọi là một giải pháp định tuyến có thể chấp nhận cho ∆. ρ là một vecto M chiều trong đó các phần tử mang một giá trị giữa 1 và Kmax.Một lời giải định tuyến có thể chấp nhận được mô tả một cách đầy đủ bởi ρ.
Π∆ = πρ,∆ρ∈1,…, Kmax M
Là một tập các giải pháp định tuyến được chấp nhận cho ∆. Số các yếu tố trong một tập hợp là Π∆= (Kmax)M.
C : Π∆ --> N
Là hàm chi phí tính toán số các kênh bước sóng yêu cầu bởi một giải pháp định tuyến πρ,∆ . Trong một giải pháp này, một đường đi được vạch rõ cho mỗi SLD trong ∆. Mỗi lightpath của một SLD cần một kênh bước sóng trên mọi sợi quang mà nó đi qua. Cùng một kênh có thể được sử dụng bởi nhiều lightpath được cung cấp ở các thời gian khác nhau. Trong hình 7.6, các giá trị của C tương ứng là 18 (bên trái) và 14 (bên phải).
Tổ hợp bài toán tối ưu cần giải quyết là: Minimize C(πρ,∆.) ,
Với: πρ,∆∈Π∆ ,
Tức là, ta tìm một giải pháp định tuyến có thể chấp nhận được sao cho số các kênh bước sóng cần thiết cho tập các yêu cầu ∆nhỏ nhất. Để hình thành hàm chi phí C, với C : Π∆ --> N, ta định nghĩa như sau:
θ = (θij)
là một ma trận tam giác trên; θij , i ≤ j, cho biết các SLD thứ i và thứ j có phủ chồng lên nhau về thời gian không: θij = 1 nếu chồng lấp nhau về thời gian, ngược lại θij = 0. Theo định nghĩa θ1 ≤ii ≤M , và θij = 0 với i > j. Ma trận diễn tả sự phụ thuộc về thời gian giữa các SLD là
β = (βij) = diag(ni)là một ma trận đường chéo; βij = ni, , 1≤ i≤ M.
và
là một ma trận cạnh-đường ngẫu nhiên 0,1L x M ;
cho biết cạnh i ∈ E có là một phần trong đường đi của Pρj,jtrong lời giải định tuyến
πρ,∆hay không: ) ( , ,∆ = ρ∆ ρ π π γ γ ij ∆ , ρ π γ 1 ,∆ = ρ π γij nếu i∈ Pρj,j,
Để cho đơn giản ta sẽ kí hiệu là γ . Ma trận này mô tả việc định tuyến vật lý của các SLD cho một vecto ρ định sẵn.
η = θ .β.γT = (ηij)
là một ma trận cấp NM X L ; ηijcho biết số các lightpath chồng lấn nhau về thời gian trên tuyến ej giữa SLD i và SLD k, k > i.
Vì vậy, hàm chi phí được xác định như sau: