Chú ý 2.6.1. Chúng ta định nghĩa ánh xạ Fs : P(U) P(U) như sau:
Fs(X) = {a U X {a} S+}.
Từ Định lý 2.5.1, rõ ràng Fs làmột hàm mạnh trên U. Khi đó theo định nghĩa bao đóng X+
, rõ ràng
X+= Fs(X)
Đối với mọi phụ thuộc mạnh X Y, chúng ta luôn giả sử rằng X,Y Từ chú ý này, chúng ta nhận thấy phép toán lấy bao đóng của tập thuộc tính (trên sơ đồ mạnh) là một hàm mạnh. Do vậy, bổ đề sau là rõ ràng.
Bổ đề 2.6.2 Giả sử G = (U,S) là một sơ đồ mạnh a,b U và X,Y U. Khi đó
1. a {a}+
2. Nếu b {a}+ thì {b}+ {a}+ 3. X+=
4. (X Y)+ = X+ Y+ 5. Nếu X Y thì Y+ X+
Bổ đề 2.6.3. Giả sử G =(U,S) là một sơ đồ mạnh và X,Y U. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
2. Nếu X Y S+ thì Y+ X+
3. Nếu X Y S+ và Y X S+ thì X+= Y+ Chứng minh.
1. Vì X+ X+ nên theobổ đề 2.6.1 X X+ S+
2. Giả sử X Y S+. Theo định nghĩa bao đóng của tập thuộctính Y+ ={a U Y {a} S+}.
Ký hiệu Y+ = {a1,…,ap} ≠ . Khi đó, theo quy tắc (S2), từ X Y S+ và Y {ai} S+( i=1,2,….,p):
X {ai} S+ i = 1,2,….,p hay ai X+ i = 1,2,….,p
vậy Y+ X+
3. Giả sử X Y S+ và Y X S+.Theo tính chất (2) suy ra Y+ X+vàX+ Y+. Vậy X+= Y+
Bổ đề được chứng minh. □
Bổ đề 2.6.4. Giả sử G= (U, S) là một sơ đồ mạnh và X, Y U. Khi đó 1. X Y S+ nếu và chỉ nếu {a} Y S+ với mỗi a X
2. X Y S+ nếu và chỉ nếu X {b} S+ với mỗi b Y Chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
2. Suy ra từ quy tắc (S3) và quy tắc (S5).
Bổ đề được chứng minh. □
Nhận xét 2.6.5. Xét ánh xạ : P(U) P(U) như sau: (X)={a U X {a} SR}.
Bởi Định lý 2.5.1, suy ra là một hàm mạnh trên U. Theo định nghĩa bao đóng của tập thuộc tính trên quan hệ, rõ ràng
= (X).
Từ đây, chúng ta nhận thấy rằng phép toán lấy bao đóng của tập thuộc tính trên quan hệ cũng là một hàm mạnh. Do đó các bổ đề2.6.2, bổ đề 2.6.3 và bổ đề 2.6.4 vẫn còn đúng đối với quan hệ.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});