3 Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
3.5 Tập đối giá của HId(M )
Cho p ∈ Spec(R). Trong [Sm], K. E. Smith đã nghiên cứu hàm tử gọi là "Đối ngẫu của hàm tử địa phương hóa"
Fp(−) = HomR HomR(−, E(R/m)), E(R/p)
từ phạm trù các R-môđun vào phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−)
là bao nội xạ. Chú ý rằng Fp là tuyến tính, khớp, Fp(A) 6= 0 nếu và chỉ nếu p⊇ AnnRA và khi R là đầy đủ thì Fp(A) là Artin với mọi R-môđun Artin A.
Mệnh đề 3.5.1. Chop ∈ Spec(R) và Fp(−) là hàm tử đối ngẫu của hàm địa phương hóa định nghĩa ở trên bởi K. E. Smith. Cho N như trong Kí hiệu 3.3.1. Giả sử R là đầy đủ. Khi đó
Fp(HId(M)) ∼= Hd−dim(R/p)
Chứng minh. KhiR là đầy đủ,HId(M) thoả mãn tính chất (*). Theo Định lý 3.3.2 ta có HId(M) ∼= Hd m(M/N). Do R là vành đầy đủ nên từ [BS, 11.2.6] ta có Fp(HId(M)) ∼= F p(Hmd(M/N)) ∼= Hd−dim(R/p) pRp (M/N)p.
Mệnh đề 3.5.1 gợi ý cho chúng ta định nghĩa khái niệm đối giá của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất như sau.
Định nghĩa 3.5.2. Cho N như trong Kí hiệu 3.3.1. Đối giá của HId(M), kí hiệu là CosR(HId(M)), được định nghĩa như sau
CosR(HId(M)) = {p ∈ Spec(R) | HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p 6= 0}.
Với M là hữu hạn sinh ta luôn có SuppRM = Var(AnnRM). Tuy nhiên đối với môđun Artin HId(M) ta chỉ có quan hệ sau.
Bổ đề 3.5.3. CosR(HId(M)) ⊆ Var(AnnRHId(M)).
Chứng minh. Cho tập AssR(I, M) và N định nghĩa như trong Kí hiệu 3.3.1. Lấy p ∈ CosR(HId(M)), khi đó HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p 6= 0. Theo Bổ đề 1.3.1, tồn tại qRp ∈ AttRp HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p. Theo [BS, 11.3.8] thì q ∈ AttRHmd(M/N). Do đó theo Bổ đề 1.3.3 và Bổ đề 3.3.3 thì
q ∈ AssR(M/N). Do AssR(I, M) = AssR(M/N) nên q ∈ AssR(I, M). Theo Hệ quả 3.3.6(i) thì q ∈ AttRHId(M) và theo Bổ đề 1.3.1 thì q ⊇
AnnRHId(M). Suy ra p ∈ Var(AnnRHId(M)). Vậy CosR(HId(M)) ⊆
Var(AnnRHId(M)).
Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt
PsuppiRM = {p ∈ Spec(R) | Hpi−Rdim(R/p)
TậpPsuppiRM được định nghĩa bởi M. Brodman và R. Y. Sharp [BS1] và được gọi là giả giá thứ i của M.
Kết quả sau đây đặc trưng tính chất (*) của Hmi(M) thông qua tập giả giá (xem [NA1, Định lí 3.1]).
Bổ đề 3.5.4. Cho i ≥ 0 là số nguyên. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hmi(M) thoả mãn tính chất (*). (ii) Var(AnnR(Hmi (M))) = PsuppiRM. Chứng minh. (i)⇒(ii). Cho p ∈ Psuppi
RM. Khi đó Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0.
Do đó tồn tại qRp ∈ AttRp Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) với một iđêan nguyên tố
q ⊆ p nào đó. Theo [BS, 11.3.8] ta suy ra q ∈ AttR(Hmi (M)). Bởi vậy ta có p ⊇ q⊇ AnnR(Hmi(M)). Do đó
Psuppi
RM ⊆ Var AnnR(Hmi (M)).
Ngược lại, chop ∈ Var AnnR(Hmi(M)). VìHmi (M)thỏa mãn tính chất (*) nên ta có AnnR 0 :Hi
m(M) p= p. Suy ra
min Var AnnR(0 :Hi
m(M) p) = {p}. Lấy q⊇ AnnR(0 :Hi m(M) p).Khi đó q⊇ p.Vì Hmi (M) thỏa mãn tính chất (*) nên AnnR(0 :0: Him(M)p q) = AnnR(0 :Hi m(M) q) = q. Do đó0 :Hi m(M) p cũng thỏa mãn tính chất (*). Vì thế
dim(R/p) = dim R/AnnR(0 :Hi
m(M) p) = dim R/b Ann
b R(0 :Hi
m(M) p) = max{dim(R/b bp) | bp ∈ Att
b
R 0 :Hi
Do vậy tồn tại bp ∈ Att
b
R 0 :Hi
m(M) p sao cho dim(R/b bp) = dim(R/p).
Chú ý rằng bp ∈ Var Ann
b
R(Hmi(M)) và bp ∩ R ⊇ p. Vì dim(R/b bp) = dim(R/p) nên bp là iđêan nguyên tố tối thiểu của pRb. Chú ý rằng ta có đẳng cấu các Rb-môđun Hmi(M) ∼= Hi
mRb(Mc). Vì thế ta có thể kiểm tra được đẳng thức sau trên vành đầy đủRb
Psuppi b RMc= Var Ann b R(Hmi (M)). Suy ra bp ∈ Psuppi b RM ,c tức là Hi−dim(R/b bp) b pRb b p (Mc bp) 6= 0. Vì bp là iđêan nguyên tố tối thiểu củapRb vàdim(R/b bp) = dim(R/p) nên theo Định lí chuyển cơ sở phẳng (xem [BS, 4.3.2]) ta có Hpi−Rdim(R/p) p (Mp)⊗Rb bp ∼= Hi−dim(R/b bp) pRb b p (Mp ⊗Rb b p) ∼= Hi−dim(R/b bp) b pRb b p (Mc bp) 6= 0. Do vậy Hpi−Rdim(R/p) p (Mp) 6= 0, tức là p ∈ Psuppi RM. Do đó
Var AnnR(Hmi (M)) ⊆Psuppi RM.
(ii)⇒(i). Giả sử Var AnnR(Hmi (M)) = Psupp i
RM. Cho p là iđêan nguyên tố chứaAnnR(Hmi (M)).Khi đó theo giả thiết ta cóp∈ Psuppi
RM, tức là Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Vì dim(R/p) = dim(R/b pR)b nên tồn tại iđêan nguyên tố bp ∈ Ass(R/b pR)b sao cho dim(R/b bp) = dim(R/p). Suy ra bp ∩ R = p và bp là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR.b Chú ý rằng ánh xạ cảm sinh Rp → Rb
bp là phẳng. Bởi vậy, theo Định lí chuyển cơ sở phẳng ta có Hi−dim(R/b bp) bpRb bp (Mc bp) ∼= Hi−dim(R/p) pRp (Mp) ⊗ Rb b p 6= 0. Do đó bp ∈ Psuppi b R(Mc) = Var Ann b R(Hmi(M)). Chú ý rằng Hmi(M) là Rb- môđun Artin thỏa mãn tính chất (*). Bởi vậy Ann
b R(0 :Hi m(M) bp) = bp. Do đó ta có p ⊆ AnnR(0 :Hi m(M) p) ⊆Ann b R(0 :Hi m(M) bp)∩R = bp∩R = p. Do đóAnnR(0 :Hi m(M) p) = p. Vậy Hmi (M) thỏa mãn tính chất (*).
Bổ đề 3.5.5. Cho tập N như trong Kí hiệu 3.3.1. Gọi UM(0) là môđun con lớn nhất của M với chiều nhỏ hơn d. Khi đó
(i) CosR(HId(M)) = PsuppdR(M/N).
(ii) CosR(Hmd(M)) = PsuppRd(M/UM(0)) = PsuppdR(M).
Định lý sau, là một trong hai kết quả chính của luận văn này, chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất (*) và đối giá của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất.
Định lý 3.5.6. Các khẳng định sau là tương đương (i) HId(M) thoả mãn tính chất (*).
(ii) CosR(HId(M)) = Var(AnnRHId(M)).
Chứng minh. (i)⇒ (ii). Cho AssR(I, M) và N như trong Kí hiệu 3.3.1. VìHId(M) thoả mãn tính chất (*) nên theo Định lý 3.3.2 ta có HId(M) ∼=
Hmd(M/N). Do đó Hmd(M/N) cũng thoả mãn tính chất (*). Theo Bổ đề 3.5.4 và Bổ đề 3.5.5 ta có
Var(AnnR(Hmd(M/N))) = PsuppRd(M/N) = CosR(HId(M)).
Do đó
Var(AnnR(HId(M))) = Var(AnnR(Hmd(M/N))) = CosR(HId(M)).
(ii)⇒(i). Choq ⊇AnnRHId(M). Theo (ii) thì q∈ CosR(HId(M)). Do đó
HqdR−dim(R/q)
q (M/N)q 6= 0. Cho Q ∈ Ass
b
R(R/b qR)b sao cho dim(R/Q) =b
dim(R/q). Khi đó Q∩ R = q và Q là iđêan nguyên tố tối thiểu của qRb. Vì đồng cấu cảm sinhRq →RbQ là hoàn toàn phẳng, theo Định lý chuyển cơ sở phẳng [BS, 4.3.2] ta có
Hd−dim(R/Qc ) QRbQ
(M/N[)Q ∼= Hd−dim(R/q)
Cho 0 = \
p∈AssR(M)
N(p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của 0. Tập
N = \
p∈AssR(I,M)
N(p). Với mỗip∈ AssR(M), theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có Ass b R(M /c N[(p)) = Ass b R(R/b pR).b
Do đóN[(p)có phân tích nguyên sơ thu gọn làN[(p) = \
P∈Ass(R/b pRb)
K(p, P),
trong đóK(p, P) làP-nguyên sơ. Vì đồng cấuR →Rblà hoàn toàn phẳng
nên Nb = \ p∈AssR(I,M) [ N(p) và 0 = \ p∈AssR(M) [ N(p). Ta cần kiểm tra rằng b N = \ p∈AssR(I,M) P∈Ass(R/b pRb) K(p, P) và 0 = \ p∈AssR(M) P∈Ass(R/b pRb) K(p, P)
là những phân tích nguyên sơ thu gọn của Nb và 0 trong Mc. Cho K1
là giao của các K(p, P) với p ∈ AssR(I, M) và P ∈ Ass(R/b pR)b sao cho dim(R/Pb ) = d. Rõ ràng là Nb ⊆ K1 và dim
b
RK1 < d. Do đó
dim(K1/Nb)Q < d−dim(R/Q)b . Vì thế từ dãy khớp
0 →K1/Nb → M /c Nb →M /Kc 1 →0 ta có đẳng cấuHd−dim(R/Qc ) QRbQ (M/N[)Q ∼= Hd−dim(R/Qc ) QRbQ (M /Kc 1)Q.Do đó theo (1), ta có Hd−dim(R/Qc ) QRbQ (M /Kc 1)Q 6= 0 (2). Theo Kí hiệu 3.3.1, ta có Ass b R(IR,b Mc) ={P ∈ Ass b RMc| dim(R/b p) =d, q IRb+P = mb}.
Vì thế theo [Mat, Định lý 23.2(ii)], Ass
b R(IR,b Mc) là tập hợp {P ∈ Ass b R(R/b pR)b | p ∈ AssRM,dim(R/b p) = d, q IRb+P = mb}.
Đặt tập K2 = \ P∈Ass b R(IR,bMc) K(p, P). Chú ý rằng pIRb+P = mb với mọi P ∈ [ p∈AssR(I,M) Ass b R(R/b pR)b . Do đó Ass b R(IR,b Mc) ⊇ {P ∈ Ass b
R(R/b pR)b | p ∈ AssR(I, M),dim(R/Pb ) =d}.
Do đóK2 ⊆K1. Vì dimK1 < d nên dim(K1/K2)Q < d−dim(R/Q).b Vì thế từ dãy khớp 0 →K1/K2 → M /Kc 2 →M /Kc 1 →0 ta có đẳng cấu Hd−dim(R/Qc ) QRbQ (M /Kc 2)Q ∼= Hd−dim(R/Qc ) QRbQ (M /Kc 1)Q. Do(2)ta cóHd−dim(R/Qc ) QRbQ (M /Kc 2)Q 6= 0, có nghĩa làQ ∈ Cos b R(Hd IRb(Mc)). Nếu Hd
IRb(Mc) thoả mãn tính chất (*) thì theo chứng minh (i) ⇒ (ii) ta có Cos b R(Hd IRb(Mc)) = Var(Ann b RHd IRb(Mc)). Do đó Q ⊇ Ann b RHd IRb(Mc). Vì Hd IRb(Mc) thoả mãn tính chất (*) và HId(M) ∼= Hd IRb(Mc) (xét như các b R-môđun) nên ta có Ann b R(0 :Hd I(M) Q) = Ann b R(0 :Hd I(Mc) Q) =Q. Vì vậy, ta có q⊆ AnnR(0 :Hd I(M) Q) ⊆Ann b R(0 :Hd I(M) Q)∩R = Q∩R = q.
Kéo theoAnnR(0 :Hd
I(M) q) =q. Vậy HId(M) thoả mãn tính chất (*). Chú ý 3.5.7. Định lý 3.5.6 khẳng định rằng nếuHId(M)thoả mãn tính chất (*) thì đối giá của nó là tập con đóng củaSpec(R)trong tôpô Zariski. Chú
ý rằng CosR(HId(M)) có thể không đóng ngay cả khi I = m [BS1, Ví dụ 3.2]. Nói chung, nếuR/AnnRHmd(M)không là catenary thìCosRHmd(M)
là không đóng [NA1, Hệ quả 3.4].
Thậm chí khi R là vành thương của vành địa phương chính quy và
CosRHId(M)là đóng thìHId(M)vẫn có thể không thoả mãn tính chất (*). Sau đây là một ví dụ.
Ví dụ 3.5.8. ChoK là một trường có đặc số 0. ĐặtS = K[X1, X2, X3] là vành đa thức với hệ số trênK. Tậpn = (X1, X2, X3), a= (X22−X12−X13),
b = (X2) và c = a ∩ b. Kí hiệu xi là ảnh của Xi trong S/c. Đặt R = (S/c)n/c, m = (x1, x2, x3)R và
I = (x1 + x2 −x2x3)R+ ((x3 −1)2(x1 + 1)−1)R.
Khi đó (R, m) là vành Noether địa phương với dimR = 2 và (i) AttRHI2(R) ={aR,bR}.
(ii) Var(AnnRHI2(R)) = Spec(R) và CosRHI2(R) = Var(bR). (iii) HI2(R) không thoả mãn tính chất (*).
Chứng minh. Chú ý rằngR/aR là một miền, [xem BS, 8.2.9] và R/bR là một miền nguyên. Dó đó Ass(R) ={aR,bR}. Vì vậy dimR = 2.
(i). Từ dãy khớp
0 →R → R/aR⊕R/bR →R/(aR+bR) →0,
với chú ý là dimR/(aR+bR) = 1, ta có dãy khớp
HI1(R/(aR+bR)) →HI2(R) → HI2(R/aR)⊕HI2(R/bR) → 0.
Do đó theo Bổ đề 1.3.2, ta có
Theo [BS, 8.2.9] thì HI2(R/aR) 6= 0 nên ta có
∅ 6= AttRHI2(R/aR) ⊆ AssR(R/aR) ={aR}.
Vì vậy, AttRHI2(R/aR) = {aR}. Bởi vì I + bR là m-nguyên sơ nên
HI2(R/bR) ∼= H2
m(R/bR) Do đó AttRHI2(R/bR) = {bR}. Suy ra AttRHI2(R) ={aR,bR}.
(ii). Vì AttRHI2(R) = {aR,bR} = Ass(R) nên theo Bổ đề 1.3.1 ta có
Var(AnnRHI2(R)) = Spec(R).
Chú ý rằng 0 = aR∩bR là một phân tích nguyên sơ thu gọn của iđêan 0
củaR. Theo [BS, 8.2.9], dim(R/(I+bR)) = 0vàdim(R/(I+aR)) = 1. Do đó
CosR(HI2(R)) ={p ∈ Spec(R) |Hp2R−dim(R/p)
p (R/bR) 6= 0}
= Psupp2R(R/bR).
Vì R là catenary nên theo Bổ đề 3.3.4 thì Hm2(R/bR) thoả mãn tính chất (*). Vì thế, theo Bổ đề 3.5.4 ta có
Psupp2R(R/bR) = Var(AnnRHm2(R/bR)) = Var(bR).
Vậy CosRHI2(R) = Var(bR).
(iii). Ta có CosRHI2(R) 6= Var(AnnRHI2(R)). Theo Định lý 3.5.6 thì
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo của L. T. Nhan and T. D. M. Chau [NC], On the top local cohomology modules, Journal of Algebra, (2012). Luận văn đã thu được một số kết quả:
1. Hệ thống lại một số vấn đề về môđun Artin có liên quan đến nội dung luận văn như tiêu chuẩn Artin, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin.
2. Trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương như tính triệt tiêu, tính Artin.
3. Đặc trưng tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý, qua đó mô tả được tập iđêan nguyên tố gắn kết của
HId(M) thông qua tính chất (*) của HId(M).
4. Định nghĩa tập đối giá của HId(M) và đặc trưng tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhấtHId(M) thông qua tập đối giá của nó.
Tài liệu tham khảo
[BS] M. Brodmann and R. Y. Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[BS1] M. Brodmann and R. Y. Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math. J., 167 (2002), 217-233. [CN] N. T. Cuong and L. T. Nhan, On Noetherian dimension of Artinian
modules, Vietnam J. Math., 30 (2002), 121-130.
[CDN] N. T. Cuong, N. T. Dung, L. T. Nhan, Top local cohomology and the catenarycity of the unmixed support of a finitely generated mod- ule, Comm. Algebra, 35 (2007), 1691-1701.
[DM] D. Delfino and T. Marley, Cofinite modules and local cohomology, J. Pure Appl. Algebra, 121 (1997), 45-52.
[DSc] K. Divaani-Aazar and P. Schenzel, Ideal topology, local cohomology and connectedness, Math. Proc, Camb. Phil. Soc., 131 (2001), 211- 226.
[FR] D. Ferrand and M. Raynaud, Fibres formelles d'un anneau local Noetherian, Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., (4)3 (1970), 295-311. [Mac] I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a com-
mutative ring, Symposia Mathermatica, 11 (1973), 23-43.
[Mat] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986.
[M1] L. Melkersson, On asymptotic stabitity for sets of prime ideals conected with the power of an ideal, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 107 (1990) 260-271.
[M2] L. Melkersson, Some applications of a criterion for Artinianess of a modules, J. Pure Appl. Algebra, 101 (1995), 291-303.
[Na] M. Nagata, "Local rings", interscience, New York , 1962.
[NA1] L. T. Nhan and T. N. An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, Journal of Algebra, 321 (2009), 303-311.
[NA2] L. T. Nhan and T. N. An, On the catenaricity of Noether local rings and quasi unmixed Artinnian modules, Comm. Algebra, 38 (2010), 3728-3736.
[NC] L. T. Nhan and T. D. M. Chau, On the top local cohomology modules, Journal of Algebra, 349 (2012), 342-352.
[Sm] K. E. Smith, Test ideals in local rings, Trans. AMS., 347 (1995), 3453-3472.