3 Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
3.4Tập iđêan nguyên tố gắn kết của HId(M )
Ta có kết quả sau đây về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại (xem [BS]).
AttRHmd(M) = {p∈ AssRM |dim(R/p) = d}.
Sử dụng Định lý 3.3.2 và Hệ quả 3.3.6 ta mô tả được tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý
HId(M) như sau.
Mệnh đề 3.4.1. Nếu HId(M) thoả mãn tính chất (*) thì
AttRHId(M) ={p ∈ AssRM | dim(R/p) =d,pI +p = m}.
Chứng minh. Theo Hệ quả 3.3.6(i), AssR(I, M) ⊆ AttRHId(M). Lấy
p ∈ AttRHId(M) khi đó p ∈ AssRM và dim(R/p) = d. Do HId(M)
thoả mãn tính chất (*) nên theo Định lý 3.3.2 thì √I + p = m. Do đó
p∈ AssR(I, M). Suy ra AttRHId(M) = AssR(I, M). Do đó
AttRHId(M) ={p ∈ AssRM | dim(R/p) =d,pI +p = m}.
Chú ý rằng mối quan hệ của các tập iđêan nguyên tố liên kết của M
được cho bởi hai công thức sau (xem [Mat]):
AssRM = {P ∩R | P ∈ Ass b RMc}. Ass b RMc= [ p∈AssRM Ass b R(R/b pR).b
Đối với tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin, trong Chương I ta cũng đã trình bày mối quan hệ
AttRA = {P ∩R | P ∈ Att
b RA}.
Tuy nhiên công thứcAtt b RA = [ p∈AttRA Ass b
R(R/b pR)b lại không đúng trong trường hợp tổng quát. Mệnh đề sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để công thức này đúng.
Mệnh đề 3.4.2. Cho AssR(I, M) như trong Kí hiệu 3.3.1. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
(i) Att b RHId(M) = [ p∈AttRHId(M) Ass b R(R/b pR)b .
(ii) HId(M) thoả mãn tính chất (*) và R/p không trộn lẫn với mọi
p∈ AssR(I, M).
Chứng minh. (i)⇒(ii). Cho q ∈ Var(AnnRHId(M)). Theo Bổ đề 1.3.1,
min AttRHId(M) = min Var(AnnRHId(M)). Vì thế tồn tạip ∈ AttRHId(M)
sao chop ⊆ q. Lấy Q∈ Ass
b
R(R/b qR)b . Khi đó Q∩R = q. Vì đồng cấu tự nhiênR → Rblà phẳng, nó thoả mãn Định lý đi xuống [Mat, Định lý 9.5]. Do đó tồn tại P ∈ Spec(R)b sao cho P ⊆ Q và P ∩ R = p. Vì P ⊇ pRb
nên tồn tại P0 ∈ min Ass
b
R(R/c pR)b sao choP0 ⊆P. Vì p ∈ AttRHId(M) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
nên theo giả thiết (i) ta có P0 ∈ Att
b RHId(M). Do đó theo Bổ đề 1.3.1 thì P0 ⊇ Ann b RHId(M) và do đó Q ⊇ Ann b RHId(M). Vì Rb-môđun HId(M)
thoả mãn tính chất (*) nên ta có Ann
b R(0 :Hd I(M) Q) =Q. Do đó q⊆ AnnR(0 :Hd I(M) q) ⊆Ann b R(0 :Hd I(M) Q)∩R = Q∩R = q. Vậy AnnR(0 :Hd
I(M) q) = q với mọi q ∈ Var AnnRHId(M). Theo định nghĩa thì HId(M) thoả mãn tính chất (*). Cho p ∈ AssR(I, M). Theo Hệ quả 3.3.6(i) ta có p ∈ AttRHId(M). Với P ∈ Ass
b
R(R/b pR)b , theo giả thiết (i) ta có P ∈ Att
b
RHId(M). Do đó theo Bổ đề 3.3.3 thì dim(R/Pb ) = d. Vậy R/p là không trộn lẫn.
(ii)⇒(i). Cho P ∈ Att
b
RHId(M). Đặt p = P ∩ R. Khi đó, theo Bổ đề 1.3.3 thìp ∈ AttRHId(M) và theo Bổ đề 3.3.3 thì dim(R/Pb ) = d. Suy ra
dim(R/p) = d. Do vậy P ∈ Ass b R(R/b pR)b . Suy ra Att b RHId(M) ⊆ [ p∈AttRHd I(M) Ass b R(R/b pR).b
Cho p ∈ AttRHId(M) và P ∈ Ass
b
R(R/b pR)b . Do HId(M) thoả mãn tính chất (*) và theo Mệnh đề 3.4.1 thì p ∈ AssR(I, M). Do đó p ∈ AssRM,
dim(R/p) = d và √I +p = m. Theo Định lý 23.2(ii) [Mat], ta có P ∈
Ass
b
RMc. Theo giả thiết (ii) thì R/p là không trộn lẫn, dim(R/Pb ) = dim(R/p) = d. Vì √I +p = m nên pIRb+P = mb. Do đó theo Bổ đề 3.3.3 ta có P ∈ Att b RHId(M). Suy ra [ p∈AttRHd I(M) Ass b R(R/b pR)b ⊆Att b RHId(M).