3 Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
3.3Đặc trưng tính chất (*) của HId(M )
Tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại m đã được nghiên cứu trong [CDN] và [NA1], [NA2]. Mục đích của tiết này là trình bày những đặc trưng của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý trong bài báo [NC].
Kí hiệu 3.3.1. Cho0 = \
p∈AssRM
N(p) là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M. Đặt N = \
p∈AssR(I,M)
N(p), trong đó
AssR(I, M) ={p ∈ AssRM | dim(R/p) =d,pI +p = m}.
Chú ý rằng N không phụ thuộc vào cách chọn phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0của M vì AssR(I, M) ⊆min AssRM.
Định lý sau đây là một trong 2 kết quả quan trọng nhất của luận văn, cho ta một số đặc trưng tính chất (*) của môđun đối đồng điều cấp cao nhất HId(M).
Định lý 3.3.2. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) HId(M) thoả mãn tính chất (*).
(ii) Vành R/AnnRHId(M) là catenary và I + p là m-nguyên sơ với mọi p ∈ AttRHId(M).
(iii) R/AnnRHId(M) là vành catenary và HId(M) ∼= Hd
m(M/N).
Để chứng minh định lí này, chúng ta cần nhắc lại một số kết quả liên quan sau đây. Kí hiệumb là iđêan tối đại duy nhất của Rb. Khi đó tập iđêan nguyên tố gắn kết của Rb-môđun HId(M) có thể biểu diễn như sau (xem [DSc, Hệ quả 3.3]). Bổ đề 3.3.3. Ta luôn có Att b RHId(M) ={P ∈ Ass b RMc| dim(R/Pb ) = d, q IRb+P = mb}.
Tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại Hmd(M) có thể đặc trưng thông qua tính catenary của vành cơ sở như sau (xem Định lí chính của bài báo [CDN]).
Bổ đề 3.3.4. Các khẳng định sau là tương đương (i) Hmd(M) thoả mãn tính chất (*).
(ii) Vành R/AnnRHmd(M) là catenary.
Theo Bổ đề 3.3.3, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
HId(M)là không trộn lẫn, tức làdim(R/Pb ) = dvới mọiP ∈ Att
b
RHId(M). Vì thế, từ Định lí 1.1 trong bài báo [NA2] ta có ngay kết quả sau.
Bổ đề 3.3.5. Nếu HId(M) thoả mãn tính chất (*) thì R/AnnRHId(M) là vành catenary.
Chứng minh Định lí 3.3.2. NếuHId(M) = 0thì kết quả trên là hiển nhiên nên ta có thể giả thiết HId(M) 6= 0.
(i)⇒ (ii). Giả sử HId(M) thoả mãn tính chất (*). Theo Bổ đề 1.3.1 và Bổ đề 3.3.3 ta có dim(R/b Ann
b
RHId(M)) = d. Suy ra HId(M) là không trộn lẫn. Vì HId(M) thỏa mãn tính chất (*) nên theo Bổ đề 3.3.5, vành
R/AnnRHId(M) là catenary. Hiển nhiên ta có
Rad(AnnR(0 :Hd
I(M) I)) ⊇ Rad(I + AnnRHId(M)).
Cho q ∈ Spec(R) sao cho q ⊇ I + AnnRHId(M). Vì HId(M) thoả mãn tính chất (*) nên ta có AnnR(0 :Hd I(M) I) ⊆ AnnR(0 :Hd I(M) q) = q. Suy ra Rad(AnnR(0 :Hd I(M) I)) ⊆ \ q∈Spec(R) q⊇I+AnnRHd I(M) q= Rad(I + AnnRHId(M)). Do đó Rad(AnnR(0 :Hd I(M) I)) = Rad(I + AnnRHId(M)).
Vì HId(M) là Artin nên môđun con (0 :Hd (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
I(M) I) của nó cũng là Artin. Theo [DM, Định lí 3], môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
HId(M) luôn là I-đối hữu hạn (I-cofinite). Do đó (0 :Hd
I(M) I) là R- môđun hữu hạn sinh. Vì thế (0 :Hd
I(M) I) vừa là môđun Artin, vừa là môđun Noether. Suy ra (0 :Hd
I(M) I) có độ dài hữu hạn. Vì vậy
AnnR(0 :Hd
I(M) I) là iđêan m-nguyên sơ của R. Theo đẳng thức trên ta suy ra I + AnnRHId(M) là m-nguyên sơ. Cho p ∈ AttRHId(M). Theo Bổ đề 1.3.1 thìp ⊇ AnnRHId(M). Do đó I +p là m-nguyên sơ.
(ii)⇒ (iii). Cho N và AssR(I, M) như trong Kí hiệu 3.3.1. Khi đó dễ dàng kiểm tra được
AssR(M/N) = AssR(I, M) và AssR(N) = AssR(M)\AssR(I, M).
Từ dãy khớp0 →N →M →M/N → 0ta có dãy khớp
HId(N) → HId(M) → HId(M/N) →0.
Ta sẽ chứng minh HId(N) = 0. Giả sử HId(N) 6= 0, Bổ đề 1.3.1 thì
AttRHId(N) 6= ∅. Do đó tồn tại p ∈ AttRHId(N). Theo Bổ đề 1.3.3, tồn tại P ∈ Att
b
RHId(N) sao cho P ∩ R = p. Theo Bổ đề 3.3.3 thì P ∈
Ass b RNb, dim(R/Pb ) = d và pIRb+P = mb. Ta có Ass b RNb ⊆ Ass b RMc nênP ∈ Ass b
RMc. Suy ra theo Bổ đề 3.3.3 ta cóP ∈ Ass
b
RHId(M). Vìp = P∩Rnên theo Bổ đề 1.3.3 ta cóp ∈ AttRHId(M). Theo giả thiết (ii) ta có √
I +p = m. Từ P ∈ Ass
b
RMcvà dim(R/Pb ) = d, ta có p ∈ AssR(M) và
dim(R/p) = d. Do đó p ∈ AssR(I, M). Mặt khác, vì P ∈ Att
b
RHId(N)
nên theo Bổ đề 3.3.3 ta có P ∈ Ass
b
RNb. Suy ra p ∈ AssRN và do đó p ∈ AssRM\AssR(I, M), điều đó là mâu thuẫn. Vậy HId(N) = 0. Theo dãy khớp trên ta suy ra HId(M) ∼= Hd
I(M/N). Vì AssR(I, M) là hữu hạn và √I +p = m với mọi p ∈ AssR(I, M) nên ta có thể kiểm
tra I + \ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
p∈AssR(I,M)
p là m-nguyên sơ. Bởi vì AssR(M/N) = AssR(I, M)
nên ta có Rad(AnnR(M/N)) = \
p∈AssR(I,M)
p. Do đó I + AnnR(M/N) là
m-nguyên sơ. Vì thế theo Định lý độc lập với cơ sở [BS, Định lý 4.2.1] thì
HId(M/N) ∼= Hd I+Rad(AnnR(M/N))(M/N) ∼= Hd m(M/N). Vậy HId(M) ∼= Hd m(M/N). (iii)⇒(i). Vì HId(M) ∼= Hd m(M/N) nên ta có AnnRHId(M) = AnnRHmd(M/N).
Do R/AnnRHId(M) là catenary nên R/AnnRHmd(M/N) cũng là cate- nary. Theo Bổ đề 3.3.4,Hmd(M/N)thoả mãn tính chất (*) và do đóHId(M)
cũng thoả mãn tính chất (*).
Hệ quả 3.3.6. ChoAssR(I, M) như trong Kí hiệu 3.3.1. Khi đó
(i) AssR(I, M) ⊆ AttRHId(M). Đặc biệt nếu AssR(I, M) 6= ∅ thì
HId(M) 6= 0.
(ii) Giả sử AssR(I, M) = ∅. Khi đóHId(M) thoả mãn tính chất (*) khi và chỉ khi HId(M) = 0.
Chứng minh. (i). Lấyp ∈ AssR(I, M). Khi đó p ∈ AssRM, dim(R/p) = d và √I +p = m. Lấy P ∈ Ass
b
R(R/b pR)b sao cho dim(R/Pb ) = d. Khi đóP ∩R = p. Theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có
Ass b RMc= [ q∈AssRM Ass b R(R/b qR).b Vì thế P ∈ Ass b
RMc. Bởi vì √I +p = m nên pIRb+ Pb = mb. Theo Bổ đề 3.3.3 ta có P ∈ Att
b
RHId(M). Do đó theo Bổ đề 1.3.3 thì p ∈
AttRHId(M), Do đó AssR(I, M) ⊆ AttRHId(M). Vậy AssR(I, M) 6= ∅ kéo theo AttRHId(M) 6= ∅, do đó theo Bổ đề 1.3.1 thì HId(M) 6= 0. (ii). Giả sửAssR(I, M) =∅. Rõ ràng là nếu HId(M) = 0 thì HId(M) thoả mãn tính chất (*). Giả sử HId(M) thoả mãn tính chất (*) và HId(M) 6= 0. Theo Bổ đề 1.3.1,AttRHId(M) 6= ∅. Do đó tồn tạip∈ AttRHId(M). Theo Bổ đề 1.3.3 và Bổ đề 3.3.3 ta suy ra p ∈ AssRM và dim(R/P) = d. Do
HId(M) thoả mãn tính chất (*) nên theo Định lý 3.3.2 ta có √I +p = m. Suy ra p ∈ AssR(I, M) (trái với giả thiết là AssR(I, M) = ∅). Vậy ta có điều phải chứng minh.