1.3.3.1. Độ tương tự mức k
Chúng ta cĩ thể lấy các khoảng mờ của các phần tử độ dài k làm độ tương tự giữa các phần tử, nghĩa là các phần tử mà các giá trị đại diện của chúng thuộc cùng một khoảng mờ mức k là tương tự mức k. Tuy nhiên, theo cách xậy dựng các khoảng mờ mức k giá trị đại diện của các phần tử x cĩ độ dài nhỏ hơn k luơn luơn là
I(khả năng lớn) = 0.08 I(hơn lớn) = 0.08
I(ít lớn) = 0.12 I(rất lớn) = 0.12 ít lớn Khả năng lớn lớn hơn lớn rất lớn
0.6 0.72 0.75 0.8 0.88 0.9 1
đầu mút của các khoảng mờ mức k. Một cách hợp lý, khi định nghĩa lân cận mức k
chúng ta mong muốn các giá trị đại diện như vậy phải là điểm trong (theo nghĩa tơpơ) của lân cận mức k. Vì vậy ta định nghĩa độ tương tự mức k như sau:
Chúng ta luơn luơn giả thiết rằng mỗi tập H- và H+ chứa ít nhất 2 gia tử. Xét Xk
là tập tất cả các phần tử độ dài k. Dựa trên các khoảng mờ mức k và các khoảng mờ mức k+1 chúng ta mơ tả khơng hình thức việc xây dựng một phân hoạch của miền [0,1] như sau:
Với k = 1, các khoảng mờ mức 1 gồm I(c-) và I(c+). Các khoảng mờ mức 2 trên khoảng I(c-) là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Khi đĩ, ta xây dựng phân hoạch về độ tương tự mức 1 gồm các lớp tương đương sau: ( ) ( );
( ) ( ) [ ( ) ( )]; ( ) ( ) ( ); và một cách tương tự, ( ) ( ) [ ( ) ( )] và ( ) ( ).
Ta thấy, trừ hai điểm đầu mút ( ) và ( ) , các giá trị đại diện
( ), ( ) và ( ) đều là điểm trong tương ứng của các lớp tương tự mức 1
( ), ( ) và ( ).
Tương tự, với k =2, ta cĩ thể xây dựng phân hoạch các lớp tương tự mức 2. Chẳng hạn, trên một khoảng mờ mức 2, chẳng hạn,
( ) [ ( ) ( )] với hai khoảng mờ kề là ( ) và
( ) chúng ta sẽ cĩ các lớp tương đương dạng sau: ( ) ( ) [ ( ) ( )], ( ) ( ) ( ) và
( ) ( ) ( ), với i sao cho và i 0.
Bằng cách tương tự như vậy ta cĩ thể xây dựng các phân hoạch các lớp tương tự mức k bất kỳ.
Các giá trị kinh điển và các giá trị ngơn ngữ được gọi là cĩ độ tương tự mức k
nếu các giá trị đại diện của chúng (ở đây đại diện của giá trị thực là chính nĩ) cùng nằm trong một lớp tương tự mức k.
1.3.3.2. Lân cận mức k của khái niệm mờ
Giả sử phân hoạch các lớp tương tự mức k là các khoảng
( ) ( ) ( ). Khi đĩ, mỗi giá trị ngơn ngữ u chỉ và chỉ thuộc về một lớp tương tự, chẳng hạn đĩ là ( ) và nĩ gọi là lân cận mức k của u và ký hiệu là
( ). Dựa trên khái niệm độ tương tự, các quan hệ đối sánh được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.12: [5] Cho U là tập vũ trụ các thuộc tính, r là quan hệ xác định trên U, giả sử t1 và t2 là hai bộ dữ liệu thuộc quan hệ r. Ta ký hiệu [ ] [ ]
và gọi chúng bằng nhau mức k, nếu một trong các điều kiện sau xảy ra: (1)Nếu [ ] [ ] thì [ ] [ ];
(2)Nếu một trong hai giá trị [ ] [ ] là khái niệm mờ, chẳng hạn đĩ là
[ ], thì ta phải cĩ [ ] ( [ ]);
(3)Nếu cả hai giá trị [ ] [ ] là khái niệm mờ, thì ( [ ]) ( [ ]).
Như thơng thường, nếu điều kiện [ ] [ ] khơng xảy ra ta cĩ
[ ] [ ].
Do quan hệ tương tự mức k được xây dựng bằng một phân hoạch của đoạn [0,1], nên cĩ thể thấy quan hệ là tương đương trên [0,1]. Ngồi ra, ta cần nhấn mạnh rằng đẳng thức [ ] [ ] cĩ nghĩa [ ] [ ] , trong đĩ và là hai điểm mút của khoảng ( [ ]) hay ( [ ]). Nghĩa là, việc kiểm chứng [ ] [ ] được đưa về việc kiểm chứng đối sánh kinh điển. Hơn nữa, tính mềm dẻo trong thích nghi với các ứng dụng cụ thể cĩ thể đạt được bằng việc điều chỉnh các tham số của ánh xạ định lượng . Đây chính là ưu điểm nổi bật của cách tiếp cận đại số đến thơng tin mờ. Dựa trên quan hệ tương đương này ta cĩ thể
dễ dàng định nghĩa các quan hệ đối sánh khác. Trước hết, để đơn giản ta quy ước là ký pháp ( [ ]) cĩ nghĩa cả khi [ ] . Khi đĩ ( [ ]) được hiểu là tập bao gồm chỉ đúng một giá trị thực [ ]. Với quy ước đĩ, với mọi cặp lân cận mức
k, ( ) and ( ), ta sẽ viết ( ) ( ) khi u<v, với mọi ( ) và mọi
( ).
Định nghĩa 1.13: [5] Cho U là tập vũ trụ các thuộc tính, r quan hệ xác định trên
U, giả sử t1và t2 là hai bộ dữ liệu thuộc quan hệ r. Khi đĩ
(1) Ta viết [ ] [ ], nếu [ ] [ ] hoặc ( [ ]) ( [ ]);
(2) Ta viết [ ] [ ], nếu ( [ ]) ( [ ]); (3) Ta viết [ ] [ ], nếu ( [ ]) ( [ ]);
Sau đây là định lý khẳng định họ các khoảng ( ) là một phân hoạch của
Dom(Ai) và giá trị định lượng của luơn là điểm trong của lân cận mức k của x.
Định lý 1.8: [5] Cho một ĐSGT tuyến tính đầy đủ, tập các giả tử H- và H+ cĩ ít nhất hai phần tử. Khi đĩ, họ các khoảng { ( ) } được gọi là lân cận mức k
của miền trị ngơn ngữ của thuộc tính Ai và là một phân hoạch của Dom(Ai). Hơn nữa, mỗi giá trị x của Ai cĩ duy nhất một lân cận mức k, ( ) là điểm trong của
( ) với mọi .
Mệnh đề 1.3: Quan hệ là tương đương trên Dom(Ai).